5. Integralrechnung

 

Zu einer Funktion

y ^{\prime}= f\left( x \right)

oder

dy = f\left( x \right)dx

wird die Stammfunktion F(x) gesucht.

Beispiel:

f\left( x \right) = x^2

F\left( x \right) = \frac{1} {3}x^3

F(x) ist die Stammfunktion der gegebenen Funktion f(x). Es gilt: F ^{\prime}(x) = f(x)
Beim Integrieren ist zu beachten, dass zu der Funktion noch ein konstanter Faktor kommt und somit eigentlich jedes Integral eine Funktionsschar bildet:

F\left[ {\left( x \right)+c ^{\prime}} \right] = F ^{\prime}\left( x \right) = f\left( x \right)

Man schreibt in der Integralschreibweise:

F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right)+c}

Der konstante Faktor c darf nur weggelassen werden, wenn es sich um ein unbestimmtes Integral handelt (also wenn keine Integrationsgrenzen vorgegeben sind).

Beispiel aus der Physik:

v = at

(v: Geschwindigkeit, t: Zeit, a: Beschleunigung = konstant)

Es soll die Fläche unter der Funktion berechnet werden.

F_g  = \frac{1} {2}v_2 t_2

F_1  = \frac{1} {2}at_1 ^2

F = \frac{1} {2}a\left( {t_2 ^2 -t_1 ^2 } \right)

“Fläche” wird gewonnen aus s = vt

\frac{{ds}} {{dt}} = v

ds = vdt

s = \int {ds = \int {vdt = \int {atdt} } }

s = \frac{1} {2}at^2 +c

Es gilt:

s_g  = \int\limits_0^{t_2 } {atdt}  = \frac{1} {2}at_2 ^2

F_1  = \int\limits_0^{t_1 } {atdt}  = \frac{1} {2}at_1 ^2

Für die Fläche zwischen zwei Begrenzungen:

F = \int\limits_{t_1 }^{t_2 } {atdt = } \frac{1} {2}at_2 ^2 -\frac{1} {2}at_1 ^2

Zu beachten beim Umgang mit Integralen

Ein Integral kann in mehrere Einzelintegrale aufgeteilt werden. So kann der Bereich von a über b bis c entweder in einem oder in mehreren Integralen geschrieben werden:

\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} +\int\limits_b^c {f\left( x \right)dx}

Wenn die Integrationsgrenzen vertauscht werden, ändert sich das Vorzeichen vor dem berechneten Flächeninhalt unter der Funktion:

\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx}  = -\int\limits_c^a {f\left( x \right)dx}

Die Variable muss nicht x sein, sie kann auch durch eine andere ersetzt werden:

\int\limits_0^1 {\sqrt {1-x^2 } dx}  = \int\limits_0^1 {\sqrt {1-u^2 } du}  = \int\limits_0^1 {\sqrt {1-t^2 } dt}

Es gibt auch verschiedene Schreibweisen für den hinteren Teil:

\left[ {F\left( x \right)} \right]_a^b  = \left[ F \right]_a^b  = \left[ {F\left( x \right)} \right]_{x = a}^{x = b}

Eine Konstante im Integral kann auch vor das Integral gezogen werden:

\int {c \cdot f\left( x \right)dx}  = c \cdot \int {f\left( x \right)dx}

Integrationsverfahren

1. Integration durch Substitution

Die Integration durch Substitution ist die Umkehrung der Kettenregel:
Lässt sich ein Integral auf die Form

\int {f\left( {g\left( x \right)} \right)g ^{\prime}\left( x \right)dx}

bringen, so erhält man mit der Substitution

u = g\left( x \right)

und daher

\frac{{du}} {{dx}} = g ^{\prime}\left( x \right)

die Form

\int {f\left( {g\left( x \right)} \right)g ^{\prime}\left( x \right)dx}  = \int {f\left( u \right)du}

Beispiele:

\int {\left( {\cos \left( {1+x^3 } \right)3x^2 } \right)dx}

u = 1+x^3

3x^2 dx = du

dx = \frac{{du}} {{3x^2 }}

\int {\cos \left( u \right) \cdot 3x^2  \cdot \frac{{du}} {{3x^2 }}}  = \int {\cos \left( u \right) \cdot du}  = \sin u+c

Rücksubstitution:

\int {\left( {\cos \left( {1+x^3 } \right)3x^2 } \right)dx}  = \sin \left( {1+x^3 } \right)+c

Beispiel 2:

\int {\cos ^5 xdx = \int {\left( {\cos ^4 x\cos x} \right)dx} }

u = \cos x

du = -\sin xdx

\cos ^4 x = \left( {1-\sin ^2 x} \right)^2

\int {\left( {1-\sin ^2 x} \right)^2 \cos xdx}  = \int {\left( {1-u^2 } \right)du}  = \int {\left( {1-2u^2 +u^4 } \right)du}

= u-\frac{2} {3}u^3 +\frac{1} {5}u^5 +c

Abschließend muss nur noch substituiert werden.

Sonderfälle bei der Integration von Brüchen

\int {\frac{{g ^{\prime}\left( x \right)}} {{g\left( x \right)}}dx}

u = g\left( x \right)

du = g ^{\prime}\left( x \right)

\int {\frac{{du}} {u}}  = \ln \left| u \right|+c

Bei bestimmten Integralen verschieben sich die Integrationsgrenzen:

\int\limits_{x = a}^{x = b} {f\left[ {g\left( x \right)} \right]g ^{\prime}\left( x \right)dx}  = \int\limits_{u = g\left( a \right)}^{u = g\left( b \right)} {f\left[ u \right]du}

Dies kann umgangen werden, wenn am Schluss die Variable resubstituiert wird.

noch ein Beispiel:

\int\limits_0^r {\frac{x} {{\sqrt {x^2 +y^2 } }}dx}

u = x^2 +r

du = 2xdx

\frac{1} {2}du = xdx

\frac{1} {2}\int\limits_{u = r^2 }^{2r^2 } {\frac{{du}} {{\sqrt u }}}  = \frac{1} {2} \cdot 2 \cdot \left[ {\sqrt u } \right]_{r^2 }^{2r^2 }  = r\left( {\sqrt 2 -r} \right)

Partielle Integration

Die Partielle Integration ist die Umkehrung der Produktregel:

f\left( x \right) = u\left( x \right)v\left( x \right)

\left( {uv} \right) ^{\prime}= u ^{\prime}v+v ^{\prime}u

uv = \int {u ^{\prime}vdx} +\int {uv ^{\prime}dx}

Die Rechenregel für die partielle Integration lautet also:

\int {u ^{\prime}vdx}  = uv-\int {uv ^{\prime}dx}

Beispiel:

\int {x^2 \cos xdx}

u ^{\prime}= \cos x

u = \sin x

v = x^2

v ^{\prime}= 2x

Einsetzen:

\int {x^2 \cos xdx}  = \sin x \cdot x^2 -2\int {\sin x \cdot xdx}

Das Verfahren muss nun noch ein Mal angewendet werden:

u ^{\prime}= \sin x

u = -\cos x

v = x

v ^{\prime}= 1

\int {\sin x \cdot xdx}  = -\cos x \cdot x+\int {\cos xdx}

\int {\cos xdx}  = \sin x+c

\int {x^2 \cos xdx}  = x^2 \sin x+2x \cdot \cos x-2\sin x \cdot x+c

In der Physik braucht man häufig bestimmte Integrale, wie zum Beispiel ein Arbeitsintegral. Eine besondere Form sind die Linienintegrale:

\int\limits_c {\vec F \left( {\vec r } \right)ds}

oder geschlossene Integrale.

Berechnung der Fläche einer Ellipse

Formel für eine Ellipse:

\frac{{x^2 }} {{a^2 }}+\frac{{y^2 }} {{b^2 }} = 1

A = 4\int {ydx}

Y muss ausgerechnet und eingesetzt werden, anschließend lässt sich das Integral lösen. Dieser Vorgang ist sehr mühsam und soll hier nicht weiter vertieft werden.

Alternative: Parameterdarstellung

x = a\cos \phi

x = a\cos \phi

Die neue Variable ist φ.

dx = -a \cdot \sin \phi  \cdot d\phi

A = 4\int\limits_{\frac{\pi } {2}}^0 {b\sin \phi \left( {-a \cdot \sin \phi } \right)d\phi }

A = 4ab\int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {\sin ^2 \phi  \cdot d\phi }

A = \pi  \cdot a \cdot b

Volumen von Rotationskörpern

\Delta V = \pi \left( {f\left( {x_0 } \right)} \right)^2 \Delta x

V = \pi \int\limits_a^b {\left( {f\left( x \right)} \right)^2 dx}

Volumen einer Ellipse (eines Rotationsellipsoids)

\frac{{x^2 }} {{a^2 }}+\frac{{y^2 }} {{b^2 }} = 1

y^2  = \left( {1-\frac{{x^2 }} {{a^2 }}} \right) \cdot b^2

V_x  = 2\pi b^2 \int\limits_0^a {\left( {1-\frac{{x^2 }} {{a^2 }}} \right)dx = } 2\pi b^2 \left[ {x-\frac{1} {3} \cdot \frac{{x^3 }} {{a^2 }}} \right]_{x = 0}^{x = a}  = \frac{{4\pi }} {3}ab^2

Rotation um die y-Achse:

V_y  = \frac{{4\pi }} {3}ba^2