.04.1 – Viertelfahrzeugmodell mit zwei Freiheitsgraden

 

Für das unten skizzierte Viertelfahrzeugmodell stelle man die Bewegungsgleichungen auf. Bestimmen Sie Massen- Dämpfungs- und Steifigkeitsmatrix des Systems.

Aufgabenstellung Viertelfahrzeugmodell Schema

Gegeben: M, m, rA, cA, rR, cR

Lösung

Schema zur Lösung eines schwingenden Systems mit mehreren Freiheitsgraden:

  • Dämpfungsmatrix [C] aufstellen
  • statische Durchsenkung abspalten
  • Anzahl der Freiheitsgrade feststellen
  • Art der Anregung feststellen
  • Auswerten
  • Rechnen

Freikörperbild:

Freischnitt mit Kräften und Kinematik

Es treten zusätzlich zu den beiden Gewichtskräften der Massen vier Kräfte auf, nämlich:

Federkraft zwischen Boden und Rad:

F_R  = c_R \left( {u_R -u} \right)

Dämpfungskraft zwischen Boden und Rad:

D_R  = r_R \left( {\dot u_R -\dot u} \right)

Federkraft zwischen Rad und Aufhängung:

F_A  = c_A \left( {u_A -u_R } \right)

Dämpfungskraft zwischen Rad und Aufhängung:

D_A  = r_A \left( {\dot u_A -\dot u_R } \right)

Schwerpunktsatz:

Aufhängung:

M\ddot u_A  = -Mg-F_A -D_A  = -Mg-c_A \left( {u_A -u_R } \right)-r_A \left( {\dot u_A -\dot u_R } \right)

Rad:

m\ddot u_R  = -mg-F_R -D_R +F_A +D_A

= -mg-c_R \left( {u_R -u} \right)-r_R \left( {\dot u_R -\dot u} \right)+c_A \left( {u_A -u_R } \right)+r_A \left( {\dot u_A -\dot u_R } \right)

Abspaltung der statischen Durchsenkung

Gleichgewichtslagen:

u\left( t \right) = \dot u\left( t \right) = \ddot u\left( t \right) = \dot u_R  = \ddot u_R  = \dot u_A  = \ddot u_A  = 0

Einsetzen:

A:

M\ddot u_A  = -Mg-c_A \left( {u_A -u_R } \right)-r_A \left( {\dot u_A -\dot u_R } \right)

\Rightarrow \quad 0 = -Mg-c_A \left( {u_{A0} -u_{R0} } \right)

R:

m\ddot u_R  = -mg-c_R \left( {u_R -u} \right)-r_R \left( {\dot u_R -\dot u} \right)+c_A \left( {u_A -u_R } \right)+r_A \left( {\dot u_A -\dot u_R } \right)

\Rightarrow \quad 0 = -mg-c_R u_{R0} +c_A \left( {u_{A0} -u_{R0} } \right)

Wir addieren die beiden Gleichungen:

\Rightarrow \quad 0 = -c_R u_{R0} -Mg-mg

\Rightarrow \quad -\frac{{\left( {M+m} \right)g}} {{c_R }} = u_{R0}

Einsetzen

\Rightarrow \quad 0 = -Mg-c_A \left( {u_{A0} +\frac{{\left( {M+m} \right)g}} {{c_R }}} \right) = -Mg-c_A u_{A0} -c_A \frac{{\left( {M+m} \right)g}} {{c_R }}

\Rightarrow \quad u_{A0}  = -\frac{{\left( {M+m} \right)g}} {{c_R }}-\frac{{Mg}} {{c_A }}

Koordinatentransformation:

z_A  = u_A -u_{A0}

z_R  = u_R -u_{R0}

also:

u_A  = z_A +u_{A0}

u_R  = z_R +u_{R0}

\dot u_A  = \dot z_A

\dot u_R  = \dot z_R

Einsetzen in die Differentialgleichung:

A:

M\ddot u_A  = -Mg-c_A \left( {u_A -u_R } \right)-r_A \left( {\dot u_A -\dot u_R } \right)

\Rightarrow \quad M\ddot u_A  = -Mg-c_A \left( {z_A +u_{A0} -z_R -u_{R0} } \right)-r_A \left( {\dot z_A -\dot z_R } \right)

\Rightarrow \quad M\ddot u_A  = -Mg-c_A z_A -c_A u_{A0} +c_A z_R +c_A u_{R0} -r_A \dot z_A +r_A \dot z_R

\Rightarrow \quad M\ddot u_A  = -Mg-c_A z_A +\frac{{c_A \left( {M+m} \right)g}} {{c_R }}+\frac{{c_A Mg}} {{c_A }}+c_A z_R -\frac{{c_A \left( {M+m} \right)g}} {{c_R }}-r_A \dot z_A +r_A \dot z_R

\Rightarrow \quad M\ddot u_A  = -c_A z_A +c_A z_R -r_A \dot z_A +r_A \dot z_R

\Rightarrow \quad M\ddot u_A  = c_A \left( {z_R -z_A } \right)+r_A \left( {\dot z_R -\dot z_A } \right)

R:

m\ddot u_R  = -mg-c_R \left( {u_R -u} \right)-r_R \left( {\dot u_R -\dot u} \right)+c_A \left( {u_A -u_R } \right)+r_A \left( {\dot u_A -\dot u_R } \right)

\Rightarrow \quad m\ddot u_R  = -mg-c_R \left( {z_R +u_{R0} -u} \right)-r_R \left( {\dot z_R -\dot u} \right)+c_A \left( {z_A +u_{A0} -z_R -u_{R0} } \right)+r_A \left( {\dot z_A -\dot z_R } \right)

\Rightarrow \quad m\ddot u_R  = -mg-c_R z_R +c_R \frac{{\left( {M+m} \right)g}} {{c_R }}+c_R u-r_R \left( {\dot z_R -\dot u} \right)

+c_A z_A -c_A \frac{{\left( {M+m} \right)g}} {{c_R }}-c_A \frac{{Mg}} {{c_A }}-c_A z_R +c_A \frac{{\left( {M+m} \right)g}} {{c_R }}+r_A \left( {\dot z_A -\dot z_R } \right)

\Rightarrow \quad m\ddot u_R  = -c_R z_R +c_R u-r_R \left( {\dot z_R -\dot u} \right)+c_A z_A -c_A z_R +r_A \left( {\dot z_A -\dot z_R } \right)

\Rightarrow \quad m\ddot u_R  = c_A \left( {z_A -z_R } \right)+r_A \left( {\dot z_A -\dot z_R } \right)+c_R \left( {u-z_R } \right)+r_R \left( {\dot u-\dot z_R } \right)

Für die Matrizendarstellung müssen die Gleichungen anders aufgelöst werden, nämlich nach z und seinen Ableitungen. Anschließend kann geschrieben werden:

Matrizendarstellung

\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}    M & 0  \\    0 & m  \\   \end{array} } \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    \ddot z_A   \\    {\ddot z_R }  \\   \end{array} } \right\}+\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}    r_A  & {-r_A }  \\    {-r_A } & {r_A +r_R }  \\   \end{array} } \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    \dot z_A   \\    {\dot z_R }  \\   \end{array} } \right\}+\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}    c_A  & {-c_A }  \\    {-c_A } & {c_A +c_R }  \\   \end{array} } \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    z_A   \\    {z_R }  \\   \end{array} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    0  \\    {c_R u+r_R \dot u}  \\   \end{array} } \right\}