Vorwissen Abitur (1): Elektromagnetische Felder

 

Feldbegriff und Messverfahren zu Feldstärke und Flussdichte

Das elektrische Feld ordnet jedem Raumpunkt die richtungsabhängige Größe der elektrischen Feldstärke \vec E zu. Diese ist definiert durch die Kraft \vec F, die auf eine in dem Punkt befindliche Ladung q wirkt. Die Einheit der Feldstärke ist Kraft pro Ladung:

\left[ {\vec E} \right] = \left[ {\frac{{\vec F }} {q}} \right] = \frac{N} {C}

oder Spannung pro Entfernungseinheit:

\left[ {\vec E} \right] = \left[ {\frac{U} {l}} \right] = \frac{V} {m}

Mit geladenem Gries kann der Verlauf eines elektrischen Feldes sichtbar gemacht werden.

Arten von elektrischen Feldern

Elektrostatisches Feld: Wird von einer ruhenden Ladung erzeugt und unterliegt daher keiner zeitlichen Änderung.

Radialfeld: Wird von einer Punktladung erzeugt. Die Feldstärke nimmt mit der Entfernung zu diesem Punkt quadratisch ab.

Homogenes Feld: z.B. Plattenkondensator. Feldstärke überall gleich (Betrag und Richtung)

Wenn man einen geladenen Körper im Feld bewegt, so ist die benötigte elektrische Arbeit:

W = Q\vec E \vec d

wobei \vec d der der Feldkraft entgegengesetzte Anteil der Entfernung ist.

Experimentelle Bestimmung der Feldstärke

Eine geladene Kugel hängt an einem Faden in einem homogenen elektrischen Feld, dessen Feldstärke bestimmt werden soll. Dies geschieht nach Messung der Auslenkung der Kugel mit der Projektionsmethode:

\tan \alpha = \frac{{\vec F _{el} }} {{\vec F _G }} = \frac{s} {l} \Leftrightarrow \vec F _{el} = \frac{{s \cdot \vec F _G }} {l} \Leftrightarrow \vec E = \frac{{s \cdot \vec F _G }} {{Q \cdot l}}

Flussdichte

Die magnetische Flussdichte wird definiert als der Quotient aus der Kraft F, die ein vom Strom I durchflossener Leiter der Länge l in einem Magnetfeld erfährt, und dem Produkt von I und der Leiterlänge l.
Die Einheit der Flussdichte ist Tesla, das Formelzeichen B.

experimentelle Bestimmung:
Die magnetische Flussdichte kann mit Hilfe einer Stromwaage bestimmt werden.

In der Spule herrscht ein nach rechts gerichtetes homogenes Magnetfeld. In einem Spalt der Spule befindet sich ein von dem Strom I durchflossener Leiter. Auf den Leiter wirkt eine Kraft, die maximal ist, wenn der Leiter senkrecht zu den Feldlinien des Magnetfeldes ist. Die Kraftrichtung ergibt sich aus der “Rechte Hand Regel” (nach unten).
Der Betrag der Kraft ist proportional zu der Länge l des Leiters und zu I:

F \sim l \cdot I

Da die Stärke des Magnetfeldes von l und I unabhängig sein soll, wird durch diese beiden Faktoren geteilt. Die Größe, in der die Flussdichte gemessen wird ist also:

B = \frac{F} {{l \cdot I}}

Wenn die Flussdichte eines Magnetfeldes bekannt ist, kann damit die auf einen stromdurch-flossenen Leiter wirkende Kraft berechnet werden:

F = l \cdot I \cdot B

Homogenes Magnetfeld einer Spule

Die vielen ringförmigen Magnetfelder, die jede einzelne stromdurchflossene Drahtwindung umgeben, überlagern sich im Inneren der Spule zu einem homogenen Magnetfeld, das in Richtung der Spulenachse zeigt. In diesem Fall beträgt die Flussdichte der vom Strom I durchflossenen Spule mit der Länge l und der Windungszahl N:

B = \mu _0 \cdot \frac{N} {l} \cdot I

Die Lorentz-Kraft

Die auf einen stromdurchflossenen Leiter wirkende Kraft F kann man auf die sich im Leiter bewegenden Teilchen verallgemeinern, auf die die Kraft eigentlich wirkt.

Herleitung der Formel:

Stromstärke= Ladung pro Zeit: I = \frac{Q}{t}

Ladung = Anzahl mal Teilchenladung: Q = n \cdot q

Zeit = Strecke durch Geschwindigkeit: t = \frac{l}{v}

Kraft auf Leiter = Strecke mal Stromstärke mal magnetische Flussdichte: F = l \cdot I \cdot B

eingesetzt:

F = l \cdot \frac{{N \cdot q \cdot v}} {l} \cdot B = N \cdot q \cdot v \cdot B

Die Kraft auf ein einzelnes Teilchen ist:

F = \frac{{F_{Leiter} }} {N} = q \cdot v \cdot B

Die Lorentzkraft ist eine nach innen wirkende Zentripetalkraft, unter deren Einfluss sich ein Körper auf einer Kreisbahn bewegt.

Der Hall-Effekt

Die magnetische Flussdichte lässt sich mit einer Stromwaage bestimmen. Eine andere Methode, die auf der Lorentzkraft beruht, ist der Hall-Sensor, der den Hall-Effekt nutzt.
Als stromdurchflossenen Leiter benutzt man eine dünne Kupferfolie, die zwischen zwei Metallplatten eingespannt ist. Wenn senkrecht zur Folienebene ein Magnetfeld mit der Flussdichte B angelegt und die Folie von dem Strom I durchflossen wird, entsteht zwischen der Ober- und Unterkante der Folie ein elektrisches Feld. Die Spannung UH zwischen Ober- und Unterkante nennt man Hall-Spannung.

Die Hall-Spannung entsteht wie folgt: Elektronen bewegen sich entgegen der Stromrichtung I mit der Geschwindigkeit v. Diese ist proportional zur Stromstärke und somit auch zur Batteriespannung U.
Im Magnetfeld wirkt die Lorentzkraft auf die Elektronen und lenkt sie nach oben ab. Dadurch entsteht an der Oberkante der Folie ein Elektronenüberschuss, unten ein Elektronenmangel. Dieses Elektronenkonzentrationsgefälle hat die Hall-Spannung zur Folge.

Die Elektronen werden so lange nach oben abgelenkt, bis die Lorentzkraft durch das nach unten gerichtete immer stärker werdende Feld kompensiert wird. Dass Hall-Feld hat die Feldstärke:

E = \frac{{U_H }} {b}

Aus dieser Tatsache erschließt sich die Formel für die Hall-Spannung:

-F_{el} = F_L \Leftrightarrow \left| {-q \cdot E} \right| = \left| {q \cdot v \cdot B} \right| \Leftrightarrow \frac{{U_H }} {b} = v \cdot B \Leftrightarrow U_H = B \cdot b \cdot v

Die Flussdichte eines Magnetfeldes kann man nun durch Messung von UH bestimmen:

B = \frac{{U_H }} {{b \cdot v}}

Zusammenhang zwischen UH und I:

I = \frac{{\Delta Q}} {{\Delta t}} = \frac{{Nq}} {{\Delta t}} = \frac{{nVq}} {{\Delta t}} = \frac{{n \cdot db \cdot \Delta l \cdot q}} {{\Delta t}} = \frac{{n \cdot db \cdot v\Delta t \cdot q}} {{\Delta t}} = n \cdot db \cdot v \cdot q

N: Anzahl Ladungsträger; n: Ladungsträgerdichte; d: Dicke; l: zurückgelegter Weg.

U_H = Bbv \Leftrightarrow v = \frac{{U_H }} {{Bb}}

einsetzen:

I = nbd\frac{{U_H }} {{Bb}}q \Leftrightarrow n = \frac{{B \cdot I}} {{d \cdot U_H \cdot q}} \Leftrightarrow U_H = \frac{{B \cdot I}} {{d \cdot n \cdot q}}

Elektromagnetische Induktion

Berechnung der Induktionsspannung beim Generator:

A = a \cdot b{\text{ }}\alpha = \omega \cdot t{\text{ }}A ^{\prime}= ab \cdot \cos \alpha

\Phi = A ^{\prime}\cdot B = ab \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) \cdot B

U_{Ind} = -N \cdot \Phi ^{\prime}= N \cdot ab \cdot B \cdot \omega \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)

Elektromagnetische Schwingungen

Der Kondensator wird mit einer Gleichstromquelle aufgeladen. Anschließend wird die Stromquelle aus dem Stromkreis entfernt (z.B. durch einen Schalter). Die gesamte Energie des Systems ist im elektrischen Feld des Kondensators gespeichert. Nun beginnt der Kondensator sich über die Spule zu entladen.
In dem Moment, in dem der Kondensator ganz entladen ist, erreicht die Stromstärke in der Spule den größten Wert. Die Energie des el. Feldes wurde vollständig in die Energie des Magnetfeldes der Spule umgewandelt.
Anschließend fließt der Strom wegen der Selbstinduktion der Spule noch eine Zeit lang in die gleiche Richtung weiter, der Kondensator wird mit entgegengesetzter Polung neu aufgeladen.
In dem Moment, in dem die Stromstärke auf 0 abgesunken ist, erreicht die Ladung des Kondensators wieder den anfänglichen Maximalwert.
→ Ungedämpfte Schwingung nur bei optimaler Spule.

Berechnung der Eigenfrequenz eines Schwingkreises (Thomson’sche Gleichung)

Das obere Spulenende ist direkt mit der oberen Platte des Kondensators verbunden, daher haben beide das gleiche Potential. Ebenso ist es mit der unteren Platte und dem unteren Spulenende. Ueff ist daher bei Spule und Kondensator gleich.

Für die Spannung am Kondensator gilt:

U_{{\text{eff}}} = \frac{1} {{\omega C}} \cdot I_{{\text{eff}}}

An der Spule:

U_{{\text{eff}}} = \omega \cdot L \cdot I_{{\text{eff}}}

Wenn man die Gleichungen gleichsetzt, erhält man so:

\omega LI_{{\text{eff}}} = \frac{1} {{\omega C}}I_{{\text{eff}}} \Leftrightarrow \omega ^2 = \frac{1} {{LC}} \Leftrightarrow \omega = \frac{1} {{\sqrt {LC} }}

\Leftrightarrow f = \frac{1} {{2\pi \sqrt {LC} }} \Leftrightarrow T = 2\pi \sqrt {LC}

Herleitung der Scheitelstromstärke Im (Energieerhaltungssatz)

Zur Zeit t0 gilt:

E_{el} = \frac{1} {2}CU_m ^2

Zur Zeit t0+1/4 T gilt:

E_{mag} = \frac{1} {2}LI_m ^2

Da im Optimalfall keine Energie verloren geht, kann gleichgesetzt werden:

\frac{1} {2}CU_m ^2 = \frac{1} {2}LI_m ^2 \Leftrightarrow I_m = \sqrt {\frac{C} {L}} \cdot U_m

Erzwungene Schwingung

Bei einer freien Schwingung (nur der rechte Teil des Schaltplans) wird immer durch den ohmschen Widerstand der Spule ein Teil der Energie in Wärme umgewandelt und geht somit für die Schwingung verloren. Diese wird immer schwächer, man spricht von einer gedämpften Schwingung.
Um die Dämpfung aufzuheben, muss genau so viel Energie von außen in das System eingeführt werden, wie durch Wärme verloren geht.
Der linke Teil des Schaltplans stellt einen Schwingkreis dar. Das sich periodisch auf- und abbauende Magnetfeld der Spule erzeugt einen Induktionsstrom in der rechten Spule. Dadurch wird das frei schwingende System unterstützt und die Dämpfung ausgeglichen. Es ist wichtig, dass die Erregerfrequenz ähnlich der Eigenfrequenz des Systems ist. Sind beide identisch, wird am meisten Energie übertragen, man spricht von Resonanz.

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