5. Integralrechnung

Zu einer Funktion

$y ^{\prime}= f\left( x \right)$

oder

$dy = f\left( x \right)dx$

wird die Stammfunktion F(x) gesucht.

Beispiel:

$f\left( x \right) = x^2$

$F\left( x \right) = \frac{1} {3}x^3$

F(x) ist die Stammfunktion der gegebenen Funktion f(x). Es gilt: F ^{\prime}(x) = f(x)
Beim Integrieren ist zu beachten, dass zu der Funktion noch ein konstanter Faktor kommt und somit eigentlich jedes Integral eine Funktionsschar bildet:

$F\left[ {\left( x \right)+c ^{\prime}} \right] = F ^{\prime}\left( x \right) = f\left( x \right)$

Man schreibt in der Integralschreibweise:

$F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right)+c}$

Der konstante Faktor c darf nur weggelassen werden, wenn es sich um ein unbestimmtes Integral handelt (also wenn keine Integrationsgrenzen vorgegeben sind).

Beispiel aus der Physik:

$v = at$

(v: Geschwindigkeit, t: Zeit, a: Beschleunigung = konstant)

Es soll die Fläche unter der Funktion berechnet werden.

$F_g = \frac{1} {2}v_2 t_2$

$F_1 = \frac{1} {2}at_1 ^2$

$F = \frac{1} {2}a\left( {t_2 ^2 -t_1 ^2 } \right)$

“Fläche” wird gewonnen aus s = vt

$\frac{{ds}} {{dt}} = v$

$ds = vdt$

$s = \int {ds = \int {vdt = \int {atdt} } }$

$s = \frac{1} {2}at^2 +c$

Es gilt:

$s_g = \int\limits_0^{t_2 } {atdt} = \frac{1} {2}at_2 ^2$

$F_1 = \int\limits_0^{t_1 } {atdt} = \frac{1} {2}at_1 ^2$

Für die Fläche zwischen zwei Begrenzungen:

$F = \int\limits_{t_1 }^{t_2 } {atdt = } \frac{1} {2}at_2 ^2 -\frac{1} {2}at_1 ^2$

Zu beachten beim Umgang mit Integralen

Ein Integral kann in mehrere Einzelintegrale aufgeteilt werden. So kann der Bereich von a über b bis c entweder in einem oder in mehreren Integralen geschrieben werden:

$\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} +\int\limits_b^c {f\left( x \right)dx}$

Wenn die Integrationsgrenzen vertauscht werden, ändert sich das Vorzeichen vor dem berechneten Flächeninhalt unter der Funktion:

$\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} = -\int\limits_c^a {f\left( x \right)dx}$

Die Variable muss nicht x sein, sie kann auch durch eine andere ersetzt werden:

$\int\limits_0^1 {\sqrt {1-x^2 } dx} = \int\limits_0^1 {\sqrt {1-u^2 } du} = \int\limits_0^1 {\sqrt {1-t^2 } dt}$

Es gibt auch verschiedene Schreibweisen für den hinteren Teil:

$\left[ {F\left( x \right)} \right]_a^b = \left[ F \right]_a^b = \left[ {F\left( x \right)} \right]_{x = a}^{x = b}$

Eine Konstante im Integral kann auch vor das Integral gezogen werden:

$\int {c \cdot f\left( x \right)dx} = c \cdot \int {f\left( x \right)dx}$

Integrationsverfahren

1. Integration durch Substitution

Die Integration durch Substitution ist die Umkehrung der Kettenregel:
Lässt sich ein Integral auf die Form

$\int {f\left( {g\left( x \right)} \right)g ^{\prime}\left( x \right)dx}$

bringen, so erhält man mit der Substitution

$u = g\left( x \right)$

und daher

$\frac{{du}} {{dx}} = g ^{\prime}\left( x \right)$

die Form

$\int {f\left( {g\left( x \right)} \right)g ^{\prime}\left( x \right)dx} = \int {f\left( u \right)du}$

Beispiele:

$\int {\left( {\cos \left( {1+x^3 } \right)3x^2 } \right)dx}$

$u = 1+x^3$

$3x^2 dx = du$

$dx = \frac{{du}} {{3x^2 }}$

$\int {\cos \left( u \right) \cdot 3x^2 \cdot \frac{{du}} {{3x^2 }}} = \int {\cos \left( u \right) \cdot du} = \sin u+c$

Rücksubstitution:

$\int {\left( {\cos \left( {1+x^3 } \right)3x^2 } \right)dx} = \sin \left( {1+x^3 } \right)+c$

Beispiel 2:

$\int {\cos ^5 xdx = \int {\left( {\cos ^4 x\cos x} \right)dx} }$

$u = \cos x$

$du = -\sin xdx$

$\cos ^4 x = \left( {1-\sin ^2 x} \right)^2$

$\int {\left( {1-\sin ^2 x} \right)^2 \cos xdx} = \int {\left( {1-u^2 } \right)du} = \int {\left( {1-2u^2 +u^4 } \right)du}$

$= u-\frac{2} {3}u^3 +\frac{1} {5}u^5 +c$

Abschließend muss nur noch substituiert werden.

Sonderfälle bei der Integration von Brüchen

$\int {\frac{{g ^{\prime}\left( x \right)}} {{g\left( x \right)}}dx}$

$u = g\left( x \right)$

$du = g ^{\prime}\left( x \right)$

$\int {\frac{{du}} {u}} = \ln \left| u \right|+c$

Bei bestimmten Integralen verschieben sich die Integrationsgrenzen:

$\int\limits_{x = a}^{x = b} {f\left[ {g\left( x \right)} \right]g ^{\prime}\left( x \right)dx} = \int\limits_{u = g\left( a \right)}^{u = g\left( b \right)} {f\left[ u \right]du}$

Dies kann umgangen werden, wenn am Schluss die Variable resubstituiert wird.

noch ein Beispiel:

$\int\limits_0^r {\frac{x} {{\sqrt {x^2 +y^2 } }}dx}$

$u = x^2 +r$

$du = 2xdx$

$\frac{1} {2}du = xdx$

$\frac{1} {2}\int\limits_{u = r^2 }^{2r^2 } {\frac{{du}} {{\sqrt u }}} = \frac{1} {2} \cdot 2 \cdot \left[ {\sqrt u } \right]_{r^2 }^{2r^2 } = r\left( {\sqrt 2 -r} \right)$

Partielle Integration

Die Partielle Integration ist die Umkehrung der Produktregel:

$f\left( x \right) = u\left( x \right)v\left( x \right)$

$\left( {uv} \right) ^{\prime}= u ^{\prime}v+v ^{\prime}u$

$uv = \int {u ^{\prime}vdx} +\int {uv ^{\prime}dx}$

Die Rechenregel für die partielle Integration lautet also:

$\int {u ^{\prime}vdx} = uv-\int {uv ^{\prime}dx}$

Beispiel:

$\int {x^2 \cos xdx}$

$u ^{\prime}= \cos x$

$u = \sin x$

$v = x^2$

$v ^{\prime}= 2x$

Einsetzen:

$\int {x^2 \cos xdx} = \sin x \cdot x^2 -2\int {\sin x \cdot xdx}$

Das Verfahren muss nun noch ein Mal angewendet werden:

$u ^{\prime}= \sin x$

$u = -\cos x$

$v = x$

$v ^{\prime}= 1$

$\int {\sin x \cdot xdx} = -\cos x \cdot x+\int {\cos xdx}$

$\int {\cos xdx} = \sin x+c$

$\int {x^2 \cos xdx} = x^2 \sin x+2x \cdot \cos x-2\sin x \cdot x+c$

In der Physik braucht man häufig bestimmte Integrale, wie zum Beispiel ein Arbeitsintegral. Eine besondere Form sind die Linienintegrale:

$\int\limits_c {\vec F \left( {\vec r } \right)ds}$

oder geschlossene Integrale.

Berechnung der Fläche einer Ellipse

Formel für eine Ellipse:

$\frac{{x^2 }} {{a^2 }}+\frac{{y^2 }} {{b^2 }} = 1$

$A = 4\int {ydx}$

Y muss ausgerechnet und eingesetzt werden, anschließend lässt sich das Integral lösen. Dieser Vorgang ist sehr mühsam und soll hier nicht weiter vertieft werden.

Alternative: Parameterdarstellung

$x = a\cos \phi$

Die neue Variable ist φ.

$dx = -a \cdot \sin \phi \cdot d\phi$

$A = 4\int\limits_{\frac{\pi } {2}}^0 {b\sin \phi \left( {-a \cdot \sin \phi } \right)d\phi }$

$A = 4ab\int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {\sin ^2 \phi \cdot d\phi }$

$A = \pi \cdot a \cdot b$

Volumen von Rotationskörpern

$\Delta V = \pi \left( {f\left( {x_0 } \right)} \right)^2 \Delta x$

$V = \pi \int\limits_a^b {\left( {f\left( x \right)} \right)^2 dx}$

Volumen einer Ellipse (eines Rotationsellipsoids)

$\frac{{x^2 }} {{a^2 }}+\frac{{y^2 }} {{b^2 }} = 1$

$y^2 = \left( {1-\frac{{x^2 }} {{a^2 }}} \right) \cdot b^2$

$V_x = 2\pi b^2 \int\limits_0^a {\left( {1-\frac{{x^2 }} {{a^2 }}} \right)dx = } 2\pi b^2 \left[ {x-\frac{1} {3} \cdot \frac{{x^3 }} {{a^2 }}} \right]_{x = 0}^{x = a} = \frac{{4\pi }} {3}ab^2$

Rotation um die y-Achse:

$V_y = \frac{{4\pi }} {3}ba^2$

Mathematical Engineering