A 05 – Wärmeübergang im gasbefeuerten Schmelzofen

Ein gasbefeuerter Schmelzofen hat den in der Abbildung skizzierten Wandaufbau. Zu Beginn hat die Wand eine gleichmäßige Ausgangstemperatur $T\left( {x,t = 0} \right) = {T_i}$ . Plötzlich strömt heißes Gas über die Wand und gibt dabei einen konvektiven Wärmestrom ab. Die instationäre Aufheizung der Wand soll an den Punkten ${x_1}$ , ${x_2}$ und ${x_3}$ zu den Zeitpunkten ${t_1}$ und ${t_2}$ untersucht werden.

gasbefeuerter-schmelzofen

Annahmen:

Der Wärmeübergangskoeffizient $h$ ist über die Lauflänge konstant.
Die Wärmeleitfähigkeit ist weder orts- noch temperaturabhängig.

Aufgaben:

Bestimmen Sie die gesuchten Temperaturen durch eine erste Abschätzung mit Hilfe der Methode der Blockkapazität. Wie sieht der für die Methode der Blockkapazität angenommene Temperaturverlauf in der Wand aus? Ist die Annahme “Blockkapazität” für diesen Fall zulässig?
Berechnen Sie die gesuchten Temperaturen mit Näherungslösung für große Zeiten. Für welche Fourier-Zahlen ist die Näherungslösung zulässig? Wie lange dauert es, bis die Rückseite eine Temperatur von ${T_W} = 700^\circ C$ erreicht hat?

Gegeben:

Wandstärke Hitzeschutz: $L = 150\;{\text{mm}}$
Dichte Hitzeschutz: $\rho = 2600\frac{{{\text{kg}}}}{{{{\text{m}}^3}}}$
Wärmekapazität Hitzeschutz: $c = 1000\frac{{\text{J}}}{{{\text{kg}} \cdot {\text{K}}}}$
Wärmeleitfähigkeit Hitzeschutz: $k = 1,5\frac{{\text{W}}}{{{\text{m}} \cdot {\text{K}}}}$
Ausgangstemperatur: ${T_i} = 20\;^\circ {\text{C}}$
Wärmeübergangskoeffizient: $h = 100\frac{{\text{W}}}{{{{\text{m}}^2}{\text{K}}}}$
Heißgastemperatur: ${T_H} = 1000\;^\circ {\text{C}}$
Zeiten: ${t_1} = 2000\;{\text{s}}$ , ${t_2} = 20000\;{\text{s}}$

Vorbetrachtungen

(Die instationäre Wärmeleitung ist eines der wesentlichen Kapitel der Vorlesung. Sehr heiß für eine Prüfung. In der Prüfung ziemlich sicher auch nur 1-D)

Zunächst eine kurze Wiederholung der wichtigsten Inhalte der Vorlesung.

Berechnungsmethoden für Instationäre Wärmeleitung (1-D)

Bei der instationären Wärmeleitung ist die Temperatur in Abhängigkeit von Ort und Zeit gesucht $\left( {T\left( {x,t} \right)} \right)$ . Ausgangspunkt ist die Fourier’sche Differentialgleichung / Wärmeleitungsgleichung. Ihre Form für eine Platte ohne Quellen lautet im Fall einer orts- und temperaturunabhängigen Wärmeleitfähigkeit $\left( {k \ne f\left( {x,T} \right)} \right)$ :

$\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = \alpha \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {x^2}}}$

Dabei ist

$\alpha = \frac{k}{{\rho c}}$

die Temperaturleitfähigkeit. Oft können vereinfachende Annahmen getroffen werden, die die Berechnung deutlich vereinfachen. Um diese einzuführen folgt zunächst zum besseren Verständnis eine kurze Wiederholung der Herleitung der Differentialgleichung.

Wir betrachten ein differentielles Volumenelement des Körpers:

differentielles-element

Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik liefert die Leistungsbilanz:

$\frac{{\partial U}}{{\partial t}} = \sum {\dot Q} +\sum {{{\dot W}_t}} +{q^*}dV,\quad \quad U = mcT$

Es folgen nun die wesentlichen Schritte.

Einsetzen der Gleichungen für die Wärmeströme führt auf eine Differentialgleichung, die wir anschließend entdimensionieren:

$\frac{{\partial \Theta }}{{\partial \tau }} = \frac{{{\partial ^2}\Theta }}{{\partial {\xi ^2}}},\quad \quad \tau = {\text{Fo}} = \frac{{\alpha \cdot t}}{{{L^2}}}$

Produktansatz:

$\Theta = f\left( \xi \right) \cdot g\left( \tau \right),\quad \quad \Theta = f\left( {\tau ,\xi } \right)$

$\Rightarrow \quad \frac{{{f^\prime }\left( \xi \right)}}{{f\left( \xi \right)}} = \frac{{\ddot g\left( \tau \right)}}{{g\left( \tau \right)}} = \pm {\delta ^2}$

Für die beiden entstandenen gewöhnlichen Differentialgleichungen verwenden wir verschiedene Ansätze. Für $g$ wählen wir einen Exponentialansatz:

$g\left( \tau \right) = {C_A} \cdot {\text{exp}}\left\{ { \pm {\delta ^2} \cdot \tau } \right\}$

Das “+” kann bei einem Wärmeleitproblem vernachlässigt werden, da sonst die Temperatur ohne irgendein Zutun steigen würde.

Für $f$ wählen wir einen trigonometrischen Ansatz:

$f\left( \xi \right) = {C_B}\sin \left( {\delta \:\xi } \right)+{C_C}\cos \left( {\delta \:\xi } \right)$

Insgesamt erhalten wir somit:

$\Theta \left( {\tau ,\xi } \right) = {C_A} \cdot \exp \left\{ {-{\delta ^2}\tau } \right\} \cdot \left[ {{C_B}\sin \left( {\delta \xi } \right)+{C_C}\cos \left( {\delta \xi } \right)} \right]$

Dies ist die allgemeine exakte Lösung der DGL.

Die Konstanten kennen wir nicht und auch nicht das $\delta$ . Diese sind problemspezifisch und müssen in jedem Fall einzeln bestimmt werden. Man findet immer mehrere Werte für die Lösung, was an der unendlichen Reihe bei der Fourier-Entwicklung liegt.

Problem auf konvektive Randbedingung zugeschnitten:

$\Theta = \sum\limits_{k = 1}^\infty {{C_k} \cdot \exp \left\{ {-\delta _k^2Fo} \right\}f\left( {{\delta _k},\xi } \right);\quad \Theta = \frac{{T-{T_\infty }}}{{{T_0}-{T_\infty }}}}$

Es folgen nun einige Vereinfachungen.

Methode der Blockkapazitäten

Die Methode der Blockkapazitäten darf nur angewandt werden, wenn in einem Werkstück für die Biot-Zahl gilt:

${\text{Bi}} = \frac{{h \cdot L}}{{{k_{Fk}}}} < 0,2$

Dies bedeutet, dass die Wärmeleitfähigkeit sehr hoch ist.

In “Grundlagen der Wärmeübertragung” hatten wir z.B. einen Körper in einem Ölbad. Bei der Methode der Blockkapazitäten haben wir angenommen:

der Körper hat überall die gleiche Temperatur
es gibt keine Temperaturgradienten
wir betrachten nur “lange” Zeiten

Dabei müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:

Platte: $\tau > 0,25$
Zylinder: $\tau > 0,23$
Kugel: $\tau > 0,18$

Die Formel für die normierte Temperatur lautet für eine Blockkapazität:

$\Theta = \exp \left\{ {-\left( {n+1} \right) \cdot {\text{Bi}} \cdot \tau } \right\} = \Theta \left( \tau \right)$

Dabei gilt:

Platte: $n = 0$

Zylinder: $n = 1$

Kugel: $n = 2$

Näherung für “lange” Zeiten (große Fourierzahlen)

Für lange Zeiten wird die Fourierzahl sehr groß, womit die Lösung der Wärmeleitungsgleichung rasch konvergiert. Es reicht daher aus, nur den ersten Term der Fourierreihe Gleichung zu berücksichtigen:

$\Theta \approx {C_1} \cdot f\left( {{\delta _1},\xi } \right) \cdot \exp \left\{ {-\delta _1^2 \cdot \tau } \right\}$

Die Näherungslösung ist allerdings nur zulässig, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

Platte: $\tau > 0,25$
Zylinder: $\tau > 0,23$
Kugel: $\tau > 0,18$

Dies ist die gleiche Forderung wie bei der Blockkapazität. Für die Zahlenwerte der Konstanten der Näherungslösung und für die exakte Lösung für die ebene Platte mit RB 3.Art wird an dieser Stelle auf die erweiterte Formelsammlung verwiesen.

Halbunendlicher Körper

halbunendlicher-koerper

$\frac{{T\left( {L,{t_0}} \right)-{T_0}}}{{{T_S}-{T_0}}} \leq \delta$

$\xi = \frac{x}{L}$

Fourierzahl: $\tau = {\text{Fo}} = \frac{{\alpha \cdot \tau }}{{{L^2}}}$

Für die ebene Platte gilt:

$\Theta \left( {\xi ,\tau } \right) = {\text{erf}}\left( {\frac{\xi }{{2\sqrt \tau }}} \right) = \frac{{T-{T_S}}}{{{T_0}-{T_S}}}$

$\Theta \left( {1,{\tau _0}} \right) \geq 1-\delta = {\text{erf}}\left( {\frac{1}{{2\sqrt {{\tau _0}} }}} \right)$

$\Rightarrow \quad {\tau _0} = {\left( {\frac{1}{{2 \cdot {\text{er}}{{\text{f}}^{-1}}\left( {1-\delta } \right)}}} \right)^2}$

Dabei bezeichnet ${\text{erf}}$ die Error-Function, also die Gaußsche Fehlerfunktion. Die Formel für die Fehlerfunktion lautet:

${\text{erf}}\left( \eta \right) = \frac{2}{{\sqrt \pi }}\int\limits_0^\eta {\exp \left\{ {-{\zeta ^2}} \right\}d\zeta }$

Eine Tabelle mit Zahlenwerten kann in der Erweiterung der Formelsammlung eingesehen werden.

Lösung

a) Methode der Blockkapazität

temperaturverlauf-blockkapazitaet-gasbefeuerter-schmelzofen

Für den Temperaturverlauf in x-Richtung gilt bei der Methode der Blockkapazität:

$\Theta \left( {\tau ,{\xi _1}} \right) = \Theta \left( {\tau ,{\xi _2}} \right) = \Theta \left( {\tau ,{\xi _3}} \right) = \Theta \left( \tau \right)$

Die Biot-Zahl ergibt sich zu:

$\operatorname{Bi} = \frac{{hL}}{k} = 10 > 0,2$

Die Biotzahl muss allerdings kleiner als 0,2 sein, damit man die Methode der Blockkapazität anwenden kann. Hier ist diese Methode also nicht zulässig.

Wir führen die Berechnung trotzdem fort um, die gewünschte erste Abschätzung durchführen zu können.

Mit dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik und dem Newton’schen Kühlgesetz erhalten wir :

$\frac{{dU}}{{dt}} = \sum {\dot Q = {{\dot Q}_k} = h \cdot A \cdot \left( {{T_H}-T\left( t \right)} \right);\quad U = m \cdot c \cdot T}$

$\Rightarrow \quad mc\frac{{dT}}{{dt}} = hA\left( {{T_H}-T\left( t \right)} \right),\quad \quad m = AL\rho$

$\Rightarrow \quad L\rho c\frac{{dT}}{{dt}} = h\left( {{T_H}-T} \right)$

Entdimensionierung:

$\Theta = \frac{{T-{T_H}}}{{{T_i}-{T_H}}}\quad \Rightarrow \quad T = \Theta \left( {{T_i}-{T_H}} \right)+{T_H}\quad \Rightarrow \quad dT = d\Theta \left( {{T_i}-{T_H}} \right)$

$\Rightarrow \quad L\rho c\frac{{d\Theta }}{{dt}}\left( {{T_i}-{T_H}} \right) = h\left( {{T_H}-{T_H}-\Theta \left( {{T_i}-{T_H}} \right)} \right)$

$\Rightarrow \quad \frac{{d\Theta }}{{dt}} = -\frac{h}{{L\rho c}}\Theta$

Trennung der Variablen und Integration:

$\Rightarrow \quad \int {\frac{1}{\Theta }d\Theta } = -\int {\frac{h}{{L\rho c}}dt}$

$\Rightarrow \quad \ln \Theta = -\frac{h}{{L\rho c}}t+C$

$\Rightarrow \quad \Theta = C{e^{-\frac{h}{{L\rho c}}t}}$

Anfangsbedingung:

$t = 0\quad \Rightarrow \quad T = {T_i}\quad \Rightarrow \quad \Theta = 1$

Wir erhalten damit für die Konstante:

$C = 1$

Einsetzen:

$\Rightarrow \quad \Theta = \exp \left\{ {-\frac{h}{{L\rho c}}t} \right\} = \exp \left\{ {-\underbrace {\frac{{hL}}{k}}_{{\text{Bi}}}\underbrace {\frac{k}{{\rho c}}}_\alpha \frac{t}{{{L^2}}}} \right\}$

$\tau = {\text{Fo}} = \frac{{\alpha t}}{{{L^2}}}$

$\Rightarrow \quad \Theta = {e^{-{\text{Bi}} \cdot {\text{Fo}}}}$

Bestimmung der Konstanten:

$\alpha = \frac{k}{{\rho c}} = 5,77 \cdot {10^{-7}}\frac{{{{\text{m}}^2}}}{{\text{s}}}$

${\tau _1} = \frac{{\alpha {t_1}}}{{{L^2}}} = 0,0513$

${\tau _2} = \frac{{\alpha {t_2}}}{{{L^2}}} = 0,513$

Ergebnis mit der Methode der Blockkapazität:

$\Theta \left( {\tau _1^+} \right) = 0,599\quad \Rightarrow \quad T\left( {{t_1}} \right) = 413\;^\circ {\text{C}}$

$\Theta \left( {\tau _2^+} \right) = 0,0059\quad \Rightarrow \quad T\left( {{t_2}} \right) = 994\;^\circ {\text{C}}$

b) Näherungslösung für große Zeiten

Die Näherungslösung für große Zeiten ist bei Platten zulässig wenn $\tau = {\text{Fo}} > {\tau ^*} = 0,25$ .

$\Theta \left( {\tau ,\xi ,{\text{Bi}}} \right) = {C_1}\cos \left( {{\delta _1}\xi } \right){e^{-\delta _1^2\tau }}$

Es ist ${\text{Bi}} = 10$ , der Kehrwert ist $0,1$ . Aus der Tabelle in der Formelsammlung können wir nun die Koeffizienten ${C_1}$ und ${\delta _1}$ ablesen. Damit erhalten wir:

$\Theta \left( {{\tau _1},{\xi _1}} \right) = 1,01\quad \Rightarrow \quad T = 10,18\;^\circ {\text{C}}$

$\Theta \left( {{\tau _1},{\xi _2}} \right) = 0,66\quad \Rightarrow \quad T = 354,5\;^\circ {\text{C}}$

$\Theta \left( {{\tau _1},{\xi _3}} \right) = 0,16\quad \Rightarrow \quad T = 842,5\;^\circ {\text{C}}$

Diese Lösung ist jedoch nicht zulässig, da ${\tau _1} < {\tau ^*}$ .

Die Ergebnisse für den zweiten Zeitpunkt sind:

$\Theta \left( {{\tau _2},{\xi _1}} \right) = 0,394\quad \Rightarrow \quad T = 614,3\;^\circ {\text{C}}$

$\Theta \left( {{\tau _2},{\xi _2}} \right) = 0,257\quad \Rightarrow \quad T = 748,4\;^\circ {\text{C}}$

$\Theta \left( {{\tau _2},{\xi _3}} \right) = 0,062\quad \Rightarrow \quad T = 938,6\;^\circ {\text{C}}$

Wir bestimmen jetzt die gesuchte Zeit.

$\Theta = \frac{{{T_W}-{T_H}}}{{{T_i}-{T_H}}} = \frac{{700\;^\circ {\text{C}}-1000\;^\circ {\text{C}}}}{{20\;^\circ {\text{C}}-1000\;^\circ {\text{C}}}} = 0,3\mathop = \limits^! {\left. {{C_1}\cos \left( {{\delta _1}\xi } \right){e^{-\delta _1^2\tau }}} \right|_{\xi = 0}} = {C_1}{e^{-\delta _1^2\tau }}$

Umstellen:

$\tau = -\frac{1}{{\delta _1^2}}\ln \left( {\frac{{0,3}}{{{C_1}}}} \right) = 0,7 > {\tau ^*}$

Dieser Rechenweg ist also zum Ermitteln der Zeit zulässig. Wir erhalten:

$t = \frac{{\tau {L^2}}}{\alpha } = 27441,7\;{\text{s}} = 7,6\;{\text{h}}$

Zusatz: Exakte Lösung

Zur exakten Berechnung verwenden wir die Reihenlösung für die ebene Platte mit RB 3. Art nach Fourier:

$\Theta \left( {{\text{Fo}},\xi ,{\text{Bi}}} \right) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {{C_k}\cdot \exp \left\{ {-\delta _k^2\cdot Fo} \right\}\cdot \cos \left( {{\delta _k}\cdot \xi } \right)} \qquad \left( I \right)$

Für $\xi$ gilt:

${\xi _1} = \frac{1}{3},\quad {\xi _2} = \frac{2}{3},\quad {\xi _3} = 1$

Die Reihenkoeffizienten der Platte lauten:

${C_k} = \frac{{2\cdot \sin \left( {{\delta _k}} \right)}}{{{\delta _k}+\sin \left( {{\delta _k}} \right)\cdot \cos \left( {{\delta _k}} \right)}}$

Herleitung der Bestimmungsgleichung für die Eigenwerte ${\delta _k}$ mit RB 3. Art:

${\left. {{{\dot Q}_L}} \right|_{x = L}} = {{\dot Q}_K}$

$\Rightarrow \quad -k \cdot A \cdot {\left. {\frac{{dT}}{{dx}}} \right|_{x = L}} = h \cdot A \cdot \left( {T\left( {x = L} \right)-{T_H}} \right)$

Entdimensionierung:

$-\frac{{{T_i}-{T_H}}}{L} \cdot k \cdot {\left. {\frac{{d\Theta }}{{d\xi }}} \right|_{\xi = 1}} = h \cdot \left( {\Theta \left( {{T_i}-{T_H}} \right)+{T_H}-{T_H}} \right)$

$\Rightarrow \quad {\left. {\frac{{d\Theta }}{{d\xi }}} \right|_{\xi = 1}} = -\underbrace {\frac{{h \cdot L}}{k}}_{{\text{Bi}}} \cdot {\left. \Theta \right|_{\xi = 1}}$

${\left. {\quad \Rightarrow \quad \frac{{d\Theta }}{{d\xi }}} \right|_{\xi = 1}} = -{\text{Bi}} \cdot {\left. \Theta \right|_{\xi = 1}}\qquad \left( {II} \right)$

Einsetzen von (I) in (II):

$\Rightarrow \quad {\left. {\frac{d}{{d\xi }}\sum\limits_{k = 1}^\infty {{C_k}\exp \left\{ { - \delta _k^2{\text{Fo}}} \right\}\cos \left( {{\delta _k}\xi } \right)} } \right|_{\xi = 1}}$

$= - {\text{Bi}}{\left. {\sum\limits_{k = 1}^\infty {{C_k}\exp \left\{ { - \delta _k^2{\text{Fo}}} \right\}\cos \left( {{\delta _k}\xi } \right)} } \right|_{\xi = 1}}$

$\Rightarrow \quad \sum\limits_{k = 1}^\infty {{C_k}\cdot \exp \left\{ {-\delta _k^2\cdot {\text{Fo}}} \right\}\cdot {\delta _k} \cdot \sin \left( {{\delta _k}} \right)}$

$= - {\text{Bi}}\sum\limits_{k = 1}^\infty {{C_k}\exp \left\{ { - \delta _k^2{\text{Fo}}} \right\}\cos \left( {{\delta _k}} \right)}$

$\Rightarrow \quad \sum\limits_{k = 1}^\infty {{\delta _k} \cdot \sin \left( {{\delta _k}} \right)} = -{\text{Bi}} \cdot \sum\limits_{k = 1}^\infty {\cos \left( {{\delta _k}} \right)}$

$\Rightarrow \quad \tan \left( {{\delta _k}} \right) = \frac{{{\text{Bi}}}}{{{\delta _k}}}$

Damit lässt sich nun eine Wertetabelle aufstellen:

$\begin{array}{*{20}{c}} k&\vline & {{\delta _k}}&\vline & {{C_k}}&\vline & {\Theta \left( {F{o_1},{\xi _1}} \right)} \\ \hline 1&\vline & {1,4289}&\vline & {1,262}&\vline & {1,0100} \\ 2&\vline & {4,3058}&\vline & {-0,393}&\vline & {-0,0205} \\ 3&\vline & {7,2281}&\vline & {0,210}&\vline & {-0,0107} \\ 4&\vline & {10,2003}&\vline & {-0,131}&\vline & {0,0006} \end{array}$

Damit erhalten wir die exakten Temperaturen:

$\Theta \left( {{\tau _1},{\xi _1}} \right) = 0,979\quad \Rightarrow \quad T = 40,2\;^\circ {\text{C}}$

$\Theta \left( {{\tau _1},{\xi _2}} \right) = 0,806\quad \Rightarrow \quad T = 210,2\;^\circ {\text{C}}$

$\Theta \left( {{\tau _1},{\xi _3}} \right) = 0,23\quad \Rightarrow \quad T = 725,6\;^\circ {\text{C}}$

$\Theta \left( {{\tau _2},{\xi _1}} \right) = 0,393\quad \Rightarrow \quad T = 614,9\;^\circ {\text{C}}$

$\Theta \left( {{\tau _2},{\xi _2}} \right) = 0,257\quad \Rightarrow \quad T = 748,1\;^\circ {\text{C}}$

$\Theta \left( {{\tau _2},{\xi _3}} \right) = 0,063\quad \Rightarrow \quad T = 938,26\;^\circ {\text{C}}$

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