2 – Konvektion

 

In einem strömenden Fluid wird Energie nicht nur durch Wärmeleitung, sondern auch durch die makroskopische Bewegung des Fluids transportiert. Man spricht von konvektivem Wärmeübergang und meint damit die Überlagerung von Wärmeleitung und Energietransport durch das strömende Fluid. Von besonderem technischem Interesse ist der Wärmeübergang zwischen einem strömenden Fluid und einer festen Wand, z.B. zwischen einer beheizten Rohrwand und dem im Rohr strömenden kalten Gas.

Man unterscheidet zwischen freier und erzwungener Konvektion. Bei der erzwungenen Konvektion wird das Fluid an der Wand entlang beschleunigt (Ventilator, etc.). Bei der freien Konvektion wirkt ein Kraftfeld wie z.B. die Schwerkraft auf das Fluid. Durch den Temperaturunterschied innerhalb des Fluids entstehen Dichteunterschiede, wodurch das Fluid im Bereich der geringeren Dichte entlang der Wand aufsteigt. Bei dem Kraftfeld kann es sich nicht nur um die Schwerkraft, sondern auch um andere Kräfte wie etwa die Fliehkraft handeln.

2.1 Der Wärmedurchgangskoeffizient

Für die Stärke des konvektiven Wärmeübergangs ist die Fluidschicht in Wandnähe von Bedeutung. Man nennt sie die Grenzschicht. In der Grenzschicht ändert sich die parallel zur Wand gerichtete Komponente der Strömungsgeschwindigkeit vom Wert null an der Wand über eine kurze Entfernung bis fast zum Maximalwert in der Kernströmung. Auch die Temperatur des Fluids ändert sich vor allem in der Grenzschicht von der Wandtemperatur {T_W} zum Wert {T_\infty } in einigem Abstand von der Wand.

Grenzschichten bei freier Konvektion:

wst-2-01-grenzschicht-freie-konvektion

Grenzschichten bei erzwungener Konvektion:

wst-2-02-grenzschicht-erzwungene-konvektion

Als Folge des Temperaturunterschieds geht Wärme von der Wand in das strömende Fluid über. Die an der Wand auftretende Wärmestromdichte \dot {\vec q} hängt in komplizierter Weise vom Temperatur- und Geschwindigkeitsfeld im Fluid ab, deren Berechnung auf erhebliche Schwierigkeiten stößt. Man setzt daher

\dot q = h\left( {{T_W}-{T_\infty }} \right)

mit dem konvektiven Wärmeübergangskoeffizienten h.

Wir betrachten nun den Wärmeübergang zwischen zwei Fluiden, die durch eine Wand getrennt sind. Hier gibt es den konvektiven Wärmeübergang

{\dot Q_1} = {h_1}{A_1}\left( {{T_{F1}}-{T_{W1}}} \right)

vom heißen Fluid auf die Wand, die Wärmeleitung

{\dot Q_W} = \frac{k}{d}A\left( {{T_{W1}}-{T_{W2}}} \right)

durch die Wand der Dicke d mit Wärmeleitfähigkeit k und Querschnittsfläche A und den konvektiven Wärmeübergang

{\dot Q_2} = {h_2}{A_2}\left( {{T_{W2}}-{T_{F2}}} \right)

von der Wand zum kühleren Fluid. Mit diesen drei Gleichungen lassen sich die unbekannten Temperaturen der Wand eliminieren, so dass man den Wärmeübergang allein mit den Fluidtemperaturen {T_{F1}} und {T_{F2}} berechnen kann. Das Ergebnis lässt sich in der Form

\dot Q = R_q^{-1}A\left( {{T_{F1}}-{T_{F2}}} \right)

schreiben, wobei

{R_q} = \frac{1}{{{h_1}{A_1}}}+\frac{d}{{kA}}+\frac{1}{{{h_2}{A_2}}}

für den Wärmewiderstand gilt. Den Kehrwert R_q^{-1} des Wärmewiderstands nennt man Wärmedurchgangskoeffizient.

2.2 Die Nusselt-Zahl

Die Güte der konvektiven Wärmeübertragung lässt sich durch die Nusselt-Zahl angeben. Sie ist eine dimensionslose Kennzahl aus der Ähnlichkeitstheorie, die die Verbesserung der Wärmeübertragung von einer Oberfläche misst, wenn man die tatsächlichen Verhältnisse mit denen vergleicht, wenn nur Wärmeleitung durch eine ruhende Fluidschicht auftreten würde. Damit setzt sie die Intensität eines konvektiven Wärmeübergangs an einer Festkörperoberfläche ins Verhältnis zu einem bei ruhendem Fluid gedachten, wenn reine Wärmeleitung wirkt.

Normalerweise verwendet man die Nusselt-Zahl, um die Wärmeübertragung an strömende Fluide zu beschreiben. Die Nusselt-Zahl kann aber auch als dimensionsloser Gradient der Temperatur an einer Oberfläche aufgefasst werden. Sie wird formal gleich der Biot-Zahl gebildet. Wärmeleitfähigkeit und charakteristische Länge beziehen sich hier nicht auf den festen Körper, sondern auf das Fluid.

\operatorname{Nu} : = \frac{{h \cdot L}}{{{k_{Fluid}}}}

Die Nusselt-Zahl hängt von der Geometrie, der Reynolds-Zahl und der Prandtl-Zahl ab.

Fouriersches Gesetz:

{\dot {\vec q}^ \top }\vec n = -{k_{fl}}{\left. {\frac{{\partial T}}{{\partial {x_i}}} \cdot {n_i}} \right|_W} = -{k_{fl}}{\left. {\frac{{\partial T}}{{\partial n}}} \right|_W} = h\left( {{T_W}-{T_\infty }} \right)

Normierung der Temperatur:

\Theta = \frac{{T-{T_\infty }}}{{{T_W}-{T_\infty }}},\quad {\Theta _W} = 1,\quad {\Theta _\infty } = 0

\Rightarrow \quad T = \Theta \left( {{T_W}-{T_\infty }} \right)+{T_\infty }

Normierung der Ortskoordinate:

{\xi _i} = \frac{{{x_i}}}{L}\quad \Rightarrow \quad {x_i} = {\xi _i} \cdot L

\Rightarrow \quad {{\dot {\vec q}}^ \top }\vec n = {{\dot q}_W} = h\left( {{T_W}-{T_\infty }} \right) = -\frac{{{k_{fl}}}}{L} \cdot {\left. {\frac{{\partial \Theta }}{{\partial n}}} \right|_W}\left( {{T_W}-{T_\infty }} \right)

Die Nusselt-Zahl ist nun die Wandableitung der Temperatur in normierten Koordinaten:

-{\left. {\frac{{\partial \Theta }}{{\partial n}}} \right|_W} = \frac{{h \cdot L}}{{{k_{fl}}}} = \operatorname{Nu}

2.3 Die Biot-Zahl

Die Biot-Zahl bezeichnet das Verhältnis vom äußeren Wärmeübergang, also dem Wärmetransport von der Oberfläche zum umgebenden Medium, zum inneren Wärmeübergang, der Wärmeleitung durch den Körper. Sie wird formal gleich der Nusselt-Zahl gebildet. Anstatt der Wärmeleitfähigkeit des Fluids wird jedoch diejenige des festen Körpers verwendet. Formel:

\operatorname{Bi} = \frac{{h \cdot L}}{{{k_{Fk}}}}

Dabei ist h der Wärmeübergangskoeffizient an das strömende Fluid, L die charakteristische Länge und {k_{Fk}} die Wärmeleitfähigkeit des Festkörpers. Die Biot-Zahl gibt an, wie gut die Wärmeleitung im Festkörper funktioniert.

wst-2-03-biot-zahl-thermischer-kurzschluss

links: “thermischer Kurzschluss” {k_{Fk}} \gg 1\quad \Rightarrow \quad \operatorname{Bi} \ll 1

rechts: \operatorname{Bi} \gg 1

Eine sehr große Biot-Zahl besagt, dass der innere Wärmeleitwiderstand sehr groß ist, so dass eine Verbesserung des äußeren Wärmeübergangs an der Oberfläche keine Verbesserung der Gesamtwärmeleitung bringt. Wichtig ist dieser Zusammenhang zum Beispiel beim industriellen Auftauen und Einfrieren von Lebensmitteln. Die Ähnlichkeitstheorie besagt, dass die Verhältnisse der Wärmeleitwiderstände zweier geometrisch ähnlicher Aufbauten gleich sind, wenn ihre Biot-Zahlen gleich sind, unabhängig davon, welche wirkliche Ausdehnung die Aufbauten haben. Dies gilt sowohl für freie als auch für erzwungene Konvektion.