In diesem Artikel wird der Beweis geführt, dass jeder Quotientenraum eines vollständigen Raumes wieder vollständig ist.
Behauptung
Sei ein normierter Raum,
ein Unterraum.
Die Quotientennorm sei definiert durch:
Ist vollständig, dann ist auch der Quotientenraum
vollständig bezüglich dieser Quotientennorm.
Grundlagen
Zum Verständnis dieses Artikels ist die Lektüre des letzten Artikels erforderlich.
Bemerkung:
Im Quotientenraum gilt:
Es gilt weiterhin:
mit festem , denn
Beweis
Sei
eine beliebige Cauchy-Folge in , wobei jede Äquivalenzklasse
durch einen Repräsentanten
festgesetzt sei.
Im Allgemeinen wird die Folge keine Cauchy-Folge bilden.
Um den Satz dennoch zu beweisen, müssen wir drei Schritte durchführen.
1. Schritt: Auswahl einer verdichteten Teilfolge
2. Schritt: Wahl geeigneter Repräsentanten , die eine Cauchy-Folge bilden
3. Schritt: Nachweis, dass der in vorhandene Grenzwert
zu
ein Repräsentant des gesamten Grenzelementes
ist.
erster Schritt
Da eine Cauchy-Folge ist, existiert zu jedem
ein
.
Es gilt
sofern
Speziell zu ist der Index
, wenn
.
Wir wählen für jedes eine Zahl in
, nämlich
und
(streng monotone Folge). Das Startelement setzen wir:
Dann gilt mit dieser monotonen Indexfolge für die dadurch definierte Teilfolge
:
zweiter Schritt
In jeder Äquivalenzklasse gibt es mindestens einen Repräsentanten
so dass
sogar elementweise gilt.
Dazu wählen wir beliebig und bestimmen
induktiv:
Seien schon gewählt. Nach
und
existiert ein spezielles , so dass
Wir haben nun die Repräsentanten gewählt. Nun wollen wir noch, dass diese eine Cauchy-Folge bilden.
Behauptung:
Die durch das oben beschriebene Vorgehen (nicht eindeutig) bestimmte Folge ist eine Cauchy-Folge in
, wenn
dritter Schritt
Die Cauchy-Folge konvergiert wegen der Vollständigkeit von
gegen ein
Es gilt:
Wegen nach Definition der Quotientennorm gilt:
Erklärung zum Subtrahieren von Äquivalenzklassen:
Umstellen:
Es folgt: