5. Integralrechnung

Zu einer Funktion

<br />
y ^{\prime}= f\left( x \right)<br />

oder

<br />
dy = f\left( x \right)dx<br />

wird die Stammfunktion F(x) gesucht.

Beispiel:

<br />
f\left( x \right) = x^2<br />

<br />
F\left( x \right) = \frac{1}<br />
{3}x^3<br />

F(x) ist die Stammfunktion der gegebenen Funktion f(x). Es gilt: F ^{\prime}(x) = f(x)
Beim Integrieren ist zu beachten, dass zu der Funktion noch ein konstanter Faktor kommt und somit eigentlich jedes Integral eine Funktionsschar bildet:

<br />
F\left[ {\left( x \right)+c ^{\prime}} \right] = F ^{\prime}\left( x \right) = f\left( x \right)<br />

Man schreibt in der Integralschreibweise:

<br />
F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right)+c}<br />

Der konstante Faktor c darf nur weggelassen werden, wenn es sich um ein unbestimmtes Integral handelt (also wenn keine Integrationsgrenzen vorgegeben sind).

Beispiel aus der Physik:

<br />
v = at<br />

(v: Geschwindigkeit, t: Zeit, a: Beschleunigung = konstant)

Es soll die Fläche unter der Funktion berechnet werden.

<br />
F_g  = \frac{1}<br />
{2}v_2 t_2<br />

<br />
F_1  = \frac{1}<br />
{2}at_1 ^2<br />

<br />
F = \frac{1}<br />
{2}a\left( {t_2 ^2 -t_1 ^2 } \right)<br />

“Fläche” wird gewonnen aus s = vt

<br />
\frac{{ds}}<br />
{{dt}} = v<br />

<br />
ds = vdt<br />

<br />
s = \int {ds = \int {vdt = \int {atdt} } }<br />

<br />
s = \frac{1}<br />
{2}at^2 +c<br />

Es gilt:

<br />
s_g  = \int\limits_0^{t_2 } {atdt}  = \frac{1}<br />
{2}at_2 ^2<br />

<br />
F_1  = \int\limits_0^{t_1 } {atdt}  = \frac{1}<br />
{2}at_1 ^2<br />

Für die Fläche zwischen zwei Begrenzungen:

<br />
F = \int\limits_{t_1 }^{t_2 } {atdt = } \frac{1}<br />
{2}at_2 ^2 -\frac{1}<br />
{2}at_1 ^2<br />

Zu beachten beim Umgang mit Integralen

Ein Integral kann in mehrere Einzelintegrale aufgeteilt werden. So kann der Bereich von a über b bis c entweder in einem oder in mehreren Integralen geschrieben werden:

<br />
\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} +\int\limits_b^c {f\left( x \right)dx}<br />

Wenn die Integrationsgrenzen vertauscht werden, ändert sich das Vorzeichen vor dem berechneten Flächeninhalt unter der Funktion:

<br />
\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx}  = -\int\limits_c^a {f\left( x \right)dx}<br />

Die Variable muss nicht x sein, sie kann auch durch eine andere ersetzt werden:

<br />
\int\limits_0^1 {\sqrt {1-x^2 } dx}  = \int\limits_0^1 {\sqrt {1-u^2 } du}  = \int\limits_0^1 {\sqrt {1-t^2 } dt}<br />

Es gibt auch verschiedene Schreibweisen für den hinteren Teil:

<br />
\left[ {F\left( x \right)} \right]_a^b  = \left[ F \right]_a^b  = \left[ {F\left( x \right)} \right]_{x = a}^{x = b}<br />

Eine Konstante im Integral kann auch vor das Integral gezogen werden:

<br />
\int {c \cdot f\left( x \right)dx}  = c \cdot \int {f\left( x \right)dx}<br />

Integrationsverfahren

1. Integration durch Substitution

Die Integration durch Substitution ist die Umkehrung der Kettenregel:
Lässt sich ein Integral auf die Form

<br />
\int {f\left( {g\left( x \right)} \right)g ^{\prime}\left( x \right)dx}<br />

bringen, so erhält man mit der Substitution

<br />
u = g\left( x \right)<br />

und daher

<br />
\frac{{du}}<br />
{{dx}} = g ^{\prime}\left( x \right)<br />

die Form

<br />
\int {f\left( {g\left( x \right)} \right)g ^{\prime}\left( x \right)dx}  = \int {f\left( u \right)du}<br />

Beispiele:

<br />
\int {\left( {\cos \left( {1+x^3 } \right)3x^2 } \right)dx}<br />

<br />
u = 1+x^3<br />

<br />
3x^2 dx = du<br />

<br />
dx = \frac{{du}}<br />
{{3x^2 }}<br />

<br />
\int {\cos \left( u \right) \cdot 3x^2  \cdot \frac{{du}}<br />
{{3x^2 }}}  = \int {\cos \left( u \right) \cdot du}  = \sin u+c<br />

Rücksubstitution:

<br />
\int {\left( {\cos \left( {1+x^3 } \right)3x^2 } \right)dx}  = \sin \left( {1+x^3 } \right)+c<br />

Beispiel 2:

<br />
\int {\cos ^5 xdx = \int {\left( {\cos ^4 x\cos x} \right)dx} }<br />

<br />
u = \cos x<br />

<br />
du = -\sin xdx<br />

<br />
\cos ^4 x = \left( {1-\sin ^2 x} \right)^2<br />

<br />
\int {\left( {1-\sin ^2 x} \right)^2 \cos xdx}  = \int {\left( {1-u^2 } \right)du}  = \int {\left( {1-2u^2 +u^4 } \right)du}<br />

<br />
 = u-\frac{2}<br />
{3}u^3 +\frac{1}<br />
{5}u^5 +c<br />

Abschließend muss nur noch substituiert werden.

Sonderfälle bei der Integration von Brüchen

<br />
\int {\frac{{g ^{\prime}\left( x \right)}}<br />
{{g\left( x \right)}}dx}<br />

<br />
u = g\left( x \right)<br />

<br />
du = g ^{\prime}\left( x \right)<br />

<br />
\int {\frac{{du}}<br />
{u}}  = \ln \left| u \right|+c<br />

Bei bestimmten Integralen verschieben sich die Integrationsgrenzen:

<br />
\int\limits_{x = a}^{x = b} {f\left[ {g\left( x \right)} \right]g ^{\prime}\left( x \right)dx}  = \int\limits_{u = g\left( a \right)}^{u = g\left( b \right)} {f\left[ u \right]du}<br />

Dies kann umgangen werden, wenn am Schluss die Variable resubstituiert wird.

noch ein Beispiel:

<br />
\int\limits_0^r {\frac{x}<br />
{{\sqrt {x^2 +y^2 } }}dx}<br />

<br />
u = x^2 +r<br />

<br />
du = 2xdx<br />

<br />
\frac{1}<br />
{2}du = xdx<br />

<br />
\frac{1}<br />
{2}\int\limits_{u = r^2 }^{2r^2 } {\frac{{du}}<br />
{{\sqrt u }}}  = \frac{1}<br />
{2} \cdot 2 \cdot \left[ {\sqrt u } \right]_{r^2 }^{2r^2 }  = r\left( {\sqrt 2 -r} \right)<br />

Partielle Integration

Die Partielle Integration ist die Umkehrung der Produktregel:

<br />
f\left( x \right) = u\left( x \right)v\left( x \right)<br />

<br />
\left( {uv} \right) ^{\prime}= u ^{\prime}v+v ^{\prime}u<br />

<br />
uv = \int {u ^{\prime}vdx} +\int {uv ^{\prime}dx}<br />

Die Rechenregel für die partielle Integration lautet also:

<br />
\int {u ^{\prime}vdx}  = uv-\int {uv ^{\prime}dx}<br />

Beispiel:

<br />
\int {x^2 \cos xdx}<br />

<br />
u ^{\prime}= \cos x<br />

<br />
u = \sin x<br />

<br />
v = x^2<br />

<br />
v ^{\prime}= 2x<br />

Einsetzen:

<br />
\int {x^2 \cos xdx}  = \sin x \cdot x^2 -2\int {\sin x \cdot xdx}<br />

Das Verfahren muss nun noch ein Mal angewendet werden:

<br />
u ^{\prime}= \sin x<br />

<br />
u = -\cos x<br />

<br />
v = x<br />

<br />
v ^{\prime}= 1<br />

<br />
\int {\sin x \cdot xdx}  = -\cos x \cdot x+\int {\cos xdx}<br />

<br />
\int {\cos xdx}  = \sin x+c<br />

<br />
\int {x^2 \cos xdx}  = x^2 \sin x+2x \cdot \cos x-2\sin x \cdot x+c<br />

In der Physik braucht man häufig bestimmte Integrale, wie zum Beispiel ein Arbeitsintegral. Eine besondere Form sind die Linienintegrale:

<br />
\int\limits_c {\vec F \left( {\vec r } \right)ds}<br />

oder geschlossene Integrale.

Berechnung der Fläche einer Ellipse

Formel für eine Ellipse:

<br />
\frac{{x^2 }}<br />
{{a^2 }}+\frac{{y^2 }}<br />
{{b^2 }} = 1<br />

<br />
A = 4\int {ydx}<br />

Y muss ausgerechnet und eingesetzt werden, anschließend lässt sich das Integral lösen. Dieser Vorgang ist sehr mühsam und soll hier nicht weiter vertieft werden.

Alternative: Parameterdarstellung

<br />
x = a\cos \phi<br />

<br />
x = a\cos \phi<br />

Die neue Variable ist φ.

<br />
dx = -a \cdot \sin \phi  \cdot d\phi<br />

<br />
A = 4\int\limits_{\frac{\pi }<br />
{2}}^0 {b\sin \phi \left( {-a \cdot \sin \phi } \right)d\phi }<br />

<br />
A = 4ab\int\limits_0^{\frac{\pi }<br />
{2}} {\sin ^2 \phi  \cdot d\phi }<br />

<br />
A = \pi  \cdot a \cdot b<br />

Volumen von Rotationskörpern

<br />
\Delta V = \pi \left( {f\left( {x_0 } \right)} \right)^2 \Delta x<br />

<br />
V = \pi \int\limits_a^b {\left( {f\left( x \right)} \right)^2 dx}<br />

Volumen einer Ellipse (eines Rotationsellipsoids)

<br />
\frac{{x^2 }}<br />
{{a^2 }}+\frac{{y^2 }}<br />
{{b^2 }} = 1<br />

<br />
y^2  = \left( {1-\frac{{x^2 }}<br />
{{a^2 }}} \right) \cdot b^2<br />

<br />
V_x  = 2\pi b^2 \int\limits_0^a {\left( {1-\frac{{x^2 }}<br />
{{a^2 }}} \right)dx = } 2\pi b^2 \left[ {x-\frac{1}<br />
{3} \cdot \frac{{x^3 }}<br />
{{a^2 }}} \right]_{x = 0}^{x = a}  = \frac{{4\pi }}<br />
{3}ab^2<br />

Rotation um die y-Achse:

<br />
V_y  = \frac{{4\pi }}<br />
{3}ba^2<br />

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