4. Vektoren – Grundrechenoperationen

 

Vektoren

Ein Vektor ist ein Pfeil im 2- oder 3-dimensionalen Raum, der eine Richtung und eine Länge, aber keine Position hat. Vektoren können mit anderen Vektoren addiert und mit Skalaren multipliziert werden.

Ein Vektor im dreidimensionalen Raum hat die Form

\vec a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_x   \\ a_y   \\ a_z   \\ \end{array} } \right)

Der Vektor, der in die entgegengesetzte Richtung zeigt, ist

\vec b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} -a_x   \\ -a_y   \\ -a_z   \\ \end{array} } \right)

Die Länge des Vektors ist sein Betrag. Man berechnet diesen mit der Formel:

\left| a \right| = \sqrt {a_x ^2 +a_y ^2 +a_z ^2 }

Ortsvektor:
Ein Ortsvektor, zum Beispiel

\vec a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1  \\ 2  \\ 3  \\ \end{array} } \right)

bezeichnet den Vektor vom Koordinatenursprung (0,0,0) zu dem Punkt P(1,2,3).

Grundrechenoperationen mit Vektoren

1. Addition

Bei der Addition von Vektoren werden einfach alle einzelnen Komponenten addiert:

\vec a+\vec b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_x   \\ a_y   \\ a_z   \\ \end{array} } \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} b_x   \\ b_y   \\ b_z   \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_x +b_x   \\ a_y +b_y   \\ a_z +b_z   \\ \end{array} } \right)

2. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

Bei der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar wird jede Komponente des Vektors mit dem Skalar multipliziert. Der Vektor wird dadurch verlängert oder verkürzt (gestreckt oder gestaucht), seine Richtung bleibt aber erhalten.

\lambda  \cdot \vec a = \lambda  \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_x   \\ a_y   \\ a_z   \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \lambda  \cdot a_x   \\ \lambda  \cdot a_y   \\ \lambda  \cdot a_z   \\ \end{array} } \right)

Mit zwei Vektoren kann eine Gerade im Raum definiert werden. Die Gerade hat den Aufbau

\vec b  = \vec {r_0 } +t \cdot \vec {v_0 }

3. Multiplikation von zwei Vektoren

Eine allgemeine Multiplikation von Vektoren ist nicht definiert. Es gibt zwei Möglichkeiten, die verschiedene Geometrische Bedeutungen haben.

a. Skalarprodukt
Das Skalarprodukt ist definiert als das Produkt der Länge des einen Vektors und der Länge der Strecke, die der Vektor auf den anderen projeziert.
Dementsprechend berechnet man das Skalarprodukt:

\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cdot \cos \phi

Eine andere Möglichkeit, das Skalarprofukt zu berechnen, geht über die einzelnen Komponenten der Vektoren:

\vec a \cdot \vec b = a_x  \cdot b_x +a_y  \cdot b_y +a_z  \cdot b_z

Diese Möglichkeit empfiehlt sich, wenn der von den Vektoren eingeschlossene Winkel nicht bekannt ist.
Skalare Multiplikation braucht man zum Beispiel, um Anteile von Kräften in eine bestimmte Richtung zu berechnen.

Sonderfälle
1. Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander:
Wenn die zwei skalar multiplizierten Vektoren senkrecht aufeinander stehen, dann ist das Skalarprodukt gleich 0.

2. Die Vektoren verlaufen parallel:
Wenn die Vektoren parallel verlaufen, so ist das Skalarprodukt das Produkt der Beträge der beiden Vektoren.

b. Vektorprodukt
Das Vektorprodukt liefert als Ergebnis der Multiplikation von zwei Vektoren wieder einen Vektor. Dieser hat zwei wichtige Eigenschaften:
1. Er steht senkrecht auf den beiden anderen Vektoren
2. Der Betrag des neuen Vektors ist gleich des Flächeninhalts des von den beiden multiplizierten Vektoren aufgespannten Parallelogramms.

\vec a \times \vec b = \vec c

\left| \vec c \right| = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cdot \sin \phi

\vec c \bot \vec a,\vec b

\vec a\parallel \vec b \to \vec c = 0

\vec a \bot \vec b \to \vec c = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|

c. Spatprodukt
Das Spatprodukt kombiniert das Skalarprodukt mit dem Vektorprodukt. Es werden drei Vektoren zu einem Spat (Parallelepiped) zusammengefasst, das Ergebnis des Skalarproduktes ist das Volumen des Spats.

Berechnung:
V = \vec a \cdot \left( {\vec b \times \vec c} \right) = \vec b \cdot \left( {\vec a \times \vec c} \right) = \vec c \cdot \left( {\vec b \times \vec a} \right) = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cdot \left| \vec c \right| \cdot \sin \phi  \cdot \cos \beta

Spatprodukt

Spatprodukt

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