08 – Vollständigkeit von Quotientenräumen – Beweis

 

In diesem Artikel wird der Beweis geführt, dass jeder Quotientenraum eines vollständigen Raumes wieder vollständig ist.

Behauptung

Sei E ein normierter Raum, F \subset E ein Unterraum.

Die Quotientennorm sei definiert durch:

\left\| {\left[ x \right]} \right\|: = \inf \left\{ {\left\| y \right\|:y \in \left[ x \right] = x+F} \right\}

Ist E vollständig, dann ist auch der Quotientenraum E / F vollständig bezüglich dieser Quotientennorm.

Grundlagen

Zum Verständnis dieses Artikels ist die Lektüre des letzten Artikels erforderlich.

Bemerkung:

Im Quotientenraum E/F gilt:

\left\| {\left[ x \right]} \right\| = \inf \left\| y \right\|,\quad y \in \left[ x \right]

Es gilt weiterhin:

\left\| {\left[ x \right]+\left[ y \right]} \right\| = \inf \left\| {{x_0}+y^{\prime\prime}} \right\|,\quad y^{\prime\prime} \in \left[ y \right]

mit festem {x_0} \in \left[ x \right], denn

\left\| {\left[ x \right]+\left[ y \right]} \right\| = \inf \left\| {x^{\prime}+y^{\prime}} \right\|,\quad x^{\prime} \in \left[ x \right],\quad y^{\prime} \in \left[ y \right]

= \inf \left\| {{x_0}+\underbrace {\left( {\underbrace {x^{\prime}-{x_0}}_{ \in F}+y^{\prime}} \right)}_{ = :y^{\prime\prime} \in \left[ y \right]}} \right\|

Beweis

Sei

{\left\{ {\left[ {{x_\nu }} \right]} \right\}_{\nu  \in \mathbb{N}}}

eine beliebige Cauchy-Folge in E / F, wobei jede Äquivalenzklasse {\left[ {{x_\nu }} \right]} durch einen Repräsentanten {x_\nu } \in E festgesetzt sei.

Im Allgemeinen wird die Folge \left\{ {{x_\nu }} \right\} keine Cauchy-Folge bilden.

Um den Satz dennoch zu beweisen, müssen wir drei Schritte durchführen.

1. Schritt: Auswahl einer verdichteten Teilfolge {\left\{ {{x_{{\nu _k}}}} \right\}_{k \in \mathbb{N}}}

2. Schritt: Wahl geeigneter Repräsentanten {x_{{\nu _k}}} \in \left[ {{x_{{\nu _k}}}} \right], die eine Cauchy-Folge bilden

3. Schritt: Nachweis, dass der in E vorhandene Grenzwert x_0 zu \left\{ {{x_{{\nu _k}}}} \right\} ein Repräsentant des gesamten Grenzelementes \left[ {{x_0}} \right] \in E/F ist.

erster Schritt

Da {\left\{ {\left[ {{x_\nu }} \right]} \right\}_{\nu  \in \mathbb{N}}} eine Cauchy-Folge ist, existiert zu jedem \varepsilon  > 0 ein m\left( \varepsilon  \right) \in \mathbb{N}.

Es gilt

\left\| {\left[ {{x_\mu }} \right]-\left[ {{x_\nu }} \right]} \right\| < \varepsilon

sofern \mu ,\nu  > m\left( \varepsilon  \right)

Speziell zu \varepsilon  = \frac{1} {{{2^k}}},\quad k \in \mathbb{N} ist der Index m\left( {\frac{1} {{{2^k}}}} \right) \in \mathbb{N}:\left\| {\left[ {{x_\mu }} \right]-\left[ {{x_\nu }} \right]} \right\| < \frac{1} {{{2^k}}}, wenn \mu ,\nu  > m\left( {\frac{1} {{{2^k}}}} \right).

Wir wählen für jedes k \in \mathbb{N} eine Zahl in \mathbb{N}, nämlich {\nu _k} > m\left( {\frac{1} {{{2^k}}}} \right) und {\nu _k} > {\nu _{k-1}} (streng monotone Folge). Das Startelement setzen wir: {\nu _0} = 1

Dann gilt mit dieser monotonen Indexfolge \left\{ {{\nu _k}} \right\} für die dadurch definierte Teilfolge {\left\{ {{x_{{\nu _k}}}} \right\}_{k \in \mathbb{N}}}:

\left\| {\left[ {{x_{{\nu _{k+1}}}}} \right]-\left[ {{x_{{\nu _k}}}} \right]} \right\| < \frac{1} {{{2^k}}},\quad k \in \mathbb{N}

zweiter Schritt

In jeder Äquivalenzklasse {\left[ {{x_{{\nu _k}}}} \right]} gibt es mindestens einen Repräsentanten

x_{{\nu _k}}^{\prime} \in \left[ {{x_{{\nu _k}}}} \right]

so dass

\left\| {\left[ {{x_{{\nu _{k+1}}}}} \right]-\left[ {{x_{{\nu _k}}}} \right]} \right\| < \frac{1} {{{2^k}}},\quad k \in \mathbb{N}

sogar elementweise gilt.

Dazu wählen wir x_{{\nu _1}}^{\prime} \in \left[ {{x_{{\nu _1}}}} \right] beliebig und bestimmen x_{{\nu _{k+1}}}^{\prime} induktiv:

Seien x_{{\nu _2}}^{\prime}, \ldots ,x_{{\nu _k}}^{\prime} schon gewählt. Nach

\left\| {\left[ {{x_{{\nu _{k+1}}}}} \right]-\left[ {{x_{{\nu _k}}}} \right]} \right\| < \frac{1} {{{2^k}}},\quad k \in \mathbb{N}

und

\left\| {\left[ {{x_{{\nu _{k+1}}}}} \right]-\left[ {{x_{{\nu _k}}}} \right]} \right\| = \inf \left\{ {\left\| {y-x_{{\nu _k}}^{\prime}} \right\|} \right\},y \in \left[ {{x_{{\nu _{k+1}}}}} \right] < \frac{1} {{{2^k}}}

existiert ein spezielles y = :x_{{\nu _{k+1}}}^{\prime}, so dass \left\| {\left[ {{x_{{\nu _{k+1}}}}} \right]-\left[ {{x_{{\nu _k}}}} \right]} \right\| < \frac{1} {{{2^k}}},\quad k \in \mathbb{N}

Wir haben nun die Repräsentanten gewählt. Nun wollen wir noch, dass diese eine Cauchy-Folge bilden.

Behauptung:

Die durch das oben beschriebene Vorgehen (nicht eindeutig) bestimmte Folge {\left\{ {{x_{{\nu _k}}}} \right\}_{k \in \mathbb{N}}} ist eine Cauchy-Folge in E, wenn

\forall \varepsilon  > 0\exists {p_0}\left( \varepsilon  \right) \in \mathbb{N}:\left\| {x_{{\nu _q}}^{\prime}-x_{{\nu _p}}^{\prime}} \right\| = \left\| {\sum\limits_{j = p}^{q-1} {\left( {x_{{\nu _{j+1}}}^{\prime}-x_{{\nu _j}}^{\prime}} \right)} } \right\|

\leq \sum\limits_{j = p}^{q-1} {\left\| {x_{{\nu _{j+1}}}^{\prime}-x_{{\nu _j}}^{\prime}} \right\|}  < \sum\limits_{j = p}^{q-1} {\frac{1} {{{2^j}}} < \frac{1} {{{2^p}}}} \left( {1+\frac{1} {2}+ \ldots } \right) < \frac{2} {{{2^p}}}

\forall q > p > {p_0}\left( \varepsilon  \right)

dritter Schritt

Die Cauchy-Folge x_{{\nu _{k+1}}}^{\prime} konvergiert wegen der Vollständigkeit von E gegen ein x_0 \in E

Es gilt:

\forall \varepsilon  > 0\exists {k_0}\left( \varepsilon  \right):\left\| {x_{{\nu _q}}^{\prime}-{x_0}} \right\| < \varepsilon \forall k > {k_0}\left( \varepsilon  \right)

Wegen \left\| {\left[ x \right]} \right\| \leq \left\| x \right\| nach Definition der Quotientennorm gilt:

\left\| {\left[ {x_{{\nu _k}}^{\prime}} \right]-\left[ {{x_0}} \right]} \right\| = \left\| {\left[ {x_{{\nu _k}}^{\prime}-{x_0}} \right]} \right\| \leq \left\| {x_{{\nu _k}}^{\prime}-{x_0}} \right\| < \varepsilon \forall k > {k_0}\left( \varepsilon  \right)

Erklärung zum Subtrahieren von Äquivalenzklassen:

\left\| {\left[ {x_{{\nu _k}}^{\prime}} \right]-\left[ {{x_0}} \right]} \right\| = \left\| {\left( {x_{{\nu _k}}^{\prime}+F} \right)-\left( {{x_0}+F} \right)} \right\|

= \left\| {\left( {x_{{\nu _k}}^{\prime}+y \in F} \right)-\left( {{x_0}+z \in F} \right)} \right\|

Umstellen:

\left\| {\left( {x_{{\nu _k}}^{\prime}+y \in F} \right)-\left( {{x_0}+z \in F} \right)} \right\| = \left\| {\left( {x_{{\nu _k}}^{\prime}-{x_0}+\underbrace {y \in F-z \in F}_{ \in F}} \right)} \right\|

Es folgt:

\left\| {\left[ {x_{{\nu _k}}^{\prime}} \right]-\left[ {{x_0}} \right]} \right\| = \left\| {\left( {x_{{\nu _k}}^{\prime}-{x_0}} \right)+F} \right\| = \left\| {\left[ {x_{{\nu _k}}^{\prime}-{x_0}} \right]} \right\|