1. Summen, Binomialkoeffizient, trigonometrische Funktionen

 

1. Summen-, Produkt- und Fakultätszeichen

a1, a2, a3, …, an seien beliebige Zahlen. Die Summe aus diesen Zahlen ist a1+a2+a3+…+an. Dies kann man mathematisch ausdrücken als:

\sum\limits_{i = 1}^n {a_i }

Es werden hier alle Zahlen von 1 bis n durchlaufen und addiert. Allerdings muss nicht zwangsweise bei 1 angefangen werden zu zählen. Es ist auch möglich, Summen von einer beliebigen anderen natürlichen Indexzahl zu einer höheren zu bilden. Der Startindex kann sogar negativ sein.

Ein einfaches Beispiel:

\sum\limits_{i = -1}^2 {2^i }  = 2^{-1} +2^0 +2^1 +2^2  = \frac{1} {2}+1+2+4 = \frac{{15}} {2}

Analog zum Summenzeichen funktioniert das Produktzeichen für Produkte von Zahlen oder Termen. Für a1 · a2 · a3 · … · an kann man mathematisch schreiben:

\prod\limits_{i = 1}^n {a_i }

Auch hierzu ein einfaches Beispiel:

\prod\limits_{i = -1}^2 {2^i }  = 2^{-1}  \cdot 2^0  \cdot 2^1  \cdot 2^2  = \frac{1} {2} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 4 = 4

Ein Sonderfall des Produktzeichens ist das Fakultätzeichen. Es wird dargestellt durch ein Ausrufezeichen und ist definiert als:

n! = \prod\limits_{i = 1}^n i

Ein Beispiel:

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = \prod\limits_{i = 1}^6 i  = 6!

2. Binomische Formeln

Die Binomischen Formeln sind dafür da, Ausdrücke wie (a+b)2 zu berechnen. Wenn n den Grad des Exponenten darstellt, gilt für solche Potenzen:

n = 0
1
n = 1
1a+1b
n = 2
1a2+2ab+1b2
n = 3
1a3+3a2b+3ab2+1b3
n = 4
1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4

Die ganzzahligen Faktoren in den einzelnen Produkten bilden das Pascalsche Dreieck. Man erhält eine Zahl, indem man die beiden schräg über ihr stehenden addiert:

1
1    1
1    2    1
1    3    3    1
1    4    6    4    1
1    5    10    10    5    1
1    6    15    20    15    6    1

3. Binomiallehrsatz

Wie kann man nun eine einzelne Zahl aus dem Pascalschen Dreieck ausrechnen, ohne vorher den gesamten darüberliegenden Teil des Dreiecks aufzuzeichnen?

Die Lösung ist der Binomialkoeffizient.

Beispiel: Der ganzzahlige Faktor für den dritten Summanden bei n=4 soll berechnet werden. Im Pascalschen Dreieck sieht man sofort: Der dritte Wert in der Zeile für n=4 beträgt 6, die Summe aus den darüberstehenden Dreien.

Wenn nun die Information “der Wert für den dritten Summanden” als k=2 (man fängt eigentlich bei 0 an zu zählen) festgelegt wird, gilt für den gesuchten Faktor f:

f=\frac{{n!}} {{k!\left( {n-k} \right)!}}

Dieses Konstrukt nennt man Binomialkoeffizient und schreibt kurz:

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n  \\ k  \\ \end{array} } \right)

Man kann jetzt mit dieser Technik zum Beispiel (a+b)4 berechnen, indem man die jeweiligen Binomialkoeffizienten mit den jeweiligen a/b Kombinationen multipliziert:

\left( {a+b} \right)^4  = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4  \\ 0  \\ \end{array} } \right)a^4 b^0 +\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4  \\ 1  \\ \end{array} } \right)a^3 b^1 +\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4  \\ 2  \\ \end{array} } \right)a^2 b^2 +\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4  \\ 3  \\ \end{array} } \right)a^1 b^3 +\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4  \\ 4  \\ \end{array} } \right)a^0 b^4

Gleich auf den ersten Blick wird hier die Ähnlichkeit der Summanden deutlich. Es kann mit dem Summenzeichen geschrieben werden:

\left( {a+b} \right)^4  = \sum\limits_{k = 0}^4 {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4  \\ k  \\ \end{array} } \right)a^{4-k} b^k }

Oder verallgemeinert:

\left( {a+b} \right)^n  = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n  \\ k  \\ \end{array} } \right)a^{n-k} b^k }

Dies ist der Binomiallehrsatz.

Für den Binomialkoeffizienten gilt:

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n  \\ n  \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n  \\ 0  \\ \end{array} } \right) = 1

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n  \\ k  \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n  \\ {n-k}  \\ \end{array} } \right)

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n  \\ {k-1}  \\ \end{array} } \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n  \\ k  \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n+1}  \\ k  \\ \end{array} } \right)

Alle diese Gleichungen können bewiesen werden durch Einsetzen in:

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n  \\ k  \\ \end{array} } \right) = \frac{{n!}} {{k!\left( {n-k} \right)!}}

4. Lineare Funktionen

Eine lineare Funktion hat den Aufbau y = mx+b. Dabei ist m die Steigung und b der Y-Achsenabschnitt. Es handelt sich immer um eine Gerade, wobei diese bei m < 0 abfällt, bei m = 0 konstant bleibt und bei m > 0 ansteigt. Die Definitionsmenge und die Wertemenge beinhalten alle reellen Zahlen.

Abschnittsform
Für die Abschnittsform der Geraden benötigt man die beiden Schnittstellen der Gerade mit dem Koordinatensystem. Der Schnittpunkt mit der Y-Achse (der Y-Achsenabschnitt) ist immer B = (0;b). Der Schnittpunkt mit der X-Achse ist die Nullstelle. Sie wird berechnet, indem man in der Formel y = mx+b einsetzt: y = 0. Es ergibt sich der Punkt A = (-b/m ; 0).

Sind diese beiden Punkte bekannt, kann in die Abschnittsform eingesetzt werden:

\frac{x} {{a_1 }}+\frac{y} {{b_1 }} = 1

a1 bezieht sich hierbei auf die X-Koordinate vom Punkt A, b1 auf die Y-Koordinate vom Punkt B. Aus dieser Form kann wieder die normale Form gebildet werden, indem man rechnet:

y = -\frac{{b_1 }} {{a_1 }}x+b_1

5. Quadratische Gleichungen

Eine quadratische Gleichung hat den Aufbau ax2+bx+c = 0. Die Lösungen für diese Gleichungen können entweder durch quadratisches Ergänzen oder mit einer Formel (Mitternachtsformel oder PQ-Formel berechnet werden.

Mitternachtsformel:

x_{1,2}  = \frac{{-b \pm \sqrt {b^2 -4ac} }} {{2a}}

PQ-Formel:

x_{1,2}  = -\frac{p} {2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p} {2}} \right)^2 -q}

Die PQ-Formel setzt voraus, dass a = 1 ist. p entspricht dann b und q entspricht c.
Die Anzahl der Lösungen ist bei beiden Ansätzen abhängig von dem Term in der Wurzel.
Bei einer quadratischen Ungleichung verfährt man genau so und bestimmt zum Beispiel mit Hilfe einer Skizze, ob der Lösungsbereich zwischen den beiden gefundenen Lösungen oder außerhalb von ihnen liegt.

6. Quadratische Funktionen

Eine quadratische Funktion hat den Aufbau y = ax2+bx+c. Der zugehörige Graph ist eine Parabel. Wenn a > 0 ist, dann ist sie nach oben geöffnet. Ist a < 0, so ist sie nach unten geöffnet. Der Scheitelpunkt der Parabel ist:

\left( {-\left. {\frac{b} {{2a}}} \right|-\frac{{b^2 -4ac}} {{4a}}} \right)

7. Trigonometrische Funktionen

Sinusfunktion:
Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen
Wertebereich: [-1; 1]
Die Funktion ist ungerade, da sin(-x) = -sin(x) gilt (Punktsymmetrie)
Nullstellen: sin(np) = 0

Cosinusfunktion:
Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen
Wertebereich: [-1; 1]
Die Funktion ist gerade, da cos(-x) = cos(x) gilt (Achsensymmetrie)
Nullstellen: cos(p/2+np) = 0

Es gilt:

{\text{sin}}^{\text{2}} {\text{x+cos}}^{\text{2}} {\text{x  =  1}}

\sin \left( {x+\frac{\pi } {2}} \right) = \cos x

\tan x = \frac{{\sin x}} {{\cos x}}

\cot x = \frac{{\cos x}} {{\sin x}}

Additionstheoreme

\sin \left( {\alpha  \pm \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta  \pm \cos \alpha \sin \beta

\cos \left( {\alpha  \pm \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta  \pm \sin \alpha \sin \beta

8. Rechtwinklige Dreiecke

Im rechtwinkligen Dreieck gelten folgende Formeln:

Satz des Pytagoras:
a^2 +b^2  = c^2

Formeln für Winkel:
\sin \alpha  = \frac{a} {c}

\cos \alpha  = \frac{b} {c}

\tan \alpha  = \frac{a} {b}

9. Beliebige Dreiecke

Flächenformel:

h_c  = b\sin \alpha

F = \frac{c} {2}h_c

Sinussatz:

\frac{a} {{\sin \alpha }} = \frac{b} {{\sin \beta }} = \frac{c} {{\sin \gamma }}

Anwendungsbeispiel zum Sinussatz:
a=4
b=6
?=25°

\sin \beta  = \frac{{b\sin \alpha }} {a} = \frac{{6\sin 25^\circ }} {4} \approx 0,6339

Das Ergebnis für den Winkel ß
ist nicht eindeutig, da gilt:

\sin \beta  = \sin \left( {180^\circ -\beta } \right)

Es ergeben sich zwei Lösungen für ß:

\beta _1  = 39,3^\circ

\beta _2  = 180^\circ -39,3^\circ  = 140,7^\circ

Daraus ergeben sich auch zwei verschiedene Werte für den noch zu berechnenden Winkel ?:

\gamma _1  = 180-\alpha -\beta _1  = 115,7^\circ

\gamma _2  = 180-\alpha -\beta _2  = 14,3^\circ

Die noch zu berechnende Seite c erhält man wie folgt:

c = \frac{{a\sin \gamma }} {{\sin \alpha }}

Es ergeben sich die Werte:

c_1  = 8,5

c_2  = 2,3

Der Sinussatz kann prinzipiell in jedem Dreieck angewendet werden, allerdings empfiehlt er sich nicht, wenn der gegebene Winkel von den gegebenen Seiten eingeschlossen ist. In diesem Fall sollte der Cosinussatz angewendet werden:

Cosinussatz:
Das Quadrat einer Seite ist so groß wie die Quadrate der beiden anderen Seiten zusammen, vermindert um das doppelte Produkt dieser Seiten und des Cosinus ihres Zwischenwinkels.

Mathematisch:

c^2  = a^2 +b^2 -2ab\cos \gamma

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2 Kommentare zu “1. Summen, Binomialkoeffizient, trigonometrische Funktionen”

Ein Fehler bei den quadratischen Gleichungen:

Die PQ-Formel setzt voraus, dass a = 0 ist. p entspricht dann b und q entspricht c.

Muss natürlich heissen a=1, sonst ist es keine quadratische Gleichung ;-)

Stimmt, ich habe den Fehler korrigiert. Danke für den Hinweis.

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