5 – Grenzschichten

 

Wir wollen nun die bereits in Kapitel 2 besprochene Konvektion weiter vertiefen. Dabei gehen wir insbesondere auf die Grenzschichten ein, die sich an einer von Fluid umströmten Wand bilden. Besonders wichtig sind die Geschwindigkeitsgrenzschicht und die Temperaturgrenzschicht:

wst-5-01-grenzschicht-geschwindigkeit-temperatur-verlauf

Die Geschwindigkeit ist direkt an der Wand null (Haftbedingung). Nach außen hin wird sie größer. Die Temperatur geht in der Grenzschicht von der Wandtemperatur in die Fluidtemperatur über.

Prandtl-Zahl:

\Pr = \frac{{\text{Viskosit\"at}}}{{\text{W\"armeleitf\"ahigkeit}}}

Nach Newton gilt:

\dot q = \frac{{\dot Q}}{A} = h\left( {{T_W}-{T_\infty }} \right)

Dabei ist h der konvektive Wärmeübergangskoeffizient. Wenn die Wandtemperatur größer als die Umgebungstemperatur ist, geht der positive Wärmestrom von der Wand weg. Dies müssen wir bei dem Aufstellen der Differentialgleichung beachten.

5.1 Laminare und turbulente Grenzschichten

Der Rand der Geschwindigkeitsgrenzschicht \delta \left( y \right) ist so definiert, dass gilt:

\frac{{v\left( {y = \delta } \right)-{v_\infty }}}{{{v_\infty }}} = -0.01

Für die Temperaturgrenzschicht {\delta _T}\left( y \right) gilt analog:

\frac{{T\left( {y = {\delta _T}} \right)-{T_\infty }}}{{{T_W}-{T_\infty }}} = -0.01

Wir unterscheiden zwischen laminarer und turbulenter Strömung.

wst-5-02-grenzschicht-laminar-transition-turbulent

Die Grenzschicht ist im Prinzip eine Isolationsschicht. Bei dünnerer Grenzschicht ist der Wärmestrom größer als bei dickerer Grenzschicht, da der Temperaturgradient mit steigender Dicke sinkt. Im turbulenten Fall findet eine Durchmischung von warmem und kälterem Fluid statt, daher wird der Wärmeübergangskoeffizient in der turbulenten Grenzschicht größer:

wst-5-03-warmeubergangskoeffizient-grenzschicht-laminar-turbulent

5.2 Navier-Stokes-Gleichung

Um die Navier-Stokes-Gleichung zu verstehen, brauchen wir als Grundlage die Gleichungen der

  • Massenerhaltung
  • Impulserhaltung
  • Energieerhaltung

5.2.1 Massenerhaltung (Kontinuitätsgleichung)

Wir betrachten ein im Raum feststehendes differentielles Volumenelement, das von dem Fluid durchströmt wird (Massenstrom \dot m).

wst-5-04-massenerhaltung-differentialgleichung-navier-stokes

Es gilt:

{{\dot m}_x} = {{\dot m}_x}\left( {x,y+\frac{{dy}}{2},z+\frac{{dz}}{2}} \right)

{{\dot m}_{x+dx}} = {{\dot m}_x}\left( {x+dx,y+\frac{{dy}}{2},z+\frac{{dz}}{2}} \right)

m = \rho dV = \rho \;dx\;dy\;dz

\frac{{dm}}{{dt}} = \sum\limits_k {{{\dot m}_k}} = {{\dot m}_x}-{{\dot m}_{x+dx}}+{{\dot m}_y}-{{\dot m}_{y+dy}}+{{\dot m}_z}-{{\dot m}_{z+dz}}

Wir entwickeln die austretenden Massenströme als Taylorreihe:

{{\dot m}_x} = \rho {v_x}{A_x} = \rho {v_x}dy\;dz

{{\dot m}_{x+dx}} \approx {{\dot m}_x}+\frac{{\partial {{\dot m}_x}}}{{\partial x}}dx,\quad {{\dot m}_{y+dy}} \approx {{\dot m}_y}+\frac{{\partial {{\dot m}_y}}}{{\partial y}}dy,\quad {{\dot m}_{z+dz}} \approx {{\dot m}_z}+\frac{{\partial {{\dot m}_z}}}{{\partial z}}dz

dx\;dy\;dz\;\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} = -dy\;dz\;\frac{{\partial \left( {\rho {v_x}} \right)}}{{\partial x}}dx-dx\;dz\;\frac{{\partial \left( {\rho {v_y}} \right)}}{{\partial y}}dy-dx\;dy\;\frac{{\partial \left( {\rho {v_z}} \right)}}{{\partial z}}dz

Mit einsteinscher Summenkonvention erhalten wir die Kontinuitätsgleichung:

\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}}+\frac{{\partial \left( {\rho {v_i}} \right)}}{{\partial {v_i}}} = 0

\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}}+\nabla \cdot \left( {\rho \vec v} \right) = 0

{\partial _t}\rho +{\partial _i}\left( {\rho {v_i}} \right) = 0

Im Fall eines inkompressiblen Fluids gilt \rho = \operatorname{const} und damit {\partial _t}\rho = 0 und {\partial _i}\rho = 0. Die Kontinuitätsgleichung vereinfacht sich damit:

{\partial _i}\left( {\rho {v_i}} \right) = \rho \;{\partial _i}{v_i}+{v_i}\;\underbrace {{\partial _i}{\rho _i}}_{ = 0}

\Rightarrow \quad 0 = {\partial _i}{v_i} = \nabla \cdot \vec v = div\left( {\vec v} \right)

5.2.2 Impulserhaltung (Navier-Stokes Gleichung)

Der Impuls \vec I = m\vec v bleibt ohne Einwirkung äußerer Kräfte erhalten. Nach Newton gilt:

\frac{{d\vec I}}{{dt}} = \sum\limits_i {{{\vec F}_i}}

Wir betrachten die Impulsbilanz im Volumenelement dV = dx\;dy\;dz:

wst-5-05-impulserhaltung-navier-stokes

Durch das Volumenelement fließt das Fluid. Die Strömungsrichtung kann schräg zu den Normalenvektoren des Elements liegen. Es gilt:

\vec I = m\vec v = \rho \;dV\;\vec v,\quad \quad {I_i} = \rho {v_i}dV

Der Fluss von Impuls i durch die Fläche {A_x} ist \left( {m{v_i}} \right){v_x}d{A_x}.

\begin{array}{*{20}{c}} {}&\vline & {\text{x-Fl\"ache}}&{\text{y-Fl\"ache}} \\ \hline {x-Impuls}&\vline & {\left( {m{v_x}} \right){v_x}d{A_x}}&{\left( {m{v_x}} \right){v_y}d{A_y}} \\ {y-Impuls}&\vline & {\left( {m{v_y}} \right){v_x}d{A_x}}&{\left( {m{v_y}} \right){v_y}d{A_y}} \end{array}

Eine Änderung des Impulses erfolgt außerdem durch

  • Netto-Impulsfluss: {\dot I_i} = -\frac{\partial }{{\partial {x_j}}}\left( {\rho {v_i}{v_j}} \right)dV
  • Netto-Druckkraft: -\frac{{\partial p}}{{\partial {x_i}}}dV
  • Externe Volumenkräfte (z.B. Schwerkraft): {G_i}dV
  • Scherkräfte (Impulsdiffusion): \frac{\partial }{{\partial {x_j}}}\left( {{\tau _{ij}}} \right)dV

Insgesamt ergibt sich die Navier-Stokes-Gleichung:

\underbrace {{\partial _t}\left( {\rho {v_i}} \right)}_{{\text{Impuls\"anderung}}} = \underbrace {-\frac{\partial }{{\partial {x_j}}}\left( {\rho {v_i}{v_j}} \right)}_{{\text{Netto-Fluss}}}\underbrace {-\frac{{\partial p}}{{\partial {x_i}}}}_{{\text{Druck}}}\underbrace {+\frac{\partial }{{\partial {x_j}}}\left( {{\tau _{ij}}} \right)}_{{\text{Scherkraft}}}\underbrace {+{G_i}}_{{\text{Vol}}{\text{.Kraft}}}

\Rightarrow \quad {\partial _t}\left( {\rho {v_i}} \right)+{\partial _j}\left( {\rho {v_i}{v_j}} \right) = -{\partial _i}p+{\partial _j}{\tau _{ij}}+{G_i}

Konvektive Ableitung (totale Ableitung im mitbewegten System):

{D_t}\boxed \ldots : = {\partial _t}\boxed \ldots +{v_i}{\partial _i}\boxed \ldots

Beispiel Dichte: {D_t}\rho = {\partial _t}\rho +{v_i}{\partial _i}\rho

Diese Ableitung nach der Zeit würde ein Dichtemessgerät anzeigen, das sich auf einer Stromlinie bewegt.

Es gilt:

{\partial _t}\left( {\rho {v_i}} \right)+{\partial _j}\left( {\rho {v_i}{v_j}} \right) = \rho {D_t}{v_i} = \rho \;{\partial _t}{v_i}+{v_j}{\partial _j}{v_i}

Nachweis durch Ausdifferenzieren:

{\partial _t}\left( {\rho {v_i}} \right)+{\partial _j}\left( {\rho {v_i}{v_j}} \right) = {v_i}{\partial _t}\rho +\rho \;{\partial _t}{v_i}+{v_i}{\partial _j}\left( {\rho {v_j}} \right)+\rho {v_i}{\partial _j}{v_j}

= {v_i}\underbrace {\left( {{\partial _t}\rho +{\partial _j}\left( {\rho {v_j}} \right)} \right)}_{ = 0,\;Konti-Gl.}+\rho {\partial _t}{v_i}+\rho {v_i}{\partial _j}{v_j}

= \rho {\partial _t}{v_i}+\rho {v_i}{\partial _j}{v_j}

Eigenschaften des Scherkrafttensors

Der Tensor ist symmetrisch:

{\tau _{ij}} = {\tau _{ji}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\tau _{11}}}&{{\tau _{12}}}&{{\tau _{13}}} \\ {{\tau _{12}}}&{{\tau _{22}}}&{{\tau _{23}}} \\ {{\tau _{13}}}&{{\tau _{23}}}&{{\tau _{33}}} \end{array}} \right)

Dabei sind {\tau _{ii}} Schubspannungen und {\tau _{ij}} mit i \ne j Scherspannungen:

{\tau _{xy}} = \mu \left( {\frac{{\partial {v_x}}}{{\partial y}}+\frac{{\partial {v_y}}}{{\partial x}}} \right) = {\tau _{yx}}

{\tau _{xx}} = 2\mu \frac{{\partial {v_x}}}{{\partial x}}-\underbrace {{\mu ^\prime }\left( {\frac{{\partial {v_x}}}{{\partial x}}+\frac{{\partial {v_y}}}{{\partial y}}+\frac{{\partial {v_z}}}{{\partial z}}} \right)}_{\text{Volumenviskosit\"at}}

Die Volumenviskosität wird meistens weggelassen, da laut der Kontinuitätsgleichung gilt:

\rho = \operatorname{const} \quad \Rightarrow \quad {\partial _i}{v_i} = \frac{{\partial {v_x}}}{{\partial x}}+\frac{{\partial {v_y}}}{{\partial y}}+\frac{{\partial {v_z}}}{{\partial z}} = 0

Wir erhalten damit die Navier-Stokes-Gleichung in der Form:

\rho {D_t}{v_i} = {\partial _i}p+{\partial _j}\left( {\mu \left( {{\partial _j}{v_i}+{\partial _i}{v_j}} \right)} \right)+\rho {g_i}

Es sind nun alle Terme bis auf den Druck definiert. Der Druck ist bisher noch eine externe Variable. Die Größe \mu nennt man dynamische Viskosität, sie hat die Einheit \left[ \mu \right] = \frac{{kg}}{{m \cdot s}}. Diese hängt mit der kinematischen Viskosität zusammen: \nu = \frac{\mu }{\rho }. Einheit: \left[ \nu \right] = \frac{{{m^2}}}{s}.

Beispiele:

wst-5-06-kinematische-viskositat-beispiele

5.2.3 Energieerhaltung

Die Totalenergie (Energie pro Masse) setzt sich aus innerer und kinetischer Energie zusammen:

e = u+\frac{{{v^2}}}{2}

Um die Energie pro Volumen zu erhalten, multiplizieren wir mit der Dichte: \rho e

Änderung der Energie:

\frac{{dE}}{{dt}} = \frac{{\partial \left( {\rho e\;dV} \right)}}{{\partial t}} = \sum\limits_i {{{\dot m}_i}{e_i}} +\sum\limits_i {d{{\dot Q}_i}} +\sum\limits_i {d{{\dot W}_i}}

Analyse x-Energiefluss:

\sum\limits_i {{{\dot m}_i}e} \quad \Rightarrow \quad {\left( {{{\dot m}_x}e} \right)_x}-{\left( {{{\dot m}_x}e} \right)_{x+dx}} \approx -\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{{\dot m}_x}e} \right)dx

Durch die wirkenden Kräfte wird Arbeit geleistet:

\partial W = {{\vec F}^ \top }d\vec r = \vec F\underbrace {\frac{{d\vec r}}{{d\vec \tau }}}_{\vec v}d\tau = {{\vec F}^ \top }\vec v\;d\tau

d\dot W = \frac{{\delta W}}{{d\tau }} = {{\vec F}^ \top }\vec v

Die Arbeit entsteht dabei durch:

  • Druckkräfte: d{\dot W_P} = -\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {p{v_x}} \right)dV
  • Scherkräfte: d{\dot W_S} = \left[ {\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{v_x}{\tau _{xx}}} \right)+\frac{\partial }{{\partial y}}\left( {{v_x}{\tau _{xy}}} \right)+\frac{\partial }{{\partial z}}\left( {{v_x}{\tau _{xz}}} \right)} \right]dV
  • Volumenkraft: d{\dot W_V} = {G_x}{v_x}dV
  • Wärmequelle: d{\dot W_Q} = {q^*}dV
  • zusätzlicher Term, der durch weitere physikalische Phänomene entsteht

Wärmeströme durch Wärmeleitung:

d{\dot Q_x} = -\frac{{\partial {{\dot Q}_x}}}{{\partial x}}dx = +\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {k\frac{{\partial T}}{{\partial x}}} \right)dV

Wir erhalten insgesamt:

\delta e = \rho \left( {u+\frac{{{{\vec v}^2}}}{2}} \right) = \rho \left( {u+\frac{1}{2}{v_j}{v_j}} \right)

\underbrace {{\partial _t}\left( {\rho e} \right)+{\partial _i}\left( {\rho e{v_i}} \right)}_{\text{konvektiver\;Transport}} = -\underbrace {{\partial _i}\left( {p{v_i}} \right)}_{\text{Druckkr\"afte}}+\underbrace {{\partial _j}\left( {{v_i}{\tau _{ij}}} \right)}_{\text{Scherkr\"afte}}+\underbrace {{v_i}\rho {g_i}}_{\text{Vol.Kraft}}+\underbrace {{\partial _i}\left( {k{\partial _i}T} \right)}_{\text{W\"armestrom}}\qquad \left( * \right)

(*)-{v_i} \cdot(Impulsgleichung Index i):

\delta {D_t}u+p{\partial _i}{v_i} = {\partial _i}\left( {k{\partial _i}T} \right)+\underbrace {{\tau _{ij}}{\partial _j}{v_i}}_\phi +{q^*}

Dabei bezeichnen wir \phi \equiv {\tau _{ij}}{\partial _j}{v_i} als “Dissipationsfunktion”.

Gleichung für die Enthalpie (v hier spez. Volumen):

h = u+pv = u+\frac{p}{\rho }\quad \Rightarrow \quad u = h-\frac{p}{\rho }

Ein paar Bemerkungen bevor wir die Ähnlichkeitsanalyse machen:

  • 5 partielle DGL für \rho, {v_i} und e (alternativ u, h oder p)
  • {\tau _{ij}} = \mu \left( {{\partial _i}{v_j}+{\partial _j}{v_i}} \right)
  • p = p\left( {\rho ,u} \right),\quad T = T\left( {\rho ,u} \right)
  • Transportgrößen: \mu bzw. \nu = \frac{{\mu \left( {T,p} \right)}}{\rho } = \frac{{\mu \left( T \right)}}{\rho }, k\left( {T,p} \right) = k\left( T \right),\quad {q^*} = 0
  • p ist externe Variable (wird von außen aufgeprägt und kann nicht als Teil der Gleichungen bestimmt werden)
  • Kontinuitätsgleichung und Impulsgleichung enthalten e, u bzw. T nicht direkt, sondern nur über \rho ,\;p\quad \Rightarrow \quad näherungsweise Abkopplung der Energiegleichung

5.2.4 Normierung und Randbedingungen der Navier-Stokes Gleichung

Zur Normierung der Navier-Stokes-Gleichung nehmen wir folgende Umgebungssituation an:

wst-5-07-navier-stokes-umgebungssituation

Größen zur Normierung der Navier-Stokes-Gleichung

Länge: {\hat x_i} = \frac{{{x_i}}}{L}
Dichte: \hat \rho = \frac{\rho }{{{\rho _\infty }}}
Geschwindigkeit: {\hat v_i} = \frac{{{v_i}}}{{{v_\infty }}}

Viskosität: \hat \mu = \frac{\mu }{{{\mu _\infty }}}
Wärmeleitfähigkeit: \hat k = \frac{k}{{{k_\infty }}}

Druck: \hat p = \frac{p}{{{\rho _\infty }v_\infty ^2}}
Zeit: \hat \tau = \frac{{\tau {v_\infty }}}{L}
Scherspannung: {\hat \tau _{ij}} = \frac{{{\tau _{ij}}L}}{{{\mu _\infty }{v_\infty }}}
Massenkräfte: {\hat g_i} = \frac{{{g_i}L}}{{v_\infty ^2}}

Raumableitung: {\partial _i} = \frac{{{{\hat \partial }_i}}}{L}
Zeitableitung: {\partial _\tau } = \frac{{{{\hat \partial }_\tau }{v_\infty }}}{L}
Substantielle Ableitung: {D_\tau } = \frac{{{{\hat D}_\tau }{v_\infty }}}{L}

Randbedingungen

\rho = {\rho _0}\quad \Rightarrow \quad \rho = 1

\vec v = {v_i}\vec e\quad \Rightarrow \quad \vec \hat v = \vec e

{\partial _t}\rho +{\partial _i}\left( {\rho {v_i}} \right) = 0

\Rightarrow \quad \frac{{{v_0}}}{{{L_0}}}{{\hat \partial }_t}\left( {{\rho _0}\hat \rho } \right)+\frac{1}{{{L_0}}}{{\hat \partial }_i}\left( {{\rho _0}\hat \rho {{\hat v}_i}{v_0}} \right) = 0\qquad |:\frac{{{\rho _0}{v_0}}}{{{L_0}}}

\Rightarrow \quad {{\hat \partial }_t}\hat \rho +{{\hat \partial }_i}\left( {\hat \rho {{\hat v}_i}} \right) = 0

Impulsgleichung:

\delta {D_t}{v_i} = -{\partial _i}p+{\partial _j}{\tau _{ij}}+\rho {g_i}

{\rho _0}\hat \rho \frac{{{v_0}}}{{{L_0}}}{{\hat D}_t}{v_0}{{\hat v}_i} = -\frac{1}{{{L_0}}}{{\hat \partial }_i}{\rho _0}v_0^2\hat p+\frac{1}{{{L_0}}}{{\hat \partial }_j}\frac{{{v_0}{\mu _0}}}{{{L_0}}}{{\hat \tau }_{ji}}+{\rho _0}\hat \rho \frac{{v_0^2}}{{{L_0}}}{{\hat g}_i}

\hat \rho {{\hat D}_t}{{\hat v}_i} = -{{\hat \partial }_i}\hat p+\underbrace {\left( {\frac{{{\mu _0}}}{{{\rho _0}{v_0}{L_o}}}} \right)}_{\frac{{{\nu _0}}}{{{v_0}{L_0}}} = \frac{1}{{\operatorname{Re} }}}{{\hat \partial }_j}{{\hat \tau }_{ji}}+\hat \rho {{\hat g}_i}\qquad |:\frac{{{\rho _0}v_0^2}}{{{L_0}}}

\operatorname{Re} \equiv \frac{{{v_0}{L_0}}}{{{\nu _0}}}

Kennzahlen der Bilanzgleichungen: Re, Pr und Ec. Hiermit können wir die drei bisher hergeleiteten Gleichungen umschreiben.

Kontinuitätsgleichung:

{\hat \partial _\tau }\hat \rho +{\hat \partial _i}\left( {\hat \rho {{\hat v}_i}} \right) = 0

Navier-Stokes-Gleichung:

{\hat \partial _\tau }\left( {\hat \rho {{\hat v}_i}} \right)+{\hat \partial _j}\left( {\hat \rho {{\hat v}_i}{{\hat v}_j}} \right) = -{\hat \partial _i}\hat p+\frac{1}{{\operatorname{Re} }}{\hat \partial _i}{\hat \tau _{ji}}+\hat \rho {\hat g_i}

Thermische Energiegleichung:

\hat \rho {\hat D_\tau }\hat h = \operatorname{Ec} {\hat D_\tau }\hat p+\frac{1}{{\operatorname{Re} \Pr }}{\hat \partial _i}\left( {\hat k{{\hat \partial }_i}\hat T} \right)+\frac{{\operatorname{Ec} }}{{\operatorname{Re} }}\hat \phi +{\hat q^*},\quad \quad \hat \phi = {\hat \tau _{ji}}{\hat \partial _j}{\hat v_i}

Die Eckert-Zahl beschreibt das Verhältnis der kinetischen Energie zur Enthalpie einer Strömung.

Messung der globalen Nusselt-Zahl abhängig von der Reynoldszahl am quer angeströmten Zylinder:

wst-5-08-globale-nusselt-zahl-reynolds

Typische Werte der Prandtl-Zahl:

\begin{array}{*{20}{c}} {\text{Stoff}}&\vline & {\Pr }&\vline & {T/^\circ C} \\ \hline {\text{Luft}}&\vline & {0,72}&\vline & {20} \\ {\text{Wasser}}&\vline & {13,48}&\vline & 0 \\ {\text{Wasser}}&\vline & {7,0}&\vline & {20} \\ {\text{Wasserdampf}}&\vline & {0,999}&\vline & {100} \\ {\text{Schmier\"ol}}&\vline & {47000}&\vline & 0 \\ {\text{Schmier\"ol}}&\vline & {1050}&\vline & {60} \\ {\text{Quecksilber}}&\vline & {0,027}&\vline & {10} \end{array}

Energiegleichung:

\hat T = \frac{{\left( {T-{T_0}} \right)}}{{{T_1}}}\quad ;\quad \hat k = \frac{k}{{{k_0}}}\quad ;\quad \hat h = \frac{h}{{{c_p}{T_1}}}\quad ;\quad {\hat q^*} = \frac{{{q^*}}}{{\left( {\frac{{{c_p}{T_1}{\rho _0}{v_0}}}{{{L_0}}}} \right)}}

\rho {D_t}h = {D_t}p+{\partial _i}\left( {k{\partial _i}T} \right)+\phi +{q^*}

{\rho _0}\hat \rho \frac{{{v_0}}}{{{L_0}}}{{\hat D}_t}\left( {{c_p}{T_1}\hat h} \right) = {\rho _0}v_0^2\frac{{{v_0}}}{{{L_0}}}{{\hat D}_t}\hat p+\frac{{{k_0}{T_1}}}{{L_0^2}}{{\hat \partial }_i}\left( {\hat k{{\hat \partial }_i}\hat T} \right)+\frac{{v_0^2{\mu _0}}}{{L_0^2}}+\frac{{{c_p}{T_1}{\rho _0}{v_0}}}{{{L_0}}}{{\hat q}^*}

\hat \rho {{\hat D}_t}\hat h = \operatorname{Ec} \cdot {{\hat D}_t} \cdot \hat p+\frac{1}{{\operatorname{Re} \Pr }}{{\hat \partial }_i}\left( {\hat k{{\hat \partial }_i}\hat T} \right)+\frac{{\operatorname{Ec} }}{{\operatorname{Re} }}\hat \phi +{{\hat q}^*}

perfektes Gas:

h = {c_p}T\quad \Rightarrow \quad \hat h = \frac{{{c_p}T}}{{{c_p}{T_1}}} = \frac{T}{{{T_1}}} = \hat T

p = \rho RT\quad \Rightarrow \quad \hat p = \frac{{{\rho _0}\hat \rho R{T_1}\hat T}}{{{\rho _0}v_0^2}};\quad \quad \operatorname{Ec} = \frac{{v_0^2}}{{{c_p}{T_1}}}

\frac{{R{T_1}}}{{v_0^2}} = \frac{R}{{{c_p} \cdot Ec}}

{c_p} = {c_v}+R;\quad \quad \kappa = \frac{{{c_p}}}{{{c_v}}}\quad \Rightarrow \quad \frac{R}{{{c_p}}} = \frac{{\kappa -1}}{\kappa }

\Rightarrow \quad \hat p = \left( {\frac{R}{{{c_p}}}} \right)\frac{{\hat \rho \hat T}}{{\operatorname{Ec} }} = \left( {\frac{{\kappa -1}}{\kappa }} \right)\frac{1}{{\operatorname{Ec} }}\hat \rho \hat T

Wir haben nun 5 Gleichungen für \hat \rho, {\hat v_i} und \hat T.

Schallgeschwindigkeit:

c = \sqrt {\kappa RT} \quad \Rightarrow \quad {c_0} = \sqrt {\kappa R{T_0}}

Wähle: {T_1} \equiv {T_0}

\operatorname{Ec} = \frac{{v_0^2}}{{{c_p}{T_1}}} = \frac{R}{{{c_p}}}\frac{{v_0^2}}{{R{T_0}}} = \left( {\kappa -1} \right)Ma_0^2

Wir sehen, dass die Eckert-Zahl für \kappa \approx 1 vernachlässigt werden kann.

5.3 Spezialfall dünne Grenzschicht (Prandtl-Näherung)

Wir wählen im Koordinatensystem immer x entlang der Platte und y in das Fluid.

Es sei

{v_x} = :u,\quad \quad \frac{{\partial u}}{{\partial z}} = 0

{v_y} = :v,\quad \quad \frac{{\partial v}}{{\partial z}} = 0

{v_z} = :w = 0,\quad \quad \frac{{\partial w}}{{\partial z}} = 0

Wir treffen nun folgende Annahmen:

  • inkompressible Strömung, \rho = \operatorname{const} = {\rho _0}
  • horizontale Geschwindigkeit groß, u \gg v
  • Änderung der horizontalen Geschwindigkeit in y-Richtung am größten, \frac{{\partial u}}{{\partial y}} \gg \frac{{\partial u}}{{\partial x}},\;\frac{{\partial v}}{{\partial x}},\;\frac{{\partial v}}{{\partial y}}
  • Symmetrischer Spannungstensor, {\tau _{xy}} = {\tau _{yx}} = \mu \frac{{\partial u}}{{\partial y}}
  • Druck nicht von y-Koordinate abhängig: \frac{{\partial p}}{{\partial y}} = 0\quad \Rightarrow \quad p\left( {x,y} \right) \sim p\left( x \right) = {p_\infty }\left( x \right)
  • keine starke Temperaturänderung entlang der Platte, \frac{{\partial T}}{{\partial x}} \ll \frac{{\partial T}}{{\partial y}}

Navier-Stokes-Gleichung:

{\partial _x}u+{\partial _y}v = 0

u{\partial _x}u+v{\partial _y}u = \nu \partial _y^2u

u{\partial _x}T+v{\partial _y}T = \alpha \partial _y^2T

Normierung:

\xi = \frac{x}{L},\quad \eta = \frac{y}{L}

\hat u = \frac{u}{{{u_\infty }}},\quad \hat v = \frac{v}{{{u_\infty }}}

{\Pi _\xi } = \frac{1}{{{\rho _\infty }u_\infty ^2}}\frac{{d{p_\infty }}}{{dx}}

{\operatorname{Re} _l} = \frac{{{u_\infty }L}}{v},\quad \Pr = \frac{\nu }{\alpha },\quad \operatorname{Ec} = \frac{{u_\infty ^2}}{{{c_p}{T_1}}}

\Theta = \frac{{T-{T_W}}}{{{T_1}}}

{T_1} = {T_\infty }-{T_W}\quad \vee \quad {T_\infty }\quad \vee \quad \frac{{u_\infty ^2}}{{2{c_p}}}

Als ersten Trick führen wir eine Ähnlichkeitsvariable ein:

\gamma \left( {\xi ,\eta } \right): = \frac{y}{x}\sqrt {{{\operatorname{Re} }_x}} = \frac{y}{x}\sqrt {\frac{{{u_\infty }x}}{\nu }} = \frac{\eta }{\xi }\underbrace {\sqrt {\frac{{{u_\infty }L}}{\nu }} }_{\sqrt {{{\operatorname{Re} }_L}} }\sqrt \xi

\gamma \left( {\xi ,\eta } \right) = \sqrt {{{\operatorname{Re} }_L}} \frac{\eta }{{\sqrt \xi }}

Stromfunktion:

f\left( {\xi ,\eta } \right) = f\left( {\gamma \left( {\xi ,\eta } \right)} \right) = f\left( \gamma \right)

Aus dieser Stromfunktion leiten wir die Geschwindigkeitskomponenten ab.

{f^\prime }: = \frac{{df}}{{d\gamma }}

Der zweite Trick ist es, die Geschwindigkeitskomponenten so zu wählen, dass die Kontinuitätsgleichung erfüllt ist. Ansatz:

u: = \frac{{\partial f}}{{\partial \eta }} = {f^\prime }\frac{{d\gamma }}{{d\eta }} = \frac{{{f^\prime }\sqrt {{{\operatorname{Re} }_L}} }}{{\sqrt \xi }}

v: = -\frac{{\partial f}}{{\partial \xi }} = -{f^\prime }\frac{{d\gamma }}{{d\xi }} = \frac{{{f^\prime }\sqrt {{{\operatorname{Re} }_L}} \eta }}{{2\xi \sqrt \xi }}

Kontinuitätsgleichung:

{\partial _\xi }u+{\partial _\eta }v = {\partial _\xi }{\partial _\eta }f-{\partial _\eta }{\partial _\xi }f = 0

Wir müssen nun die u und v in die Navier-Stokes-Gleichung einsetzen und auflösen:

f\left( \gamma \right){f^{\prime \prime }}\left( \gamma \right)+2{f^{\prime \prime \prime }}\left( \gamma \right) = 0

Randbedingung:

f\left( 0 \right) = 0

{f^\prime }\left( 0 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u\left( {y = 0} \right) = 0} \\ {v\left( {y = 0} \right) = 0} \end{array}} \right.

{f^\prime }\left( {\gamma \to \infty } \right) = 0\quad \Rightarrow \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u\left( {y \to \infty } \right) = {u_\infty }} \\ {v\left( {y \to \infty } \right) = 0} \end{array}} \right.

Blasius-Lösung für die Grenzschicht an einer ebenen Platte (ohne axialen Druckgradienten):

wst-5-09-blasius-losung-grenzschicht-ebene-platte

Die normierte u-Geschwindigkeit steigt bei etwa \eta = 5 auf einen Wert von 99%. Daraus können wir sehen, dass die Dicke der Grenzschicht proportional zur Wurzel der Lauflänge x ist:

\frac{u}{{{u_\infty }}} = 0,99

\Rightarrow \quad y = \delta = 5\sqrt {\frac{{\nu x}}{{{u_\infty }}}} = \frac{{5x}}{{\sqrt {{{\operatorname{Re} }_x}} }} = 5\sqrt {\frac{\nu }{{{u_\infty }}}} \sqrt {\frac{x}{L}} L = 5\sqrt {\frac{x}{L}} \frac{L}{{\sqrt {{{\operatorname{Re} }_L}} }}

Die Ableitung der Geschwindigkeit an der Wand sagt uns, wie groß die Wandreibung ist. {\tau _W} ist die Schubspannung an der Wand. Diese normieren wir:

{c_f}: = \frac{{{\tau _W}}}{{\frac{1}{2}{\rho _\infty }u_\infty ^2}} = \frac{{0,664}}{{\sqrt {{{\operatorname{Re} }_x}} }}

{\tau _W} = \frac{1}{2}{\rho _\infty }u_\infty ^2{c_f} \sim \frac{1}{2}{\rho _\infty }u_\infty ^2

Auch der Reibungskoeffizient ist also proportional zum dynamischen Druck der Anströmung.

Der Wärmeübergangskoeffizient ist proportional zur reziproken Wurzel der Lauflänge.

Thermische Grenzschicht:

\Theta = \frac{{T-{T_W}}}{{{T_\infty }-{T_W}}},\quad

\Theta = \Theta \left( \gamma \right)

Wir erhalten die DGL:

{\Theta ^{\prime \prime }}+\frac{{\Pr }}{2}f{\Theta ^\prime } = 0

Randbedingungen:

\Theta \left( {y = 0} \right) = 0

\Theta \left( {y \to \infty } \right) = 1

Diese DGL können wir nur numerisch lösen.

Polenhausen Lösung für die Temperatur-Grenzschicht (ohne axialen Druckgradienten):

wst-5-10-polenhausen-losung-grenzschicht

Nusseltzahl an ebener isothermer Platte als Funktion der Prandtl-Zahl:

wst-5-11-nusselt-zahl-prandtl-ebene-platte-isotherm

Wir bekommen Korrelationen für die Nusselt-Zahl:

{\operatorname{Nu} _x} = 0,5\sqrt {{{\operatorname{Re} }_x}\Pr } ,\quad \Pr \leq 0,05

{\operatorname{Nu} _x} = 0,332\sqrt {{{\operatorname{Re} }_x}} {\Pr ^{\frac{1}{3}}},\quad \Pr \geq 0,5

Für Gasströmungen ist die zweite Näherung ziemlich gut. Luft hat z.B. eine Prandtlzahl von 0,7.

Lokale Nusselt-Zahl:

\operatorname{Nu} = {\left. {\frac{{\partial \Theta }}{{\partial \eta }}} \right|_{\eta \to 0}} = \frac{{hL}}{k}

In der Aerodynamik wird oft die Stanton-Zahl verwendet. Diese ist nichts anderes als ein normierter Wärmeübergangskoeffizient:

\operatorname{St} : = \frac{h}{{{\rho _\infty }{u_\infty }{c_p}}} = \underbrace {\frac{{hL}}{k}}_{\operatorname{Nu} }\underbrace {\underbrace {\frac{k}{{{\rho _\infty }{c_p}}}}_\alpha \frac{1}{\nu }}_{1/\Pr }\underbrace {\frac{\nu }{{{u_\infty }L}}}_{1/{{\operatorname{Re} }_L}} = \frac{{\operatorname{Nu} }}{{{{\operatorname{Re} }_L}\Pr }}

Reibungskoeffizient:

{c_f} = \frac{{{\tau _W}}}{{{\rho _\infty }\frac{{u_\infty ^2}}{2}}}

Es folgen unterschiedliche Ergebnisse für Prandtl-Zahlen gleich und ungleich 1.

Für \Pr = 1:

{c_f} = \frac{{0,664}}{{\sqrt {{{\operatorname{Re} }_x}} }},\quad \Pr = 1,\quad \frac{{{c_f}}}{2} = \operatorname{St} = \frac{{\operatorname{Nu} }}{{{{\operatorname{Re} }_L}}}

{\operatorname{Nu} _{\Pr = 1}} = \frac{{{{\operatorname{Re} }_L}}}{2}{c_f} = 0,332\sqrt {\frac{L}{x}} \sqrt {{{\operatorname{Re} }_L}}

Für \Pr \ne 1:

\frac{{{c_f}}}{2} = \operatorname{St} {\Pr ^{\frac{2}{3}}} = \frac{{\operatorname{Nu} }}{{{{\operatorname{Re} }_L}{{\Pr }^{\frac{1}{3}}}}}

5.4 Vergleich laminare und turbulente Strömung

Laminar:

{c_{f,x}} = \frac{{0,664}}{{\sqrt {{{\operatorname{Re} }_x}} }} \sim {x^{-\frac{1}{2}}}

{\delta _x} = \frac{{5x}}{{\sqrt {{{\operatorname{Re} }_x}} }} = \frac{{5L\sqrt {\frac{x}{L}} }}{{\sqrt {{{\operatorname{Re} }_L}} }} \sim {x^{\frac{1}{2}}}

{\operatorname{Nu} _x} = 0,332\sqrt {{{\operatorname{Re} }_x}} {\Pr ^{\frac{1}{3}}}

Turbulent:

{c_{f,x}} = 0,059\operatorname{Re} _x^{-\frac{1}{5}} \sim {x^{-\frac{1}{5}}}

{\delta _x} = 0,37x\operatorname{Re} _x^{-\frac{1}{5}} \sim {x^{\frac{4}{5}}}

{\operatorname{Nu} _x} = 0,0296\operatorname{Re} _x^{\frac{4}{5}}{\Pr ^{\frac{1}{3}}} \sim {x^{\frac{4}{5}}}

\Rightarrow \quad {\operatorname{Nu} _L} \sim {x^{-\frac{1}{5}}}

5.5 Konvektiver WÜ bei schneller Strömung, Recovery-Temperatur

5.5.1 Aerodynamische Erwärmung

Aerodynamische Erwärmung ist die Erwärmung eines Festkörpers durch Umströmung mit Fluid (z.B. ein Flugzeug, das von Luft umströmt wird). Sie ist eine Form von erzwungener Konvektion, das Kraftfeld wird hierbei durch den bewegten Körper verursacht.

An der Oberfläche des Körpers ist die Strömungsgeschwindigkeit gleich Null. Wenn das umgebende Fluid langsamer wird, verwandelt sich seine kinetische Energie in Wärme. Während die Strömung fast auf Null abgebremst ist, steigt ihre Temperatur. Der Geschwindigkeitsgradient normal zur Oberfläche erlaubt einen geringen Stofftransport, wodurch die Hitze nach außen abgeleitet wird und die tatsächliche Temperatur an der Oberfläche nicht der Staupunkttemperatur entspricht. Diese tatsächliche Temperatur wird Recovery-Temperatur genannt.

5.5.2 Stationäre Grenzschichtnäherung

Wir betrachten laminare Strömungen. Die Energiegleichung lautet:

{\partial _t}\left( {\rho e} \right)+{\partial _i}\left( {\rho e{v_i}} \right) = -{\partial _i}\left( {{v_i}p} \right)+{\partial _j}\left( {{v_i}{\tau _{ji}}} \right)+{\partial _i}\left( {k{\partial _i}T} \right)+{q^*}+\rho {v_i}{g_i}

\rho {\partial _t}e+\underbrace {e{\partial _t}\rho +e{\partial _i}\left( {\rho {v_i}} \right)}_{e\left( {{\partial _t}\rho +{\partial _i}\left( {\rho {v_i}} \right)} \right)}+\rho {v_i}{\partial _i}e = \rho {D_t}e

Wir führen die Totalenthalpie ein:

{h_0} = h+\frac{{{{\vec v}^2}}}{2}

Da wir explizite Volumenkräfte haben, dürfen wir hier keine potentielle Energie benutzen.

{h_0} = u+\frac{p}{\rho }+\frac{{{{\vec v}^2}}}{2}

\rho {D_t}{h_0} = {\partial _t}\left( {\rho {h_0}} \right)+{\partial _i}\left( {\rho {v_i}{h_0}} \right)

\rho {D_t}{h_0}-{\partial _t}p = {\partial _i}\left( {k{\partial _i}T} \right)+{\partial _j}\left( {{v_i}{\tau _{ji}}} \right)+{q^*}+\rho {v_i}{g_i}

Wir haben keine Quelle, also {q^*} = 0. Es gilt \rho {v_i}{g_i} \to 0

\rho \left( {u{\partial _x}{h_0}v{\partial _y}{h_0}} \right) = {\partial _y}\left( {k{\partial _y}T} \right)+{\partial _y}\left( {u\mu {\partial _y}u} \right)

Der Term {\partial _y}\left( {u\mu {\partial _y}u} \right) ist hier verglichen mit den bisherigen Betrachtungen neu, er darf bei hohen Geschwindigkeiten nicht vernachlässigt werden.

Ideales Gas:

{\left. {\frac{{\partial h}}{{\partial p}}} \right|_T} = 0

Perfektes Gas:

h = {c_p}T

Totaltemperatur:

{T_0}: = \frac{{{h_0}}}{{{c_p}}} = T+\frac{{{u^2}}}{{2{c_p}}}

\Pr = \frac{\nu }{\alpha } = \frac{{\rho {c_p}\nu }}{k} = {c_p}\frac{\mu }{k}\quad \Rightarrow \quad k = \frac{{{c_p}\mu }}{{\Pr }}

k\partial _i^2T = k\partial _i^2{T_0}-\frac{k}{{{c_p}}}\partial _i^2\left( {\frac{{{u^2}}}{2}} \right)

\rho {c_p}\left( {u{\partial _x}{T_0}+v{\partial _y}{T_0}} \right) = k\partial _y^2{T_0}+\left( {1-\frac{1}{{\Pr }}} \right)\mu \partial _y^2\left( {\frac{{{u^2}}}{2}} \right)

Wenn \Pr = 1 ist, fällt der hintere Term weg, es ergibt sich die normale Gleichung der laminaren Grenzschichttheorie. Für \Pr \ne 1 bekommen wir den hinteren Term dazu.

Wir führen wieder die Ähnlichkeits-Koordinate ein:

\gamma = y\sqrt {\frac{{{u_\infty }}}{{2\nu x}}}

Stromfunktion in Abhängigkeit dieser Koordinate: f\left( \gamma \right)

Totaltemperatur:

{T_0} = {T_0}\left( \gamma \right)

T_0^{\prime \prime }\left( \gamma \right)+\Pr f\left( \gamma \right)T_0^\prime \left( \gamma \right)+\frac{{u_\infty ^2}}{{2{c_p}}}\left( {\Pr -1} \right)\frac{{{d^2}}}{{d{\gamma ^2}}}\left( {{f^{\prime 2}}} \right) = 0

{{\hat T}_0} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{\gamma = 0} \\ 1&{\gamma \to \infty } \end{array}} \right.

Für \Pr = 1:

{T_0}-Lösung entspricht der T-Lösung der laminaren Grenzschicht.

Wir betrachten perfektes Gas.

{h_0} = u+\frac{{{{\bar u}^2}}}{2}+\frac{p}{\rho } = h+\frac{{{{\bar v}^2}}}{2} = \rho +\frac{p}{\rho }

h = {c_p}T,\quad {h_0} = {c_p}T+\frac{{{u^2}}}{2}

\rho \left( {u{\partial _x}{h_0}+v{\partial _y}{h_0}} \right) = {\partial _y}k{\partial _y}T+{\partial _y}\left( {u\mu {\partial _y}u} \right)

{T_0} = \frac{1}{{{c_p}}}{h_0} = T+\frac{{{u^2}}}{{2{c_p}}}

\Pr = \frac{\nu }{\alpha } = {c_p}\frac{\mu }{k},\quad k = \frac{{{c_p}\mu }}{{\Pr }}

k\partial _i^2T = k{\partial _i}{T_0}-\frac{k}{{{c_p}}}\partial _i^2\left( {\frac{{{u^2}}}{2}} \right)

\rho {c_p}\left( {u{\partial _x}{T_0}+v{\partial _y}{T_0}} \right) = k\partial _y^2{T_0}+\left( {1-\frac{1}{{\Pr }}} \right)\mu \partial _y^2\left( {\frac{{{u^2}}}{2}} \right)

Randbedingung:

{T_0}\left( {y = 0} \right) = {T_W}

{T_0}\left( {y \to \infty } \right) = {T_{0,\infty }}

\gamma = y\sqrt {\frac{{{u_\infty }}}{{2\nu x}}}

\underbrace {T_0^{\prime \prime }+\Pr f\left( \gamma \right)T_0^\prime }_{homogen}+\underbrace {\frac{{u_\infty ^2}}{{2{c_p}}}\left( {\Pr -1} \right)\frac{{{d^2}}}{{d{\gamma ^2}}}\left( {{f^{\prime 2}}} \right)}_{inhomogen} = 0

\Pr = 1:\quad Wie\;T-Gl.

Homogene Gleichung

\Pr = 1:\quad {T_0} \equiv \text{T-L\"osung}\;\;mit\;\;T\left( {\gamma \to \infty } \right) \to {T_0}\left( {\gamma \to \infty } \right)

Spezielle Lösung für die inhomogene Gleichung mit adiabaten Bedingungen:

{{\dot q}_W} = 0,\quad \gamma \to 0\quad \Leftrightarrow \quad \eta = 0\quad \Leftrightarrow \quad y = 0

{\left. {\frac{{dT}}{{dy}}} \right|_{y = 0}} = 0\quad \Rightarrow \quad {\left. {\frac{{dT}}{{d\eta }}} \right|_{\eta = 0}} = 0\quad \Rightarrow \quad {\left. {\frac{{d{T_0}}}{{d\eta }}} \right|_{\eta = 0}} = 0\quad \Rightarrow \quad {\left. {\frac{{d{T_0}}}{{d\gamma }}} \right|_{\gamma = 0}} = 0

Dimensionslos:

{\Theta _{a,0}} = {T_{a,0}}-{T_{\infty ,0}}

{T_{a,0}} = \frac{{u_\infty ^2}}{{2{c_p}}}{\Theta _{a,0}}+{T_{\infty ,0}}

\Theta _{a,0}^{\prime \prime }+\Pr f\left( \gamma \right)\Theta _{a,0}^\prime +\left( {\Pr -1} \right){\left( {{f^{\prime 2}}} \right)^{\prime \prime }} = 0

Adiabate Bedingung:

\Theta _{a,0}^\prime \left( {\gamma = 0} \right) = 0

{\Theta _{a,0}}\left( {\gamma \to \infty } \right) = 0

Dies ist eine DGL zweiter Ordnung, die nichtlinear in \gamma ist. Sie lässt sich numerisch lösen. Wir erhalten so die Verläufe der Recovery-Temperatur:

wst-5-12-recovery-temperatur-verlauf

Für eine Prandtl-Zahl kleiner als 1 ist also die Temperatur an der Wand kleiner als die Totaltemperatur im Unendlichen. An der Wand muss die statische Temperatur der Totaltemperatur entsprechen. Aus der Lösung sieht man auch, dass die Ableitung der statischen und totalen Temperatur an der Wand gleich null ist.

Man muss berücksichtigen, dass die Wärmeleitung in der ursprünglichen Form ({\partial _y}k{\partial _y}T) sensitiver auf die Totaltemperatur ist. Wenn die Wärme besser abgeleitet wird, als der Impulstransport funktioniert, dann wird Energie nach außen geleitet. Es wird thermische Energie vom Inneren der Grenzschicht ins Äußere verlagert. Wenn die Wärmeleitung schlecht ist, gibt es an der Wand einen Wärmestau.

Temperaturfeld für {\dot q_W} \ne 0 für die homogene Gleichung (\Pr = 1):

\Theta = \frac{{T-{T_\infty }}}{{{T_W}-{T_\infty }}}\quad \Rightarrow \quad T = \Theta \left( {{T_W}-{T_\infty }} \right)+{T_\infty }

Lösung der kompletten Gleichung für \dot q\left( {y = 0} \right) = {\dot q_W} \ne 0 als Superposition einer homogenen Lösung und einer inhomogenen Lösung:

{T_0} = \underbrace {{C_1}\Theta \left( {{T_W}-{T_\infty }} \right)}_{homogen,\;{{\dot q}_W} \ne 0}+{C_2}+\underbrace {\frac{{u_\infty ^2}}{{2{c_p}}}{\Theta _{a,0}}}_{inhomogen,\;{{\dot q}_W} = 0}

Der inhomogene Teil stellt dabei sicher, dass auch die inhomogene Gleichung erfüllt wird. Die Recovery-Temperatur ist also die Wand-Temperatur unter der Annahme, dass die Wand adiabat ist. Für \Pr = 1 ist dies die Totaltemperatur im Unendlichen. Für \Pr < 1 ist sie kleiner, für \Pr > 1 ist sie größer als die Totaltemperatur im Unendlichen.

{T_r} = {T_{W,a}} = {T_{W,0,a}}-\underbrace {\frac{{u_W^2}}{{2{c_p}}}}_{ = 0} = \frac{{u_\infty ^2}}{{2{c_p}}}{\left. {{\Theta _{a,0}}} \right|_{\gamma = 0}}+{T_{\infty ,0}}-\underbrace {\frac{{u_W^2}}{{2{c_p}}}}_{ = 0}

Recovery-Faktor:

r: = \frac{{{T_r}-{T_\infty }}}{{\frac{{u_\infty ^2}}{{2{c_p}}}}} = \frac{{{T_r}-{T_\infty }}}{{{T_{\infty ,0}}-{T_\infty }}}

0,6 \leq \Pr \leq 15\quad \Rightarrow \quad r \sim \sqrt {\Pr }

Bestimmung der Konstanten {C_1} und {C_2}:

{T_0}\left( {\eta = 0} \right)\mathop = \limits^! {T_W} = {C_1}\Theta \left( {\eta = 0} \right)\left( {{T_W}-{T_\infty }} \right)+{C_2}+\underbrace {\frac{{u_\infty ^2}}{{2{c_p}}}{\Theta _{a,0}}\left( {\eta = 0} \right)}_{{T_r}-{T_{\infty ,0}}}

{T_0}\left( {\eta \to \infty } \right) = {T_{\infty ,0}} = {C_1}\underbrace {\Theta \left( {\eta \to \infty } \right)}_{ = 0}\left( {{T_W}-{T_\infty }} \right)+{C_2}+\frac{{u_\infty ^2}}{{2{c_p}}}{\Theta _{a,0}}\left( {\eta = 0} \right)

\Rightarrow \quad {C_2} = {T_{\infty ,0}}

\Rightarrow \quad {C_1} = \frac{{{T_W}-{T_r}}}{{{T_W}-{T_\infty }}}\quad \Rightarrow \quad {T_0} = \Theta \left( {{T_W}-{T_r}} \right)+\frac{{u_\infty ^2}}{{2{c_p}}}{\Theta _{a,0}}+{T_{\infty ,0}}

{{\dot q}_W} = -k{\left. {\frac{{\partial T}}{{\partial y}}} \right|_{y = 0}} = -k{\left. {\frac{{\partial {T_0}}}{{\partial y}}} \right|_{y = 0}} = -k\left( {{T_W}-{T_r}} \right)\frac{{d\Theta }}{{d\gamma }}\sqrt {\frac{{{u_\infty }}}{{2\nu x}}}

Dabei ist \Theta die Lösung der Temperaturgleichung für \Pr = 1. Wir können sehen, dass sich der Wärmestrom für schnelle Strömungen genauso verhält wie für langsame Strömungen. Die Recovery-Temperatur müssen wir an der Stelle einsetzen, wo vorher die Temperatur im Unendlichen stand. Wir bekommen folgende Aussage:

{\dot q_W} = h\left( {{T_W}-{T_r}} \right)

Auswertung für laminare Strömung:

{\dot q_W} = 0,322{\Pr ^{\frac{1}{3}}}\left( {{T_W}-{T_r}} \right)k\sqrt {\frac{{{u_\infty }}}{{\nu x}}}

Für langsame Strömungen gilt:

Ma \to 0\quad \Rightarrow \quad \operatorname{Nu} = 0,332\sqrt {{{\operatorname{Re} }_x}} {\Pr ^{\frac{1}{3}}}

Verläufe der Recovery-Temperatur für \Pr > 1:

wst-5-13-recovery-temperatur

5.6 Filmkühlung

In den letzten 50 Jahren wurde die im Rahmen der Forschung an Gasturbinen die Brennkammer-Austrittstemperatur bzw. die Eintrittstemperatur der Hochdruckturbine immer weiter erhöht, um den Wirkungsgrad des Triebwerks zu verbessern und so den möglichen Schub zu erhöhen. Die nun auftretenden sehr hohen Temperaturen gefährden allerdings die strukturelle Integrität der Turbine, insbesondere der Schaufeln. Die Turbineneintrittstemperaturen moderner Triebwerke überschreiten den Schmelzpunkt des Materials der Turbinenschaufeln. Um ein Schmelzen der Schaufeln zu verhindern, wurden Systeme zur Filmkühlung integriert. Bei der Filmkühlung wird kalte Luft aus der Kompressorstufe in die Innenräume der Turbinenschaufeln geleitet, die dann durch kleine Löcher in den Wänden der Schaufeln austritt. Diese Luft bildet eine dünne, isolierende Schicht entlang der Oberfläche der Schaufeln.

wst-5-14-filmkuhlung-geometrie-beispiel

Es muss dafür gesorgt werden, dass die Wand möglichst lange vom Kaltgas umströmt wird und nicht vom Heißgas.

Wir führen eine dimensionslose Temperatur ein, nämlich die adiabate Filmkühleffektivität:

\eta : = \frac{{{T_{ad}}-{T_e}}}{{{T_c}-{T_e}}}

{T_{ad}} ist die adiabate Wandtemperatur. Solange der Kühlfilm funktioniert (“dick ist”), entspricht die Wandtemperatur der Kaltgastemperatur:

{T_{ad}} = {T_c}\quad \Rightarrow \quad \eta = 1

Nachdem sich der Kühlfilm aufgelöst hat, entspricht die Wandtemperatur der Heißgastemperatur:

{T_{ad}} = {T_e}\quad \Rightarrow \quad \eta = 1

Wenn wir keine adiabate Wand annehmen, lässt sich der Wärmestrom schreiben als:

{\dot q_W} = \hat h\left( {{T_W}-{T_{ad}}} \right)

Für schnelle Strömungen müssten wir {T_{ad}} durch {T_r} ersetzen. Dies ist bei Filmkühlung aber meist nicht der Fall. \hat h ist ähnlich wie die Korrelation ohne Film.

Filmkühleffektivität:

wst-5-15-filmkuhleffektivitat

Je höher die Filmgeschwindigkeit im Vergleich zur Heißgasgeschwindigkeit ist, desto länger wirkt sich der Kühlfilm auf die Wandtemperatur aus. Der Bereich, in dem die Heißgasströmung noch nicht an die Wand kommt, nennen wir Potentialkern.

Der Verlauf der Filmkühleffektivität hängt unter anderem von der Geometrie ab. Für die Korrelation für \eta verwenden wir die Verhältnisse {\rho _c}/{\rho _e} und {u_c}/{u_e}.

Ausblasrate:

m = \frac{{{\rho _c}{v_c}}}{{{\rho _e}{v_e}}}

Bei der Effusion (den austretenden Kaltgasstrahlen) muss das Heißgas die Kaltgasstrahlen “umbiegen”. Impulsverhältnis:

I = \frac{{{\rho _c}v_c^2}}{{{\rho _e}v_e^2}}

Kühlung einer modernen Turbinenschaufel:

wst-5-16-filmkuhlung-turbinenschaufel