2. Arcusfunktionen, komplexe Zahlen

 

1. Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen

Die Umkehrfunktionen der periodischen trigonometrischen Funktionen können nicht komplett definiert werden, da sonst jedem Wert für X mehrere Y-Werte zugeordnet würden. Man definiert die Funktionen daher nur in einem Intervall.

Arcussinus
Definitionsbereich: [-1; 1]
Wertebereich: [-π/2; π/2]

Arcussosinus
Definitionsbereich: [-1; 1]
Wertebereich: [0; π]

Arcustangens
Definitionsbereich: Reelle Zahlen
Wertebereich: [-π/2; π/2]

Arcuscotangens
Definitionsbereich: Reelle Zahlen
Wertebereich: [0; π]

Die Funktionen sind alle weder ungerade noch gerade. Sie sind streng monoton steigend bzw fallend.

2. Potenzgesetze

Ein Produkt aus gleichen Faktoren kann als Potenz geschrieben werden:

a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a = a^5

Das a bezeichnet man dabei als Basis und die 5 als Exponent. Es gelten die folgenden Rechenregeln:

a^0  = 1

a^1  = a

a^n a^m  = a^{n+m}

\frac{{a^n }} {{a^m }} = a^{n-m}

a^n b^n  = \left( {ab} \right)^n

a^{-n}  = \frac{1} {{a^n }}

\left( {a^n } \right)^m  = a^{nm}

\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1} {n}}

3. Exponential- und Logarithmusfunktion

Sei a eine positive reelle Zahl ungleich 1. Eine Exponentialfunktion hat dann den Aufbau:

f\left( x \right) = a^x

x \in \mathbb{R}

Der Definitionsbereich von Exponentialfunktionen ist der Raum der reellen Zahlen, der Wertebereich ist von 0 bis unendlich. Da a0 = 1 ist, verlaufen alle Graphen durch den Y-Achsenabschnitt (0;1). Jede Exponentialfunktion ist streng monoton steigend, wenn a > 1 ist, bzw streng monoton fallend, wenn a < 1 ist. Die X-Achse ist eine Asymptote, an die sich die Funktion bei x = -∞ bzw bei x = ∞ für a < 1 annährt. Es gilt weiterhin:

f_1 \left( x \right) = a^x

f_2 \left( x \right) = \left( {\frac{1} {a}} \right)^x

f_1 \left( {-t} \right) = a^{-t}  = \frac{1} {{a^t }} = f_2 \left( t \right)

Logarithmusfunktion

Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.
Die Funktion lautet:

f\left( x \right) = \log _a x

Dabei muss a ungleich 1 und > 0 sein.
Der Definitionsbereich der Logarithmusfunktion ist D={0, +∞}
Im Wertebereich befinden sich alle reellen Zahlen.

Die Funktion ist streng monoton steigend für a > 1 und streng monoton fallend für a < 1.

Rechenregeln für den Logarithmus:

{\left( {xy} \right) = \log _a x+\log _a y} {x,y > 0}
{\log _a \left( {\frac{x} {y}} \right) = \log _a x-\log _a y} {x,y > 0}
{\log _a x^c  = c\cdot\log _a x} {c \in \mathbb{R},x > 0}
{\log _b x = \frac{{\log _a x}} {{\log _a b}}} {0 < b \ne 1,x > 0}

Es gibt zwei häufig benutzte Formen der Logarithmusfunktion.

Dekadischer Logarithmus:

\log _{10} x = \lg x

Natürlicher Logarithmus:

\log _e x = \ln x

4. Komplexe Zahlen

Die Gleichung

x^2  = -1

hat im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung. Um dieses Problem zu lösen, hat man den reellen Zahlenkörper erweitert und die Zahl i hinzugefügt, für die gilt:

i^2  = -1

In diesem erweiterten Zahlenraum sollen alle Grundaxiome, die für reelle Zahlen bestehen, weiter gelten. Man kann also zu i reelle Zahlen addieren und i mit reellen Zahlen multiplizieren. Dadurch entstehen komplexe Zahlen, die sich aus einem Realteil und einem Imaginärteil zusammensetzen. Sie haben die Form

\mathbb{C} = \left\{ {\left. z \right|z = x+yi; x,y \in \mathbb{R}} \right\}.

x ist der Realteil und y der Imaginärteil. Komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil übereinstimmen.

Rechnen mit komplexen Zahlen

Addition und Subtraktion
Bei der Addition wird jeweils der Realteil zum Realteil und der Imaginärteil zum Imaginärteil addiert. Bei der Subtraktion wird entsprechend subtrahiert:

\left( {x_1 +y_1 i} \right)+\left( {x_2 +y_2 i} \right) = \left( {x_1 +x_2 } \right)+\left( {y_1 +y_2 } \right)i{\text{ }}

\left( {x_1 +y_1 i} \right)-\left( {x_2 +y_2 i} \right) = \left( {x_1 -x_2 } \right)+\left( {y_1 -y_2 } \right)i{\text{ }}

Beispiel:

\left( {5+8i} \right)+\left( {17+23i} \right) = \left( {5+17} \right)+\left( {8+23} \right)i = 22+31i

\left( {40-23i} \right)-\left( {17+8i} \right) = \left( {40-17} \right)+\left( {-23-8} \right)i = 23-31i

Multiplikation
Fall 1: Multiplikation mit einer reellen Zahl
Die reelle Zahl wird sowohl mit Realteil als auch mit Imaginärteil multipliziert:

p\left( {x+yi} \right) = px+pyi

Beispiel:

4\left( {3+5i} \right) = 12+20i

Fall 2: Multiplikation zweier komplexer Zahlen

Herleitung:

\left( {x_1 +y_1 i} \right)\left( {x_2 +y_2 i} \right) = x_1 x_2 +x_1 y_2 i+y_1 ix_2 +y_1 y_2 i^2

= x_1 x_2 +x_1 y_2 i+y_1 ix_2 -y_1 y_2  = x_1 x_2 -y_1 y_2 +\left( {x_1 y_2 +y_1 x_2 } \right)i

Beispiel:

\left( {3+5i} \right)\left( {2-4i} \right) = 6-20+\left( {12+10} \right)i = -14+22i

Division
Für die Division braucht man weitere Grundlagen, nämlich die konjugiert komplexe Zahl. Eine komplexe Zahl kann man sich auch als Vektor in der Ebene vorstellen. Es ist ein Ursprungsvektor mit den Werten des Realteils für x und des Imaginärteils für y. Beispiel:

Vektoren aus komplexen Zahlen

Vektoren aus komplexen Zahlen

In dem Koordinatensystem sind die komplexen Zahlen

z_1  = 2+5i

(dunkelblau) und

z_2  = 6+4i

(ocker) eingezeichnet. Man kann diese addieren, indem man sie hintereinander zeichnet, dargestellt durch die schwach dargestellten Linien. Es entsteht die komplexe Zahl

z_3  = 8+9i

Die Vektoren können an der y-Achse gespiegelt werden, indem der imaginäre Teil mit -1 multipliziert wird. Aus

z_1  = 2+5i

entsteht so

\overline {z_1 }  = 2-5i

und aus

z_2  = 6+4i

wird

\overline {z_2 }  = 6-4i

Die komplexen Zahlen der gespiegelten Vektoren nennt man konjugiert komplexe Zahlen. Multipliziert man eine komplexe Zahl mit ihrer konjugiert komplexen, so entsteht immer eine reelle Zahl. Herleitung:

z\bar z = \left( {x+yi} \right)\left( {x-yi} \right) = x^2 -xyi+yix-y^2 i^2  = x^2 -y^2 \left( {-1} \right) = x^2 +y^2 {\text{ }}

Mit diesem Wissen kann nur eine Division gelöst werden.

\frac{1} {{z}}

Um die komplexe Zahl aus dem Nenner herauszubekommen, wird mit der konjugiert komplexen erweitert:

\frac{1} {{x+yi}} = \frac{{1\left( {x-yi} \right)}} {{\left( {x+yi} \right)\left( {x-yi} \right)}} = \frac{{x-yi}} {{x^2 +y^2 }} = \frac{x} {{x^2 +y^2 }}-\frac{y} {{x^2 +y^2 }}i

Etwas schwieriger wird es, wenn man zwei komplexe Zahlen durcheinander teilt. Hier ein Beispiel:

\frac{{8-4i}} {{5+3i}} = \frac{{\left( {8-4i} \right)\left( {5-3i} \right)}} {{\left( {5+3i} \right)\left( {5-3i} \right)}} = \frac{{\left( {8-4i} \right)\left( {5-3i} \right)}} {{25+9}} = \frac{{40-24i-20i+12i^2 }} {{34}}

= \frac{{28-44i}} {{34}} = \frac{{28}} {{34}}-\frac{{44}} {{34}}i = \frac{{14}} {{17}}-\frac{{22}} {{17}}i

Quadratische Gleichungen mit komplexen Zahlen

Die Gleichung z^2  = -1 besitzt im komplexen Zahlenbereich genau 2 Lösungen, nämlich z_1  = i und z_2  = -i

Ist q eine beliebige reelle Zahl größer oder gleich 0, dann hat die Gleichung z^2  = -q die Lösungen:

z_1  = i\sqrt q

und

z_2  = -i\sqrt q

Für die quadratische Gleichung mit dem Aufbau z^2 +pz+q = 0 mit p,q \in \mathbb{R} gibt es die Lösungen

{z = -\frac{p} {2} \pm \sqrt d } für d > 0,

{z = -\frac{p} {2}} für d = 0,

{z = -\frac{p}  {2} \pm \sqrt-di} für d < 0.

Mit der Determinanten

d = \frac{{p^2 }} {4}-q

Beispiel:

z^2 +2z+\frac{5} {4} = 0{\text{   }}d = \frac{{2^2 }} {4}-\frac{5} {4} = -\frac{1} {4}

d ist negativ, daher gibt es die Lösungen

z_{1/2} -\frac{p} {2} \pm \sqrt {-d} i

z_1  = -1+\sqrt {\frac{1} {4}} i

z_2  = -1-\sqrt {\frac{1} {4}} i

Betrag einer komplexen Zahl

Wie oben schon dargestellt, kann man eine komplexe Zahl als Vektor in einer Ebene darstellen. Naturgemäß hat dieser Ursprungsvektor eine Länge, den Betrag des Vektors. Den Betrag einer komplexen Zahl berechnet man mit der Formel

\left| z \right| = \sqrt {x^2 +y^2 }

Beispiele:

z_1  = i{\text{ }} \to {\text{ }}\left| {z_1 } \right| = \sqrt {0^2 +1^2 }  = 1

z_2  = 3-i{\text{ }} \to {\text{ }}\left| {z_2 } \right| = \sqrt {3^2 +\left( {-1} \right)^2 }  = 10

z_3  = 5+2i{\text{ }} \to {\text{ }}\left| {z_3 } \right| = \sqrt {5^2 +2^2 }  = 29

Nun soll die komplexe Zahl berechnet werden, für die gilt

\left| {z-z_0 } \right| = 2

mit

z_0  = 3+i

Das Vorgehen ist wie folgt:

z-z_0  = x-3+\left( {y-1} \right)i{\text{ }}

\left| {z-z_0 } \right| = \sqrt {\left( {x-3} \right)^2 +\left( {y-1} \right)^2 }  = 2

\Rightarrow \left( {x-3} \right)^2 +\left( {y-1} \right)^2  = 4

Die Endformel ist aus der analytischen Geometrie bekannt, nämlich als Formel für einen Kreis mit dem Radius 2 und einer Verschiebung von 3 nach rechts und 1 nach oben. Es fällt auf, dass der Mittelpunkt dieses Kreises der Ortsvektor von {z_0 } ist. Die komplexen Zahlen, für die der Betrag der Differenz zu {z_0 } gleich 2 ist, liegen also auf diesem Kreis um {z_0 }. Allgemein gilt: Der Betrag der Differenz zweier komplexer Zahlen ist ihr Abstand voneinander.
Der Betrag komplexer Zahlen hat folgende Eigenschaften:

\left| z \right| \geq 0

\left| z \right| = 0 \Leftrightarrow z = 0

\left| z \right|^2  = z\bar z

\left| z \right| = \left| {-z} \right| = \left| {\bar z} \right|

\left| {z_1 z_2 } \right| = \left| {z_1 } \right|\left| {z_2 } \right|

\left| {\frac{1} {z}} \right| = \frac{1} {{\left| z \right|}}

\left| {z_1 +z_2 } \right| \geq \left| {z_1 } \right|+\left| {z_2 } \right|

Polardarstellung von komplexen Zahlen

Im Gegensatz zu herkömmlichen Vektoren können die Vektoren der komplexen Zahlen miteinander multipliziert werden. Dadurch ergibt sich das Problem der geometrischen Deutung dieser Möglichkeit. Wir benötigen hier eine neue Darstellungsform von komplexen Zahlen in der Gaußschen Ebene. Diese Darstellung, die man Polardarstellung nennt, verwendet den Betrag r der komplexen Zahl als Länge für den Vektor und ein Argument \varphi für den Winkel von der positiven reellen Achse aus. Der Winkel wächst dabei von 0 (verläuft genau auf der X-Achse) bis \pi (verläuft nach links auf der X-Achse und unterhalb der Achse von -\pi bis 0. Zu einer komplexen Zahl z gibt es genau ein Paar \left( {r,\varphi } \right) ,r > 0.
Ist r = \left| z \right| > 0 und \varphi  = \arg \left( z \right), so gilt:

z = r\left( {\cos \left( \varphi  \right)+\sin \left( \varphi  \right)i} \right)

Hier sind die Beträge und Argumente einiger ausgesuchter komplexer Zahlen:

1,-1, i,-i, 1+i, 1-i

Es gilt:

\begin{array}{*{20}{c}} \left| 1 \right| = 1 & \arg \left( 1 \right) = 0  \\ \left| {-1} \right| = 1 & \arg \left( {-1} \right) = \pi   \\ \left| i \right| = 1 & \arg \left( i \right) = \frac{\pi } {2}  \\ \left| {-i} \right| = 1 & \arg \left( {-i} \right) = -\frac{\pi } {2}  \\ \left| {1+i} \right| = \sqrt 2  & \arg \left( {1+i} \right) = \frac{\pi } {4}  \\ \left| {1-i} \right| = \sqrt 2  & \arg \left( {1-i} \right) = \frac{{3\pi }} {4}  \\ \end{array}

Die allgemeine Berechnung erfolgt mit dem Arcuscosinus:

Sei z = x+yi und r = \sqrt {x^2 +y^2 }  > 0. Dann gilt:

\arg \left( z \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \arccos \left( {\frac{x} {r}} \right), & y \geq 0  \\ - \arccos \left( {\frac{x} {r}} \right), & y < 0  \\ \end{array} } \right.

Eine andere Methode zur Berechnung stützt sich auf die Arcustangensfunktion, diese soll hier aber nicht angesprochen werden.
Im Folgenden wird zur Veranschaulichung die normale Schreibweise für komplexe Zahlen an dem Beispiel z=3+4i in die neue Darstellung umgerechnet und wieder zurückgerechnet:

z = 3+4i

r = \sqrt {x^2 +y^2 }  = \sqrt {3^2 +4^2 }  = \sqrt {25}  = 5

\phi  = \arg \left( z \right) = \arccos \left( {\frac{x} {r}} \right) = \arccos \left( {\frac{3} {5}} \right) \approx 0,9273

z = r\left( {\cos \left( \phi  \right)+\sin \left( \phi  \right)i} \right)

= 5\left( {\cos \left( {\arccos \left( {\frac{3} {5}} \right)} \right)+\sin \left( {\arccos \left( {\frac{3} {5}} \right)} \right)i} \right) = 5\left( {\frac{3} {5}+\frac{4} {5}i} \right) = 3+4i

Die neue Darstellung war allerdings nur ein Zwischenschritt, mit dem man nicht besonders viel anfangen kann. Um zur Polardarstellung zu kommen, brauchen wir nun die Eulersche Formel:

e^{\varphi i}  = \cos \left( \varphi  \right)+\sin \left( \varphi  \right)i

Mit dieser Formel können Zahlen auf dem Einheitskreis erfasst werden. Man könnte also nur komplexe Zahlen mit dem Radius 1 benutzen. Um dieses Problem zu lösen, baut man den Radius mit in die Eulersche Formel ein:

z = r\left( {\cos \left( \varphi  \right)+\sin \left( \varphi  \right)i} \right) = re^{\varphi i}

Wegen der Periodität der Winkelfunktionen kann man bei der Polardarstellung einer komplexen Zahl immer ganzzahlige Vielfache von 2\pi addieren:

z = re^{\varphi i}  = re^{\left( {\varphi +k2\pi } \right)i}

Im Folgenden wird das schon bekannte Beispiel in die Polardarstellung
umgerechnet:

z = 3+4i

r = \sqrt {x^2 +y^2 }  = \sqrt {3^2 +4^2 }  = \sqrt {25}  = 5

\phi  = \arg \left( z \right) = \arccos \left( {\frac{x} {r}} \right) = \arccos \left( {\frac{3} {5}} \right) \approx 0,9273

z = re^{\left( {\phi +k2\pi } \right)i}  = re^{\left( {\arccos \left( {\frac{3} {5}} \right)+k2\pi } \right)i}

Mit dieser Darstellung können nun sehr leicht Multiplikationen und Divisionen durchgeführt werden. Die Beträge werden dabei multipliziert/dividiert und die Winkel addiert/subtrahiert. Die Multiplikation einer Zahl z mit einer Zahl e^{\varphi i} bedeutet, dass der Vektor z um den Winkel \varphi gedreht wird. Hier die Rechenregeln im Überblick:

z_1 z_2  = r_1 r_2 e^{\left( {\phi _1 +\phi _2 } \right)i}

\frac{{z_1 }} {{z_2 }} = \frac{{r_1 }} {{r_2 }}e^{\left( {\phi _1 -\phi _2 } \right)i}

Man kann auch Wurzeln aus komplexen Zahlen ziehen sowie komplexe Zahlen potenzieren, wobei die Polardarstellung sehr hilfreich ist, aber dieses Themengebiet wird hier nicht weiter vertieft.

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