01 – Wahrscheinlichkeitsräume

 

Der Begriff des Wahrscheinlichkeitsraums

Ein Wahrscheinlichkeitsraum (W-Raum) \left( {\Omega ,\mathcal{A},P} \right) ist ein normierter Maßraum. Es ist also:

\Omega eine nichtleere Menge, die sogenannte Ergebnismenge, die Menge der möglichen
Ergebnisse des betrachteten Zufallsexperiments

\mathcal{A} eine σ-Algebra über \Omega, d.h. ein Mengensystem \mathcal{A} \subset \mathcal{P}\left( \Omega  \right) (= Potenzmenge von \Omega), welches \Omega (das sichere Ereignis) enthält und abgeschlossen ist bezüglich Komplementbildung und bezüglich abzählbarer Durchschnitte

P ein normiertes Maß auf \mathcal{A}, also ein Maß mit der Eigenschaft P\left( \Omega  \right) = 1.

Bemerkungen

Sei \left( {\Omega ,\mathcal{A},P} \right) ein W-Raum. Jedes Element E \in \mathcal{A} (E ist eine Teilmenge der Ergebnismenge) heißt Ereignis. Es ist stets \emptyset  \in \mathcal{A} (das unmögliche Ereignis) und \mathcal{A} ist abgeschlossen bezüglich endlicher Durchschnitte sowie bezüglich endlicher und auch abzählbar unendlicher Vereinigungen; sind A und B Ereignisse, so ist auch die Differenz A\B ein Ereignis.
Im folgenden sei stets \left\{ \omega  \right\} \in \mathcal{A} für alle \omega  \in \Omega. Solche einelementigen Ereignisse heißen Elementarereignisse.
Ist F eine nichtleere Menge und \mathcal F eine σ-Algebra über F, so heißt das Paar \left( {F,\mathcal{F}} \right) Ereignisraum.

Standardbeispiele

Falls die Ergebnismenge \Omega höchstens abzählbar ist (d.h. endlich oder abzählbar
unendlich), verwenden wir in der Statistik als Ereignis-σ-Algebra stets die Potenzmenge, d.h.
wir betrachten den Ereignisraum \left( {\Omega ,\mathcal{A}} \right), wobei \mathcal{A} = \mathcal{P}\left( \Omega  \right).

Für n \in \mathbb{N} bezeichne {\mathcal{B}^n} die σ-Algebra der Borelschen Teilmengen des {\mathbb{R}^n}\left( {\mathcal{B}:: = {\mathcal{B}^1}} \right). Ist nun die Ergebnismenge \Omega eine Teilmenge des {\mathbb{R}^n}, verwenden wir in der Statistik in der Regel als Ereignis-σ-Algebra \mathcal{A} die σ-Algebra der Borelschen Teilmengen von \Omega, nämlich \mathcal{A} = \left\{ {B \cap \Omega |B \in {\mathcal{B}^n}} \right\}.

Nullmengen und fast sichere Aussagen

Sei \left( {\Omega ,\mathcal{A},P} \right) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Eine Menge N \in \mathcal{A} mit P\left( N \right) = 0 heißt P-Nullmenge. Ist (*) eine sich auf die Elemente \omega  \in \Omega beziehende Aussage, die für alle \omega außerhalb einer P-Nullmenge N gilt, so sagt man, (*) gelte P-fast sicher (P-f.s.).

Produkte von Wahrscheinlichkeitsräumen

Sei n \geq 2 eine feste natürliche Zahl und sei \left( {{\Omega _i},{\mathcal{A}_i},{P_i}} \right) ein Wahrscheinlichkeitsraum für i = 1, \ldots ,n.
Seien \Omega  = {\Omega _1} \times  \ldots  \times {\Omega _n} (kartesisches Produkt), \mathcal{A} = {\mathcal{A}_1} \otimes  \ldots  \otimes {\mathcal{A}_n} die Produkt-σ-Algebra, nämlich
die kleinste σ-Algebra über \Omega, die sämtliche “Quader” {A_1} \times  \ldots  \times {A_n},{A_i} \in {\mathcal{A}_i},i = 1, \ldots ,n enthält.
Dann heißt \left( {\Omega ,\mathcal{A}} \right) Produktereignisraum.
Satz: Es existiert genau ein W-Maß P auf \left( {\Omega ,\mathcal{A}} \right) derart, daß für alle {A_i} \in {\mathcal{A}_i},i = 1, \ldots ,n gilt:

P\left( {{A_1} \times  \ldots  \times {A_n}} \right) = {P_1}\left( {{A_1}} \right) \cdot  \ldots  \cdot {P_n}\left( {{A_n}} \right).

P heißt die zur Familie \left( {{P_i}:i = 1, \ldots ,n} \right) gehörige Produktwahrscheinlichkeit; Bezeichnung:
P = {P_1} \otimes  \ldots  \otimes {P_n}

Der W-Raum \left( {\Omega ,\mathcal{A},P} \right) heißt das Produkt der W-Räume \left( {{\Omega _i},{\mathcal{A}_i},{P_i}} \right) mit i = 1, \ldots ,n.
Ist speziell \left( {E,\mathcal{F},Q} \right) ein W-Raum, und ist \left( {{\Omega _i},{\mathcal{A}_i},{P_i}} \right) = \left( {E,\mathcal{F},Q} \right)\forall i = 1, \ldots ,n

so schreibt man:

\left( {\Omega ,\mathcal{A},P} \right) = \left( {{E^n},{\mathcal{F}^{ \otimes n}},{Q^{ \otimes n}}} \right)

Man kann auch unendliche Produkte von W-Räumen erklären, worauf wir hier nicht näher
eingehen können.

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