01 – Wahrscheinlichkeitsräume

Der Begriff des Wahrscheinlichkeitsraums

Ein Wahrscheinlichkeitsraum (W-Raum) $\left( {\Omega ,\mathcal{A},P} \right)$ ist ein normierter Maßraum. Es ist also:

$\Omega$ eine nichtleere Menge, die sogenannte Ergebnismenge, die Menge der möglichen
Ergebnisse des betrachteten Zufallsexperiments

$\mathcal{A}$ eine σ-Algebra über $\Omega$ , d.h. ein Mengensystem $\mathcal{A} \subset \mathcal{P}\left( \Omega \right)$ (= Potenzmenge von $\Omega$ ), welches $\Omega$ (das sichere Ereignis) enthält und abgeschlossen ist bezüglich Komplementbildung und bezüglich abzählbarer Durchschnitte

$P$ ein normiertes Maß auf $\mathcal{A}$ , also ein Maß mit der Eigenschaft $P\left( \Omega \right) = 1$ .

Bemerkungen

Sei $\left( {\Omega ,\mathcal{A},P} \right)$ ein W-Raum. Jedes Element $E \in \mathcal{A}$ (E ist eine Teilmenge der Ergebnismenge) heißt Ereignis. Es ist stets $\emptyset \in \mathcal{A}$ (das unmögliche Ereignis) und $\mathcal{A}$ ist abgeschlossen bezüglich endlicher Durchschnitte sowie bezüglich endlicher und auch abzählbar unendlicher Vereinigungen; sind A und B Ereignisse, so ist auch die Differenz A\B ein Ereignis.
Im folgenden sei stets $\left\{ \omega \right\} \in \mathcal{A}$ für alle $\omega \in \Omega$ . Solche einelementigen Ereignisse heißen Elementarereignisse.
Ist $F$ eine nichtleere Menge und $\mathcal F$ eine σ-Algebra über $F$ , so heißt das Paar $\left( {F,\mathcal{F}} \right)$ Ereignisraum.

Standardbeispiele

Falls die Ergebnismenge $\Omega$ höchstens abzählbar ist (d.h. endlich oder abzählbar
unendlich), verwenden wir in der Statistik als Ereignis-σ-Algebra stets die Potenzmenge, d.h.
wir betrachten den Ereignisraum $\left( {\Omega ,\mathcal{A}} \right)$ , wobei $\mathcal{A} = \mathcal{P}\left( \Omega \right)$ .

Für $n \in \mathbb{N}$ bezeichne ${\mathcal{B}^n}$ die σ-Algebra der Borelschen Teilmengen des ${\mathbb{R}^n}\left( {\mathcal{B}:: = {\mathcal{B}^1}} \right)$ . Ist nun die Ergebnismenge $\Omega$ eine Teilmenge des ${\mathbb{R}^n}$ , verwenden wir in der Statistik in der Regel als Ereignis-σ-Algebra $\mathcal{A}$ die σ-Algebra der Borelschen Teilmengen von $\Omega$ , nämlich $\mathcal{A} = \left\{ {B \cap \Omega |B \in {\mathcal{B}^n}} \right\}$ .

Nullmengen und fast sichere Aussagen

Sei $\left( {\Omega ,\mathcal{A},P} \right)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Eine Menge $N \in \mathcal{A}$ mit $P\left( N \right) = 0$ heißt P-Nullmenge. Ist (*) eine sich auf die Elemente $\omega \in \Omega$ beziehende Aussage, die für alle $\omega$ außerhalb einer P-Nullmenge N gilt, so sagt man, (*) gelte P-fast sicher (P-f.s.).

Produkte von Wahrscheinlichkeitsräumen

Sei $n \geq 2$ eine feste natürliche Zahl und sei $\left( {{\Omega _i},{\mathcal{A}_i},{P_i}} \right)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum für $i = 1, \ldots ,n$ .
Seien $\Omega = {\Omega _1} \times \ldots \times {\Omega _n}$ (kartesisches Produkt), $\mathcal{A} = {\mathcal{A}_1} \otimes \ldots \otimes {\mathcal{A}_n}$ die Produkt-σ-Algebra, nämlich
die kleinste σ-Algebra über $\Omega$ , die sämtliche “Quader” ${A_1} \times \ldots \times {A_n},{A_i} \in {\mathcal{A}_i},i = 1, \ldots ,n$ enthält.
Dann heißt $\left( {\Omega ,\mathcal{A}} \right)$ Produktereignisraum.
Satz: Es existiert genau ein W-Maß P auf $\left( {\Omega ,\mathcal{A}} \right)$ derart, daß für alle ${A_i} \in {\mathcal{A}_i},i = 1, \ldots ,n$ gilt:

$P\left( {{A_1} \times \ldots \times {A_n}} \right) = {P_1}\left( {{A_1}} \right) \cdot \ldots \cdot {P_n}\left( {{A_n}} \right)$ .

P heißt die zur Familie $\left( {{P_i}:i = 1, \ldots ,n} \right)$ gehörige Produktwahrscheinlichkeit; Bezeichnung:
$P = {P_1} \otimes \ldots \otimes {P_n}$

Der W-Raum $\left( {\Omega ,\mathcal{A},P} \right)$ heißt das Produkt der W-Räume $\left( {{\Omega _i},{\mathcal{A}_i},{P_i}} \right)$ mit $i = 1, \ldots ,n$ .
Ist speziell $\left( {E,\mathcal{F},Q} \right)$ ein W-Raum, und ist $\left( {{\Omega _i},{\mathcal{A}_i},{P_i}} \right) = \left( {E,\mathcal{F},Q} \right)\forall i = 1, \ldots ,n$

so schreibt man:

$\left( {\Omega ,\mathcal{A},P} \right) = \left( {{E^n},{\mathcal{F}^{ \otimes n}},{Q^{ \otimes n}}} \right)$

Man kann auch unendliche Produkte von W-Räumen erklären, worauf wir hier nicht näher
eingehen können.

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