A 09 – Wachsende Eisschicht

 

Über eine horizontale Platte mit der konstanten Oberflächentemperatur {T_p} strömt Wasser. Die Oberflächentemperatur liegt 10 K unter der Gefriertemperatur von Wasser, weshalb sich auf der Oberfläche eine wachsende Eisschicht bildet.

Annahme: Die Dicke der Eisschicht ist über die gesamte Platte zu jedem Zeitpunkt konstant.

Aufgaben:

  1. Skizzieren Sie den Temperaturverlauf im System Platte – Eis – Wasser. Der Temperaturverlauf soll räumlich und zeitlich konstant sein. Die Wassertemperatur {T_W} ist höher als die Gefriertemperatur.
  2. Stellen Sie die Differentialgleichung für das Wachstum der Eisschicht normal zur Plattenoberfläche mit Hilfe einer Energiebilanz auf.
  3. Wie dick ist die Eisschicht nach unendlich langer Wartezeit?
  4. Machen Sie die Differentialgleichung dimensionslos und lösen Sie diese.
  5. Wie lange dauert es, bis die Dicke der Eisschicht {y_{\max }}/2 erreicht hat?

Gegeben:

Gefriertemperatur Wasser: {T_G} = 0\;^\circ {\text{C}}

Temperatur des Wassers: {T_W} = 5\;^\circ {\text{C}}

Wärmeleitfähigkeit Eis: {k_E} = 2\frac{{\text{W}}}{{{\text{m}} \cdot {\text{K}}}}

Dichte Eis: {\rho _E} = 920\frac{{{\text{kg}}}}{{{{\text{m}}^3}}}

Erstarrungswärme: {h_S} = 333000\frac{{\text{J}}}{{{\text{kg}}}}

Wärmekapazität Eis: {c_{pE}} = 1930\frac{{\text{J}}}{{{\text{kg}} \cdot {\text{K}}}}

Wärmeübergangskoeffizient: h = 100\frac{{\text{W}}}{{{{\text{m}}^2} \cdot {\text{K}}}}

Zusammenfassung – Schmelzen und Erstarren

Das wesentliche Problem bei Schmelz- und Erstarrungsprozessen ist die bewegte Phasengrenze.

Wir betrachten einen kalten Kern mit wachsender Eisschicht:

kalter-eis-kern

Umgebungstemperatur: {T_U}
Kerntemperatur: {T_K}
Temperatur der Phasenübergangsschicht: {T_s}

Wir treffen nun zahlreiche Vereinfachungen:

  • k \ne k\left( T \right);\quad {\rho _{fl.}} = {\rho _{fest}};\quad c \ne c\left( T \right)
  • mitbewegtes Koordinatensystem

Der zeitliche Verlauf der Wasser- und Eisschicht sieht wie folgt aus:

verlauf-eis-wasser-schicht

Der erste Hauptsatz lautet im Falle von Schmelz- und Erstarrungsvorgängen:

0 = {\dot Q_{zu}}-{\dot Q_{ab}}+\Delta {h_S} \cdot \frac{{\partial {m_{fest}}}}{{\partial t}}

Daraus folgt die Energiebilanz

0 = {\dot Q_{zu}}-{\dot Q_{ab}}+\underbrace {{{\left( {\rho \tilde uAh} \right)}_W}}_{{{\dot m}_W}}-\underbrace {{{\left( {\rho \tilde uAh} \right)}_E}}_{{{\dot m}_E}}

mit der Enthalpie {h_W} bzw. {h_E} und der Geschwindigkeit {\tilde u_W} bzw. {\tilde u_E}. An der Phasengrenze gilt die Kontinuitätsgleichung:

{\tilde u_W} \cdot {\rho _W} = {\tilde u_E} \cdot {\rho _E}

Schmelzenthalpie:

{h_W}\left( {T = {T_S}} \right)-{h_E}\left( {T = {T_S}} \right) = {h_S}

Damit folgt die Energiebilanz der Phasengrenze:

0 = {\dot Q_{zu}}-{\dot Q_{ab}}+{h_S}{\rho _E}{A_G}\frac{{\partial {r_G}}}{{\partial t}}

Hier ist \frac{{\partial {r_G}}}{{\partial t}} die Geschwindigkeit der Phasengrenze. Beim Erstarren ist {\dot Q_{zu}} < {\dot Q_{ab}}, beim Schmelzen analog {\dot Q_{zu}} > {\dot Q_{ab}}.

Quasistationäre Näherung

Wir führen die Stefan-Zahl ein:

\frac{1}{{{\text{Ph}}}} = {\text{St}}: = \frac{{{c_E}\left( {{T_S}-{T_K}} \right)}}{{{h_S}}} = \sqrt \pi \gamma {e^{{\gamma ^2}}}{\text{erf}}\left( \gamma \right)

Sie ist eine dimensionslose Kennzahl und beschreibt das Verhältnis von fühlbarer Wärme (Wärme, die sich bei Zu- oder Abfuhr unmittelbar in Änderungen der Temperatur äußert) zu latenter Wärme (Bei einem Phasenübergang erster Ordnung aufgenommene oder abgegebene Energiemenge. Temperatur ändert sich nicht). Ihr Kehrwert ist die Phasenübergangszahl \left( {{\text{Ph}}} \right).

Näherung: {h_S}\mathop \gg \limits^! {c_E}\left( {{T_S}-{T_K}} \right)

Damit wird das Wärmeleitproblem in die feste Phase verschoben. Zusätzlich nehmen wir an, dass die Energie, die im Kern frei wird, größer ist als jene, welche beim Transport der Energie (von außen zum kalten Kern) gespeichert wird.

Damit folgt für die instationäre Wärmeleitungsgleichung der Platte:

\underbrace {\rho c\frac{{\partial T}}{{\partial t}}}_0 = k\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {x^2}}}

Um in der Praxis mit dieser quasistationären Näherung rechnen zu dürfen muss für die Phasenübergangszahl gelten:

\frac{1}{{{\text{St}}}} = {\text{Ph}}: = \left| {\frac{{{h_S}}}{{{c_E} \cdot \left( {{T_S}-{T_K}} \right)}}} \right|\mathop > \limits^! 10

Verwendung der Berechnungsmodelle:

 stefan-zahl-quasi-stationar-naherung

Für den stationären Temperaturverlauf in wärmeleitenden Körpern ohne Wärmequellen gilt:

\begin{array}{*{20}{c}} {}&\vline & {{\text{Differentialgleichung}}}&\vline & {{\text{Temperaturverlauf}}} \\ \hline {{\text{ebene}}\;{\text{Wand}}}&\vline & {\frac{{{d^2}T}}{{d{x^2}}} = 0}&\vline & {T\left( x \right) = \frac{{{T_a}-{T_i}}}{b}x+{T_i}} \\ \hline {{\text{Rohrwand}}}&\vline & {\frac{{{d^2}T}}{{d{r^2}}}+\frac{1}{r}\frac{{dT}}{{dr}} = 0}&\vline & {T\left( r \right) = \left( {{T_a}-{T_i}} \right) \cdot {{\left( {\ln \left( {\frac{{{r_a}}}{{{r_i}}}} \right)} \right)}^{-1}} \cdot \ln \left( {\frac{r}{{{r_i}}}} \right)+{T_i}} \\ \hline {{\text{Kugelwand}}}&\vline & {\frac{{{d^2}T}}{{d{r^2}}}+\frac{2}{r}\frac{{dT}}{{dr}} = 0}&\vline & {T\left( r \right) = \left( {{T_a}-{T_i}} \right) \cdot {{\left( {\frac{1}{{{r_a}}}-\frac{1}{{{r_i}}}} \right)}^{-1}} \cdot \left( {\frac{1}{r}-\frac{1}{{{r_i}}}} \right)+{T_i}} \end{array}

Lösung

a) Skizzieren des Temperaturverlaufs

eis-wasser-phasengrenze

b) Aufstellen der Differentialgleichung

Energiebilanz: 0 = {\dot Q_K}-{\dot Q_L}+{h_S} \cdot {\rho _E} \cdot {A_G} \cdot \frac{{\partial {y_G}}}{{\partial t}}

\frac{{\partial {y_G}}}{{\partial t}}: Geschwindigkeit der Phasengrenze

Für den Wärmewiderstand einer ebenen Wand gilt:

{R_{th}} = \frac{b}{{k \cdot A}} = \frac{{{y_G}}}{{{k_E} \cdot {A_G}}}

Newton:

{{\dot Q}_K} = h \cdot {A_G} \cdot \left( {{T_W}-{T_G}} \right)

{{\dot Q}_L} = \frac{{\Delta T}}{{{R_{th}}}} = \frac{{{T_G}-{T_P}}}{{\frac{{{y_G}}}{{{k_E} \cdot {A_G}}}}}

Für die Phasenzahl erhalten wir:

{\text{Ph}} = \left| {\frac{{{h_S}}}{{{c_E}\left( {{T_G}-{T_P}} \right)}}} \right| = 17,25 > 10

Somit dürfen wir das Modell der quasistationären Näherung verwenden, da die Speicherung von Wärmeenergie vernachlässigbar klein ist.

0 = h \cdot {A_G} \cdot \left( {{T_W}-{T_G}} \right)-\frac{{{k_E} \cdot {A_G}}}{{{y_G}}}\left( {{T_G}-{T_P}} \right)+{h_S} \cdot {\rho _E} \cdot {A_G} \cdot \frac{{\partial {y_G}}}{{\partial t}}

\Rightarrow \quad \frac{{\partial {y_G}}}{{\partial t}} = \frac{{{k_E}}}{{{h_S} \cdot {\rho _E}}} \cdot \frac{{{T_G}-{T_P}}}{{{y_G}}}-\frac{h}{{{h_S} \cdot {\rho _E}}}\left( {{T_W}-{T_G}} \right)\qquad \left( * \right)

c) Dicke der Eisschicht

Nach unendlich langer Zeit stellt sich ein Gleichgewicht ein:

{{\dot Q}_K} = {{\dot Q}_L}

\Rightarrow \quad {k_E} \cdot {A_G} \cdot \frac{{{T_G}-{T_P}}}{{{y_{\max }}}} = h \cdot {A_G} \cdot \left( {{T_W}-{T_G}} \right)

\Rightarrow \quad {y_{\max }} = \frac{{{k_E}}}{h} \cdot \frac{{{T_G}-{T_P}}}{{{T_W}-{T_G}}} = 0,04\;{\text{m}}

d) Entdimensionierung

\xi = \frac{{{y_G}\left( t \right)}}{{{y_{\max }}}};\quad \tau = \frac{t}{{{t_{{\text{Bezug}}}}}}

Einsetzen in (*):

\frac{{{y_{\max }}}}{{{t_{{\text{Bez}}{\text{.}}}}}}\frac{{d\xi }}{{d\tau }} = \frac{1}{{{h_S} \cdot {\rho _E}}} \cdot \left( {{k_E} \cdot \frac{{{T_G}-{T_P}}}{{{y_{\max }} \cdot \xi }}-h \cdot \left( {{T_W}-{T_G}} \right)} \right)

\Rightarrow \quad \frac{{d\xi }}{{d\tau }} = \frac{{{t_{{\text{Bez}}{\text{.}}}}}}{{{y_{\max }} \cdot {h_S} \cdot {\rho _E}}} \cdot \left( {\frac{1}{\xi } \cdot \frac{{{k_E} \cdot \left( {{T_G}-{T_P}} \right)}}{{\frac{{{k_E} \cdot \left( {{T_G}-{T_P}} \right)}}{{h \cdot \left( {{T_W}-{T_G}} \right)}}}}-h \cdot \left( {{T_W}-{T_G}} \right)} \right)

\Rightarrow \quad \frac{{d\xi }}{{d\tau }} = \frac{{{t_{{\text{Bez}}{\text{.}}}}}}{{{y_{\max }} \cdot {h_S} \cdot {\rho _E}}} \cdot h \cdot \left( {{T_W}-{T_G}} \right) \cdot \left( {\frac{1}{\xi }-1} \right)

{t_{Bez.}}: = \frac{{{y_{\max }} \cdot {h_S} \cdot \rho E}}{{h \cdot \left( {{T_W}-{T_K}} \right)}}

\Rightarrow \quad \frac{{d\xi }}{{d\tau }} = \frac{1}{\xi }-1 = \frac{{1-\xi }}{\xi }

\Rightarrow \quad \int {\frac{\xi }{{1-\xi }}d\xi } = \int {d\tau }

\Rightarrow \quad -\xi -\ln \left( {1-\xi } \right) = \tau -C

Nun setzen wir die Anfangsbedingung ein:

{y_G}\left( {t = 0} \right) = 0\quad \Rightarrow \quad \xi \left( {\tau = 0} \right) = 0\quad \Rightarrow \quad C = 0

\Rightarrow \quad \tau = -\xi -\ln \left( {1-\xi } \right)

e) Dauer

\xi = \frac{{{y_G}\left( t \right)}}{{{y_{\max }}}} = \frac{1}{2}\quad \Rightarrow \quad \tau = -\frac{1}{2}-\ln \left( {1-\frac{1}{2}} \right) = 0,193

\Rightarrow \quad t = \tau \cdot {t_{{\text{Bezug}}}} = 4733,8\;{\text{s}}

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