1 – Wärmeleitung

 

In der Thermodynamik bezeichnet man Energie, welche die Grenze eines Systems überschreitet, dann als Wärme, wenn der Energietransport allein durch einen Temperaturunterschied zwischen dem System und seiner Umgebung bewirkt wird. Nach dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik fließt dabei Wärme stets in Richtung fallender thermodynamischer Temperatur über die Systemgrenze.

Die Thermodynamik macht keine Aussage darüber, in welcher Weise der übertragene Wärmestrom vom treibenden Temperaturgefälle abhängt und wie schnell oder intensiv der irreversible Prozess Wärmeübertragung abläuft. Diese Gesetzmäßigkeiten zu klären ist Aufgabe der Lehre von der Wärmeübertragung. Dabei unterscheidet man drei Arten des Wärmetransports: Wärmeleitung, konvektiven Wärmeübergang und Wärmestrahlung.

1.1 Grundgesetz der Wärmeleitung nach Fourier

Wärmeleitung ist ein Energietransport zwischen benachbarten Molekülen aufgrund eines im Material vorhandenen Temperaturgradienten. In Metallen übertragen auch die freien Elektronen Energie. In strahlungsundurchlässigen Festkörpern wird Energie allein durch Wärmeleitung transportiert, in Gasen und Flüssigkeiten überlagert sich dem Wärmeleitvorgang ein Energietransport durch die strömende Bewegung (Konvektion) und durch Wärmestrahlung.

 warmeverlauf-linear-ebene-wand

Man beschreibt den Energietransport in einem wärmeleitenden Material durch das Vektorfeld der Wärmestromdichte

\dot {\vec q} = \dot {\vec q}\left( {\vec x,t} \right).

Der Vektor der Wärmestromdichte erfasst an einem durch den Vektor \vec x gekennzeichneten Ort Stärke und Richtung des Energiestroms, der auch von der Zeit t abhängen kann. Die Wärmestromdichte \dot {\vec q} ist so definiert, dass für den Wärmestrom d\dot Q durch ein beliebig orientiertes Flächenelement dA gilt:

d\dot Q = \dot {\vec q}{\left( {\vec x,t} \right)^ \top }\vec n\;dA = \left| {\dot {\vec q}} \right|\cos \left( \beta \right)dA

Hierbei ist \vec n der Flächennormalenvektor. Er bildet mit \dot {\vec q} den Winkel \beta.

Der Wärmestrom hat die Dimension einer auf die Zeit bezogenen Energie (Wärmeleistung). Seine SI Einheit ist daher J/s = W. Die Wärmestromdichte hat die Dimension eines auf die Fläche bezogenen Wärmestroms. Ihre Einheit ist J/\left( {s \cdot {m^2}} \right) = W/{m^2}.

Alle Punkte des Körpers, die zu einer bestimmten Zeit dieselbe Temperatur T besitzen, kann man sich durch eine Fläche (Isotherme) verbunden denken. Die stärkste Temperaturänderung erfolgt senkrecht zu den Isothermen und ist durch den Temperaturgradienten

\nabla T = \operatorname{grad} T = \frac{{\partial T}}{{\partial x}}{\vec e_x}+\frac{{\partial T}}{{\partial y}}{\vec e_y}+\frac{{\partial T}}{{\partial z}}{\vec e_z}

gegeben. Sieht man nun Temperaturgradienten als Ursache der Wärmeströme, so liegt es nahe, eine einfache Proportionalität zwischen Ursache und Wirkung anzunehmen und für die Wärmestromdichte

\dot {\vec q} = -k \cdot \nabla T

zu setzen. Dies ist das 1822 von Fourier angegebene Grundgesetz der Wärmeleitung. Das in der Gleichung auftretende Minuszeichen berücksichtigt den 2. Hauptsatz der Thermodynamik: Wärme strömt in Richtung des Temperaturgefälles. Die Proportionalitätskonstante k ist eine Materialeigenschaft, nämlich die Wärmeleitfähigkeit. Sie hängt von der Temperatur und dem Druck ab. Wenn das Material isotrop ist, ist die Wärmeleitfähigkeit ein Skalar, sonst ein Tensor 2. Stufe.

Beispiele für Wärmeleitfähigkeiten:

\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{Stoff}}}&\vline & k \\ \hline {{\text{Silber}}}&\vline & {427} \\ {{\text{Kupfer}}}&\vline & {399} \\ {{\text{Aluminium}}}&\vline & {209} \\ {{\text{Eisen}}}&\vline & {81} \\ {{\text{Stahl}}}&\vline & {13 \ldots 48} \\ {{\text{Mauerwerk}}}&\vline & {0,5 \ldots 1,3} \\ {{\text{Schaumstoff}}}&\vline & {0,02 \ldots 0,09} \end{array}

Für den Wärmestrom d\dot Q durch ein beliebig orientiertes Flächenelement dA erhält man aus d\dot Q = \dot {\vec q}{\left( {\vec x,t} \right)^ \top }\vec n\;dA und \dot {\vec q} = -k\nabla T:

d\dot Q = -{\left( {k\nabla T} \right)^ \top }\vec n\;dA = -k\frac{{\partial T}}{{\partial n}}dA

1.2 Die Wärmeleitungsgleichung

Grundlage der Lösung komplizierter Wärmeleitprobleme ist die Differentialgleichung für das Temperaturfeld in einem ruhenden Medium. Sie wird Wärmeleitungsgleichung genannt.

Ein Wärmeleitproblem zu lösen bedeutet, das Temperaturfeld

T = T\left( {\vec x,t} \right)

in seiner räumlichen und zeitlichen Abhängigkeit zu bestimmen. Ist es bekannt, so kann man das zugehörige Feld der Wärmestromdichte \dot {\vec q} mit dem Gesetz von Fourier berechnen und die durch Leitung transportierten Wärmeströme an beliebigen Stellen des Körpers bestimmen.

Stationäre eindimensionale Wärmeleitung

Wir betrachten hier zeitlich unveränderliche Temperaturfelder, die nur von einer Ortskoordinate xabhängen. Dies ist z.B. in einer ebenen Wand der Fall. Nach dem Gesetz von Fourier erhält man für den Wärmestrom:

\dot Q\left( x \right) = \dot q\left( x \right)A\left( x \right) = -k\left( x \right)\frac{{dT}}{{dx}}A\left( x \right)

In einer ebenen Wand hängt die Fläche A nicht von x ab. Ist die Wärmeleitfähigkeit konstant, so wird auch der Temperaturgradient dT/dx konstant. Der stationäre Temperaturverlauf in einer ebenen Wand mit konstantem k ist also linear.

1.2.1 Allgemeine Wärmeleitung

Wir erhalten das gesuchte Temperaturfeld als Lösung der Wärmeleitungsgleichung. Für die Herleitung dieser Gleichung wenden wir den ersten Hauptsatz der Thermodynamik auf ein geschlossenes System an, nämlich auf einen zusammenhängenden Bereich beliebiger Größe, den wir uns aus dem wärmeleitenden Körper herausgeschnitten denken.

wst-1-02-warmeleitung-differentialgleichung-herleitung-strom

Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik liefert die Leistungsbilanz:

\frac{{dU}}{{dt}} = \sum\limits_i {{{\dot Q}_i}} +\dot W+{q^*}dV

Sie führt die zeitliche Änderung der inneren Energie U des Volumenelements dV auf drei Ursachen zurück: Die Wärmeströme {\dot Q_i}, den Arbeitsstrom (technische Arbeit) \dot W über die Systemgrenze und im Volumen vorhandene Quellen {q^*}dV mit dem volumenspezifischen Quellterm {q^*}. Den Arbeitsstrom wollen wir hier nicht weiter betrachten: \dot W = 0. Quellen können von unterschiedlicher Art sein (z.B. elektrisch, chemisch, nuklear oder Strahlung) und sind von den Ortskoordinaten und der Zeit abhängig:

{q^*} = {q^*}\left( {\vec x,t} \right)

Da die Wärmeleitung in einem Festkörper betrachtet wird, vernachlässigen wir die geringen Dichteänderungen aufgrund von Temperatur- und Druckänderungen. Wir verwenden das Stoffmodell des inkompressiblen Körpers mit \rho = \operatorname{const}. Es gilt:

\rho = \frac{m}{V}\quad \Rightarrow \quad m = \rho V

u = \frac{U}{m}\quad \Rightarrow \quad U = um = u\rho V

Unter dieser Annahme kann

\frac{{dU}}{{dt}} = \frac{d}{{dt}}\int\limits_V {\rho u\;dV} = \rho \int\limits_V {\frac{{du}}{{dt}}dV}

gesetzt werden, wobei sich das Integral über das Volumenelement erstreckt. Die hiermit eingeführte massenspezifische innere Energie u des inkompressiblen Körpers hängt von seiner Temperatur ab.

Mit {c_V}\left( T \right) als spezifischer Wärmekapazität gilt:

du = {c_V}\left( T \right)dT

Einsetzen:

\frac{{dU}}{{dt}} = \rho \int\limits_V {{c_V}\left( T \right)\frac{{\partial T}}{{\partial t}}dV}

Um den Wärmestrom \dot Q = \sum\limits_i {{{\dot Q}_i}} zu berechnen, der über die Systemgrenze fließt, betrachten wir zunächst ein Element dA der Oberfläche, dessen Normale \vec n nach außen gerichtet ist. Der durch dA in den Bereich hineinfließende Wärmestrom ist:

d\dot Q = -{\dot {\vec q}^ \top }\vec n\;dA

Durch Integration aller Wärmeströme erhalten wir mit dem Gaußschen Integralsatz:

\dot Q = -\int\limits_A {\dot {\vec q} \cdot \vec n\;dA} = -\int\limits_V {\nabla \cdot \dot {\vec q}\;dV}

Einsetzen in die Leistungsbilanz:

\frac{{dU}}{{dt}} = \sum\limits_i {{{\dot Q}_i}} +\underbrace {\dot W}_{ = 0}+{q^*}dV

\Rightarrow \quad \rho \int\limits_V {{c_V}\left( T \right)\frac{{\partial T}}{{\partial t}}dV} = -\int\limits_V {\nabla \cdot \dot {\vec q}\;dV} +{q^*}dV

\Rightarrow \quad \int\limits_V {\left( {\rho {c_V}\left( T \right)\frac{{\partial T}}{{\partial t}}+\nabla \cdot \dot {\vec q}-{q^*}} \right)dV} = 0

Dieses Volumenintegral verschwindet nur dann für beliebig gewählte Bilanzbereiche, wenn der Integrand selbst gleich null ist. Damit gilt:

\rho {c_V}\left( T \right)\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = \nabla \cdot \dot {\vec q}+{q^*}

Im letzten Schritt ziehen wir das Gesetz von Fourier heran und verknüpfen die Wärmestromdichte \dot {\vec q} mit dem Temperaturgradienten. Damit ergibt sich die gesuchte Differentialgleichung für das Temperaturfeld:

\dot {\vec q} = -k\left( T \right)\nabla T

\Rightarrow \quad \rho {c_V}\left( T \right)\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = \nabla \cdot \left( {k\left( T \right)\nabla T} \right)+{q^*}

Eine andere Schreibweise für die Wärmeleitgleichung ist:

\rho {c_V}{\partial _t}T = {\partial _i}\left( {k{\partial _i}T} \right)+{q^*},\quad \quad T = T\left( {{x_i},t} \right)

Es handelt sich um eine DGL 1. Ordnung in der Zeit und 2. Ordnung im Raum. Wenn \rho ,\;{c_V},\;k = \operatorname{const} gilt, haben wir eine lineare Gleichung.

1.2.2 Anfangs- und Randbedingungen

Anfangsbedingungen legen die Temperaturverteilung im Volumen zum Zeitpunkt t = 0 fest:

T\left( {{x_i},t = 0} \right) = {T_0}\left( {{x_i}} \right)

Randbedingungen legen entweder die (unter Umständen zeitlich veränderliche) Temperatur an den Grenzen des Volumens fest, oder sie treffen Aussagen über deren zeitliche Ableitung.

Randbedingung 1. Art (Dirichlet-RB): {\left. {T\left( {{x_i},t} \right)} \right|_{\partial \Omega }} = {\left. {{T_{\partial \Omega }}\left( {{x_i},t} \right)} \right|_{\partial \Omega }}

dirichlet-randbedingung

Randbedingung 2. Art (Neumann-RB): {\left. {\frac{{\partial T}}{{\partial n}}} \right|_{\partial \Omega }} = {\left. {d{T_{\partial \Omega }}\left( {{x_i},t} \right)} \right|_{\partial \Omega }}

neumann-randbedingung

Randbedingung 2. Art, adiabat (homogene Neumann-RB): {\left. {\frac{{\partial T}}{{\partial n}}} \right|_{\partial \Theta }} = 0

neumann-randbedingung-adiabat

Randbedingung 3. Art (Robin-RB): {\left. {-{k_{Fk}}\frac{{\partial T}}{{\partial n}}} \right|_{\partial \Omega }} = h\left( {{T_{\partial \Omega }}-{T_\infty }} \right)

gemischte-randbedingung

1.2.3 Superpositionsprinzip bei linearer instationärer Wärmeleitgleichung

Unter instationärer Wärmeleitung wird die Erwärmung und Kühlung von festen Körpern verstanden, die Temperatur ist also abhängig von der Zeit. Unterschieden wird zwischen thermisch dünnen und thermisch dicken Körpern. Bei ersteren können die örtlichen Temperaturdifferenzen im Körper vernachlässigt werden, so dass nur die zeitliche Temperaturänderung betrachtet zu werden braucht. Bei thermisch dicken Körpern müssen dagegen zusätzlich auch die Temperaturprofile im Körper berücksichtigt werden. Die benötigte lineare Differentialgleichung lautet wie oben hergeleitet:

\rho {c_V}{\partial _t}T = {\partial _i}\left( {k{\partial _i}T} \right)+{q^*},\quad \quad \rho ,\;{c_V},\;k = \operatorname{const}

mit der Temperaturleitfähigkeit \alpha = k/\left( {\rho {c_V}} \right) erhalten wir daraus:

\frac{1}{\alpha }{\partial _t}T = {\partial _i}{\partial _i}T+\frac{{{q^*}}}{k}\qquad \left( 1 \right)

Es gilt für lineare Gleichungen das Superpositionsprinzip. Das bedeutet hier: Falls {T_1}\left( {{x_i},t} \right) Lösung von (1) mit {\left. {A.B.} \right|_1}+{\left. {R.B.} \right|_1} und {T_2}\left( {{x_i},t} \right) Lösung von (1) mit {\left. {A.B.} \right|_2}+{\left. {R.B.} \right|_2} ist, dann ist

{T_3}\left( {{x_i},t} \right) = {T_1}\left( {{x_i},t} \right)+{T_2}\left( {{x_i},t} \right)

Lösung von (1) mit den kombinierten Bedingungen

{\left. {A.B.} \right|_3} = {\left. {A.B.} \right|_1}+{\left. {A.B.} \right|_2},\quad \quad {\left. {R.B.} \right|_3} = {\left. {R.B.} \right|_1}+{\left. {R.B.} \right|_2}.

Um dies nachzuweisen, setzen wir {T_3} in (1) ein:

\frac{1}{\alpha }{\partial _t}{T_3}-{\partial _i}{\partial _i}{T_3}-\frac{{{q^*}}}{k} = \frac{1}{\alpha }\left( {{\partial _t}{T_1}+{\partial _t}{T_2}} \right)-{\partial _i}{\partial _i}\left( {{T_1}+{T_2}} \right)-2\frac{{{q^*}}}{k}

= \underbrace {\frac{1}{\alpha }{\partial _t}{T_1}-{\partial _i}{\partial _i}{T_1}-\frac{{{q^*}}}{k}}_{ = 0}+\underbrace {\frac{1}{\alpha }{\partial _t}{T_2}-{\partial _i}{\partial _i}{T_2}-\frac{{{q^*}}}{k}}_{ = 0} = 0

Beispiel-Problem (eindimensional): Eingespannter Draht mit Rand- und Anfangstemperatur

wst-1-03-draht-temperaturverteilung-anfangsbedingung-rand

Anfangs- und Randbedingungen:

T\left( {x,t = 0} \right)\mathop = \limits^! {T_0}\left( x \right)\qquad \left( {A.B.} \right)

T\left( {x = -L,t} \right) = {T_L}\left( t \right),\quad T\left( {x = L,t} \right) = {T_R}\left( t \right)\qquad \left( {R.B.} \right)

{q^*} = \operatorname{const} \ne 0

Zur Lösung des Wärmeleitproblems nutzen wir das Superpositionsprinzip und teilen die Lösungsfunktion in vier Teile auf:

T\left( {x,t} \right) = \underbrace {{T_1}\left( {x,t} \right)+{T_2}\left( {x,t} \right)+{T_3}\left( {x,t} \right)}_{{T_h}\left( {x,t} \right),\quad homogene\;WL}+\underbrace {{T_i}\left( {x,t} \right)}_{inhomogene\;WL}

Die Summe dieser vier Funktionen muss die oben angegebenen Anfangs- und Randbedingungen erfüllen. Wir erreichen dies, indem wir die Bedingungen wie folgt auf die einzelnen Funktionen aufteilen.

Anfangsbedingung:

{T_1}\left( {x,t = 0} \right) = {T_0}\left( x \right)

{T_{2/3/i}}\left( {x,t = 0} \right) \equiv 0

\Rightarrow \quad T\left( {x,t = 0} \right) = {T_1}\left( {x,t = 0} \right)+{T_{2/3/i}}\left( {x,t = 0} \right) = {T_0}\left( x \right)

Randbedingungen:

{T_1}\left( {x = -L,t} \right) = {T_1}\left( {x = L,t} \right) = 0

{T_2}\left( {x = -L,t} \right) = {T_L}\left( t \right);\quad {T_2}\left( {x = L,t} \right) = 0

{T_3}\left( {x = -L,t} \right) = 0;\quad {T_3}\left( {x = L,t} \right) = {T_R}\left( t \right)

{T_i}\left( {x = -L,t} \right) = {T_i}\left( {x = L,t} \right) = 0

\Rightarrow \quad T\left( {x = -L,t} \right) = {T_1}\left( {x = -L,t} \right)+{T_2}\left( {x = -L,t} \right)

+{T_3}\left( {x = -L,t} \right)+{T_i}\left( {x = -L,t} \right) = {T_L}\left( t \right)

\Rightarrow \quad T\left( {x = L,t} \right) = {T_1}\left( {x = L,t} \right)+{T_2}\left( {x = L,t} \right)

+{T_3}\left( {x = L,t} \right)+{T_i}\left( {x = L,t} \right) = {T_R}\left( t \right)

Die Funktionen werden nun so bestimmt, dass {T_h}\left( {x,t} \right) = {T_1}+{T_2}+{T_3} die homogene Wärmeleitgleichung ({q^*} = 0) mit den gegebenen Anfangs- und Randbedingungen erfüllt, und {T_i}\left( {x,t} \right) die inhomogene Wärmeleitgleichung ({q^*} \ne 0) mit homogenen Anfangs- und Randbedingungen (also {T_i}\left( {x,t = 0} \right) = 0 und {T_i}\left( {x = -L,t} \right) = {T_i}\left( {x = L,t} \right) = 0) erfüllt.

1.2.4 Normierung der Wärmeleitungsgleichung

Um die instationäre Wärmeleitgleichung zu lösen, werden wir sie zuerst normieren. Das hat den Vorteil, dass die Gleichung dann frei von Material- und geometrischen Parametern ist und als inhomogenen Teil nur den Summanden 1 hat.

Wir dividieren zuerst die instationäre Wärmeleitgleichung für 1D-Probleme durch den Quellterm, um für den inhomogenen Teil die 1 zu realisieren:

\rho {c_V}\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = k\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {x^2}}}+{q^*}\quad \Rightarrow \quad \frac{{\rho {c_V}}}{{{q^*}}}\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = \frac{k}{{{q^*}}}\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {x^2}}}+1

Zur Normierung des Ortes führen wir die Variable \xi ein:

\xi = \frac{x}{{2L}}+\frac{1}{2}\quad \Rightarrow \quad x = 2L\xi -L\quad \Rightarrow \quad \partial x = \partial \xi \cdot 2L

Diese Variable ist so gewählt, dass sie am linken Ende 0 und am rechten Ende 1 ist:

wst-1-04-normierung-warmeleitung-gleichung-ort

Einsetzen in die DGL:

\frac{{\rho {c_V}}}{{{q^*}}}\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = \frac{k}{{{q^*}4{L^2}}}\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {\xi ^2}}}+1

Zur Normierung der Temperatur wählen wir eine Variable \Theta so, dass der Vorfaktor der zweiten Ortsableitung in der DGL wegfällt:

\frac{{\rho {c_V}}}{{{q^*}}}\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = \frac{k}{{{q^*}4{L^2}}}\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {\xi ^2}}}+1

\Rightarrow \quad \frac{k}{{{q^*}4{L^2}}}\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {\xi ^2}}}\mathop = \limits^! \frac{{{\partial ^2}\Theta }}{{\partial {\xi ^2}}}\quad \Rightarrow \quad {\partial ^2}\Theta = \frac{k}{{{q^*}4{L^2}}}{\partial ^2}T

Das erreichen wir z.B. mit

\Theta = \frac{{T-{T_0}}}{{\frac{{{q^*}4{L^2}}}{k}}}\quad \Rightarrow \quad T = \Theta \frac{{{q^*}4{L^2}}}{k}+{T_0}\quad \Rightarrow \quad \partial T = \partial \Theta \frac{{{q^*}4{L^2}}}{k}

\Rightarrow \quad \frac{{\rho {c_V}}}{{{q^*}}}\frac{{\partial \Theta \frac{{{q^*}4{L^2}}}{k}}}{{\partial t}} = \frac{k}{{{q^*}4{L^2}}}\frac{{{\partial ^2}\Theta \frac{{{q^*}4{L^2}}}{k}}}{{\partial {\xi ^2}}}+1

\Rightarrow \quad \frac{{\rho {c_V}4{L^2}}}{k}\frac{{\partial \Theta }}{{\partial t}} = \frac{{{\partial ^2}\Theta }}{{\partial {\xi ^2}}}+1

Zur Normierung der Zeit führen wir zuletzt noch \tau so ein, dass sich der Vorfaktor vor der Zeitableitung vereinfacht:

\frac{{\rho {c_V}4{L^2}}}{k}\frac{{\partial \Theta }}{{\partial t}}\mathop = \limits^! \frac{{\partial \Theta }}{{\partial \tau }}

\Rightarrow \quad \partial \tau = \partial t\frac{k}{{\rho {c_V}4{L^2}}}

\Rightarrow \quad \tau = \frac{{kt}}{{\rho {c_V}4{L^2}}}

Somit haben wir die gewünschte normierte Wärmeleitgleichung:

\frac{{\partial \Theta }}{{\partial \tau }} = \frac{{{\partial ^2}\Theta }}{{\partial {\xi ^2}}}+1

Als weiteres Beispiel normieren wir die Gleichung so, dass die Koordinate \xi im Bereich \left[ {-1,1} \right] liegt:

\xi = \frac{x}{L}\quad \Rightarrow \quad x = L\xi \quad \Rightarrow \quad \partial x = \partial \xi \cdot L

\Rightarrow \quad \frac{{\rho {c_V}}}{{{q^*}}}\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = \frac{k}{{{q^*}{L^2}}}\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {\xi ^2}}}+1

\Theta = \frac{{T-{T_0}}}{{\frac{{{q^*}{L^2}}}{k}}}\quad \Rightarrow \quad T = \Theta \frac{{{q^*}{L^2}}}{k}+{T_0}\quad \Rightarrow \quad \partial T = \partial \Theta \frac{{{q^*}{L^2}}}{k}

\Rightarrow \quad \frac{{\rho {c_V}{L^2}}}{k}\frac{{\partial \Theta }}{{\partial t}} = \frac{{{\partial ^2}\Theta }}{{\partial {\xi ^2}}}+1

\tau = \frac{k}{{\rho {c_V}{L^2}}}t

\Rightarrow \quad \frac{{\partial \Theta }}{{\partial \tau }} = \frac{{{\partial ^2}\Theta }}{{\partial {\xi ^2}}}+1

Mit dieser Version greifen wir nun das Beispiel aus 1.2.3 wieder auf. Bevor wir die DGL lösen, müssen wir die Anfangs- und Randbedingungen an die normierte Gleichung anpassen. Wir wollen hier ein instationäres Problem mit homogenen AB und RB betrachten.

Anfangsbedingung:

T\left( {x,t = 0} \right) = 0\quad \Rightarrow \quad \Theta \left( {\xi ,\tau = 0} \right) = 0

Randbedingungen:

T\left( {x = -L,t} \right) = 0 = T\left( {x = L,t} \right)

\Rightarrow \quad \Theta \left( {\xi = -1,\tau } \right) = 0 = \Theta \left( {\xi = 1,\tau } \right)

1.2.5 Lösung der instationären Wärmeleitgleichung

Nun geht es an die Lösung des Beispielproblems. Nach dem Superpositionsprinzip überlagern wir eine stationäre inhomogene und eine instationäre homogene Lösung zur Gesamtlösung:

\Theta \left( {\xi ,\tau } \right) = \underbrace {{\Theta _s}\left( \xi \right)}_{\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{inhomogen}}{\text{,}}} \\ {{\text{stationaer}}} \end{array}}+\underbrace {{\Theta _i}\left( {\xi ,\tau } \right)}_{\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{homogen}}{\text{,}}} \\ {{\text{instationaer}}} \end{array}}\quad {\text{mit}}\quad A.B./R.B. = 0

Wir fangen mit der Lösung der stationären Gleichung an. Hier fällt die Zeitableitung weg, da die Temperatur über die Zeit konstant bleibt. Wir erhalten folgendes Problem:

\frac{{{\partial ^2}{\Theta _s}}}{{\partial {\xi ^2}}} = -1,\quad \quad {\Theta _s}\left( {\xi = -1} \right) = {\Theta _s}\left( {\xi = 1} \right) = 0

Diese gewöhnliche DGL können wir durch Integration lösen:

\Rightarrow \quad \frac{{\partial {\Theta _s}}}{{\partial \xi }} = -\xi +{\Theta _0}

\Rightarrow \quad {\Theta _s}\left( \xi \right) = -\frac{{{\xi ^2}}}{2}+{\Theta _0}\xi +{\Theta _1}

Die beiden Konstanten berechnen wir mit den Randbedingungen:

{\Theta _s}\left( {\xi = -1} \right) = 0\quad \Rightarrow \quad 0 = -\frac{1}{2}-{\Theta _0}+{\Theta _1}\quad \quad \quad \left( a \right)

{\Theta _s}\left( {\xi = 1} \right) = 0\quad \Rightarrow \quad 0 = -\frac{1}{2}+{\Theta _0}+{\Theta _1}\quad \quad \quad \left( b \right)

\mathop \Rightarrow \limits^{\left( a \right)+\left( b \right)} \quad 0 = -1+2{\Theta _1}\quad \Rightarrow \quad {\Theta _1} = \frac{1}{2}

\mathop \Rightarrow \limits^{\left( a \right)-\left( b \right)} \quad 0 = -2{\Theta _0}\quad \Rightarrow \quad {\Theta _0} = 0

Die stationäre Lösung sieht also wie folgt aus:

\Rightarrow \quad {\Theta _s}\left( \xi \right) = -\frac{{{\xi ^2}}}{2}+\frac{1}{2}

wst-1-05-stationare-losung-warmeleitungsgleichung

Wir kommen nun zur Lösung der instationären Gleichung. Hier hängt die Lösung sowohl von der Ortskoordinate als auch von der Zeit ab. Es stellt sich uns folgendes Problem:

\frac{{\partial {\Theta _i}}}{{\partial \tau }}-\frac{{{\partial ^2}{\Theta _i}}}{{\partial {\xi ^2}}} = 0

Die Anfangsbedingung für diese Teillösung ergibt sich aus den Anfangsbedingungen des Gesamtproblems und der Lösung der stationären Gleichung:

\Theta \left( {\xi ,\tau = 0} \right) = {\Theta _s}\left( \xi \right)+{\Theta _i}\left( {\xi ,\tau = 0} \right)\mathop = \limits^! 0

\Rightarrow \quad {\Theta _i}\left( {\xi ,\tau = 0} \right) = -{\Theta _s}\left( \xi \right)

Randbedingungen:

{\Theta _i}\left( {\xi = -1,\tau } \right) = {\Theta _i}\left( {\xi = 1,\tau } \right) = 0

Wie schon aus der technischen Mechanik bekannt benutzen wir einen Produktansatz:

{\Theta _i}\left( {\xi ,\tau } \right) = f\left( \xi \right) \cdot g\left( \tau \right)

Einsetzen in die DGL:

\frac{{\partial \left( {fg} \right)}}{{\partial \tau }}-\frac{{{\partial ^2}\left( {fg} \right)}}{{\partial {\xi ^2}}} = 0

Da die beiden Teilfunktionen jeweils nur von einer Variable abhängen, bleiben sie bei der Ableitung des Produkts nach der anderen Variablen als konstanter Faktor erhalten.

f\left( \xi \right)\dot g\left( \tau \right)-{f^{\prime \prime }}\left( \xi \right)g\left( \tau \right) = 0\quad \Rightarrow \quad \frac{{\dot g\left( \tau \right)}}{{g\left( \tau \right)}} = \frac{{{f^{\prime \prime }}\left( \xi \right)}}{{f\left( \xi \right)}}

Wenn die linke und rechte Seite für jede Zeit und jeden Ort gleich sein sollen, folgt daraus, dass beide konstant sein müssen. Wir wählen als Konstante aus Gründen, die später klar werden, -{\lambda ^2}:

\frac{{\dot g\left( \tau \right)}}{{g\left( \tau \right)}} = \frac{{{f^{\prime \prime }}\left( \xi \right)}}{{f\left( \xi \right)}} = -{\lambda ^2} = \operatorname{const}

Hieraus ergeben sich zwei gewöhnliche Differentialgleichungen, die wir einzeln lösen können. Exponentialansatz für die erste DGL:

\dot g\left( \tau \right)+{\lambda ^2}g\left( \tau \right) = 0

g = {A_\lambda }\exp \left\{ {\chi \tau } \right\},\quad \dot g = {A_\lambda }\chi \exp \left\{ {\chi \tau } \right\}

\Rightarrow \quad \chi = -{\lambda ^2}

\Rightarrow \quad g\left( \tau \right) = {A_\lambda }\exp \left\{ {-{\lambda ^2}\tau } \right\}

Das \lambda ist zwar konstant, kann aber für verschiedene Lösungen durchaus unterschiedliche Werte annehmen (diese bestimmen wir später noch). Die Konstante {{\rm A}_\lambda } muss jeweils an das \lambda angepasst werden.

Ansatz für die zweite DGL:

{f^{\prime \prime }}\left( \xi \right) = -{\lambda ^2}f\left( \xi \right)

\Rightarrow \quad f\left( \xi \right) = {S_\lambda }\sin \left( {\lambda \xi } \right)+{C_\lambda }\cos \left( {\lambda \xi } \right)

Für die Gesamtlösung müssen wir über alle möglichen Lösungen, also die Lösungen mit unterschiedlichen Werten für \lambda, summieren:

{\Theta _i}\left( {\xi ,\tau } \right) = f\left( \tau \right)g\left( \xi \right)

= \sum\limits_\lambda {\left( {{S_\lambda }\sin \left( {\lambda \xi } \right)+{C_\lambda }\cos \left( {\lambda \xi } \right)} \right)} \cdot {A_\lambda }\exp \left\{ {-{\lambda ^2}\tau } \right\}

Einarbeitung der Anfangs- und Randbedingungen

Wir müssen nun noch die drei Konstanten bestimmen. Zuerst reduzieren wir dazu die Anzahl der Konstanten auf zwei, indem wir das {A_\lambda } in die Klammer hinein multiplizieren:

{s_\lambda } = {S_\lambda }{A_\lambda },\quad {c_\lambda } = {C_\lambda }{A_\lambda }

\Rightarrow \quad {\Theta _i}\left( {\xi ,\tau } \right) = \sum\limits_\lambda {\left( {{s_\lambda }\sin \left( {\lambda \xi } \right)+{c_\lambda }\cos \left( {\lambda \xi } \right)} \right)} \cdot \exp \left\{ {-{\lambda ^2}\tau } \right\}

Einsetzen der Randbedingungen:

{\Theta _i}\left( {\xi = 1,\tau } \right) = \sum\limits_\lambda {\left( {{s_\lambda }\sin \left( \lambda \right)+{c_\lambda }\cos \left( \lambda \right)} \right)} \cdot \underbrace {\exp \left\{ {-{\lambda ^2}\tau } \right\}}_{ \ne 0}\mathop = \limits^! 0

\Rightarrow \quad {s_\lambda }\sin \left( \lambda \right)+{c_\lambda }\cos \left( \lambda \right) = 0\quad \quad \quad \left( a \right)

{\Theta _i}\left( {\xi = -1,\tau } \right) = \sum\limits_\lambda {\left( {{s_\lambda }\sin \left( {-\lambda } \right)+{c_\lambda }\cos \left( {-\lambda } \right)} \right)} \cdot \underbrace {\exp \left\{ {-{\lambda ^2}\tau } \right\}}_{ \ne 0}\mathop = \limits^! 0

\Rightarrow \quad {s_\lambda }\sin \left( {-\lambda } \right)+{c_\lambda }\cos \left( {-\lambda } \right) = 0

\Rightarrow \quad -{s_\lambda }\sin \left( \lambda \right)+{c_\lambda }\cos \left( \lambda \right) = 0\quad \quad \quad \left( b \right)

\mathop \Rightarrow \limits^{\left( a \right)+\left( b \right)} \quad 2{c_\lambda }\cos \left( \lambda \right) = 0\quad \Rightarrow \quad \underbrace {{c_\lambda } = 0}_{{\text{trivial}}}\quad \vee \quad \lambda = {\lambda _n} = \frac{{2n+1}}{2}\pi

\mathop \Rightarrow \limits^{\left( a \right)-\left( b \right)} \quad 2{s_\lambda }\sin \left( \lambda \right) = 2{s_\lambda }\sin \left( {\frac{{2n+1}}{2}\pi } \right) = 2{s_\lambda }{\left( {-1} \right)^n} = 0\quad \Rightarrow \quad {s_\lambda } = 0

Anfangsbedingung:

{\Theta _i}\left( {\xi ,\tau = 0} \right) = -{\Theta _s}\left( \xi \right) = -\frac{1}{2}\left( {1-{\xi ^2}} \right)

\Rightarrow \quad \sum\limits_{{\lambda _n}} {{c_{{\lambda _n}}}\cos \left( {{\lambda _n}\xi } \right)} = -\frac{1}{2}\left( {1-{\xi ^2}} \right)

Wir multiplizieren nun beide Seiten mit \cos \left( {{\lambda _n}\xi } \right) und integrieren über das Gebiet:

\Rightarrow \quad \sum\limits_{{\lambda _m}} {{c_{{\lambda _m}}}\cos \left( {{\lambda _m}\xi } \right)} \cos \left( {{\lambda _n}\xi } \right) = -\frac{1}{2}\left( {1-{\xi ^2}} \right)\cos \left( {{\lambda _n}\xi } \right)

\Rightarrow \quad \int\limits_{-1}^1 {\sum\limits_{{\lambda _m}} {{c_{{\lambda _m}}}\cos \left( {{\lambda _m}\xi } \right)} \cos \left( {{\lambda _n}\xi } \right)d\xi } = -\int\limits_{-1}^1 {\frac{1}{2}\left( {1-{\xi ^2}} \right)\cos \left( {{\lambda _n}\xi } \right)d\xi }

\Rightarrow \quad \sum\limits_{{\lambda _m}} {{c_{{\lambda _m}}}\int\limits_{-1}^1 {\cos \left( {{\lambda _m}\xi } \right)\cos \left( {{\lambda _n}\xi } \right)d\xi } } = -\int\limits_{-1}^1 {\frac{1}{2}\left( {1-{\xi ^2}} \right)\cos \left( {{\lambda _n}\xi } \right)d\xi }

Wegen

\int\limits_{-1}^{+1} {\cos \left( {{\lambda _n}\xi } \right)\cos \left( {{\lambda _m}\xi } \right)d\xi } = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\quad :\quad n \ne m} \\ {1\quad :\quad n = m} \end{array}} \right.

erhalten wir

{c_{{\lambda _n}}} = -\frac{1}{2}\int\limits_{-1}^1 {\left( {1-{\xi ^2}} \right)\cos \left( {\frac{{2n+1}}{2}\pi \xi } \right)d\xi }

= -\frac{{16\left( {\pi \left( {2n+1} \right)\sin \left( {\pi n} \right)+2\cos \left( {\pi n} \right)} \right)}}{{2{{\left( {2\pi n+\pi } \right)}^3}}} = -\frac{{16\cos \left( {\pi n} \right)}}{{{{\left( {2\pi n+\pi } \right)}^3}}} = \frac{{16 \cdot {{\left( {-1} \right)}^{n+1}}}}{{{{\left( {2\pi n+\pi } \right)}^3}}} \sim \frac{1}{{{n^3}}}

Wichtig ist, zu sehen, dass die Koeffizienten mit steigendem n sehr schnell abfallen. Für jedes n erhalten wir eine eigene Lösung, eine sogenannte Mode. Als Beispiel die 0. Mode (n = 0):

{\Theta _0}\left( {\xi ,\tau } \right) = -\frac{{16}}{{{\pi ^3}}}\cos \left( {\frac{{\pi \xi }}{2}} \right)\exp \left\{ {-\frac{{{\pi ^2}}}{4}\tau } \right\}

Hier sind wir davon ausgegangen, dass die Randtemperatur über die Zeit konstant bleibt. Es gibt auch Probleme, bei denen ein Randtemperaturverlauf gegeben ist. In solchen Fällen kann man die Wärmeleitgleichung theoretisch über die Laplace-Transformation lösen.

Die analytische Rücktransformation ist oft nicht möglich, so dass auf numerischen Verfahren zurückgegriffen werden muss. Wenn man aber sowieso numerisch löst, sollte man lieber gleich die Finite Elemente Methode benutzen.

1.2.6 Unterschiedliche Randtemperaturen

In vielen Anwendungen sind die Randtemperaturen nicht überall gleich. Ist zum Beispiel die Temperatur {\Theta _L} am linken Rand kleiner als die Temperatur {\Theta _R} am rechten Rand, so erfolgt ein Wärmestrom vom rechten zum linken Rand (also entlang x).

In solch einem Fall überlagern wir die oben hergeleitete Lösung mit einer linearen stationären Funktion {\Theta _W}\left( \xi \right):

{\Theta _W}\left( \xi \right) = {\Theta _L}+\frac{{1+\xi }}{2}\left( {{\Theta _R}-{\Theta _L}} \right)

{\Theta _W}\left( \xi \right) erfüllt die homogene Wärmeleitungsgleichung, denn es gilt:

\underbrace {\frac{{\partial {\Theta _W}}}{{\partial \tau }}}_{ = 0}-\underbrace {\frac{{{\partial ^2}{\Theta _W}}}{{\partial {\xi ^2}}}}_{ = 0} = 0

Randbedingungen:

{\Theta _W}\left( {-1} \right) = {\Theta _L},\quad {\Theta _W}\left( 1 \right) = {\Theta _R}

Wir müssen nun zwei verschiedene Fälle unterscheiden.

Fall 1: Zum Zeitpunkt 0 haben die Ränder schon die geforderten Temperaturen

In diesem Fall gilt:

\Theta \left( {\xi = -1,\tau = 0} \right) = {\Theta _L},\quad \Theta \left( {\xi = 1,\tau = 0} \right) = {\Theta _R},

Wir können die Lösungen überlagern zu:

\Theta \left( {\xi ,\tau } \right) = {\Theta _s}\left( \xi \right)+{\Theta _i}\left( {\xi ,\tau } \right)+{\Theta _W}\left( \xi \right)

{\Theta _i}\left( {\xi ,\tau } \right) = {\Theta _0}\left( \xi \right)-{\Theta _s}\left( \xi \right)

Fall 2: Zum Zeitpunkt 0 sind alle Temperaturen 0

\Theta \left( {\xi ,\tau = 0} \right) \equiv 0,\quad \Theta \left( {\xi ,\tau } \right) = {\Theta _s}\left( \xi \right)+{\Theta _W}\left( \xi \right)+{\Theta _i}\left( {\xi ,\tau } \right)

{\Theta _i}\left( {\xi ,\tau } \right) = {\Theta _0}\left( \xi \right) = -{\Theta _s}\left( \xi \right)-{\Theta _W}\left( \xi \right)

1.3 Kirchhoff-Transformation

Oft sind Koeffizienten wie die Wärmeleitfähigkeit temperaturabhängig:

k = k\left( T \right)

Hier einige Beispiele:

wst-1-06-warmeleitfahigkeit-abhangigkeit

In solchen Fällen wird die Wärmeleitgleichung nichtlinear und ist sehr viel schwieriger zu lösen:

\rho {c_V}\frac{{\partial T}}{{\partial \tau }} = \frac{\partial }{{\partial {x_i}}}\left( {k\left( T \right)\frac{{\partial T}}{{\partial {x_i}}}} \right)+{q^*}

Die Kirchhoff-Transformation führt diese nichtlineare partielle Differentialgleichung auf eine äquivalente lineare Gleichung zurück, die wir dann lösen können.

Wir führen eine neue Temperaturvariable ein, die die alte Temperatur an die variable Wärmeleitfähigkeit anpasst:

{k_m} = \int\limits_{{T_0}}^{{T_1}} {k\left( {{T^\prime }} \right)d{T^\prime }}

\vartheta = \vartheta \left( T \right) = \frac{1}{{{k_m}}}\int\limits_{{T_0}}^T {k\left( {{T^\prime }} \right)d{T^\prime }}

{k_m}d\vartheta = k\left( T \right)dT\quad \quad \quad \left( * \right)

Aus der Definition von \vartheta ergibt sich \vartheta \left( {T = {T_0}} \right) = 0 und \vartheta \left( {T = {T_1}} \right) = 1.

Hier zwei Graphen zur Veranschaulichung:

wst-1-07-transformierte-temperatur

Die transformierte Temperatur \vartheta ist monoton steigend. T\left( \vartheta \right) ist die Umkehrfunktion von \vartheta \left( T \right). Nun können wir die nichtlineare Differentialgleichung umschreiben.

\rho {c_V}\frac{{\partial T}}{{\partial \tau }} = \frac{\partial }{{\partial {x_i}}}\left( {k\left( T \right)\frac{{\partial T}}{{\partial {x_i}}}} \right)+{q^*}

\frac{\partial }{{\partial {x_i}}}\left( {k\left( T \right)\frac{{\partial T}}{{\partial {x_i}}}} \right)\mathop = \limits^{\left( * \right)} \frac{\partial }{{\partial {x_i}}}\left( {{k_m}\frac{{\partial \vartheta }}{{\partial {x_i}}}} \right) = {k_m}\frac{{{\partial ^2}\vartheta }}{{\partial x_i^2}}

\Rightarrow \quad \rho {c_V}\frac{{\partial T}}{{\partial \tau }} = {k_m}\frac{{{\partial ^2}\vartheta }}{{\partial x_i^2}}+{q^*}

Wir haben also jetzt eine lineare Gleichung, wenn {q^*} nicht von der Temperatur abhängt.

1.3.1 Stationäre Gleichung

Wenn die Zeitableitung wegfällt, erhalten wir:

0 = {k_m}\frac{{{\partial ^2}\vartheta }}{{\partial x_i^2}}+{q^*}

Anfangsbedingung:

T\left( {{x_i},\tau = 0} \right)\mathop = \limits^! {T_0}\left( {{x_i}} \right)\quad \Rightarrow \quad \vartheta \left( {{x_i},\tau = 0} \right) = \vartheta \left( {{T_0}\left( {{x_i}} \right)} \right)

Randbedingung 1. Art:

T\left( {\partial \Omega ,\tau } \right)\mathop = \limits^! {T_{\partial \Omega }}\left( \tau \right)\quad \Rightarrow \quad \vartheta \left( {\partial \Omega ,\tau } \right) = \vartheta \left( {{T_{\partial \Omega }}\left( \tau \right)} \right)

Randbedingung 2. Art:

-k\left( T \right){\left. {\frac{{\partial T}}{{\partial n}}} \right|_{\partial \Omega }}\mathop = \limits^! {\dot q_{\partial \Omega }}\quad \Rightarrow \quad -{k_m}{\left. {\frac{{\partial \vartheta }}{{\partial n}}} \right|_{\partial \Omega }} = {\dot q_{\partial \Omega }}

Randbedingung 3. Art:

-k\left( T \right){\left. {\frac{{\partial T}}{{\partial n}}} \right|_{\partial \Omega }} = h\left( {{T_{\partial \Omega }}-{T_\infty }} \right)\quad \Rightarrow \quad -{k_m}{\left. {\frac{{\partial \vartheta }}{{\partial n}}} \right|_{\partial \Omega }} = h\left( {{T_{\partial \Omega }}\left( \vartheta \right)-{T_\infty }} \right)

Bei Randbedingungen 3. Art ist problematisch, dass die Umkehrfunktion {T_{\partial \Omega }}\left( \vartheta \right) nichtlinear ist.

1.3.2 Instationäre Gleichung

Hier haben wir zusätzlich die Zeitableitung in der Gleichung. Es ergibt sich das Problem, dass auch die spezifische Wärmekapazität {c_V} und die Dichte \rho temperaturabhängig sein können:

\rho \left( T \right){c_V}\left( T \right)\frac{{\partial T}}{{\partial \tau }} = \frac{\partial }{{\partial {x_i}}}\left( {k\left( T \right)\frac{{\partial T}}{{\partial {x_i}}}} \right)+{q^*}

Wir führen wieder die transformierte Temperatur ein:

\vartheta = \vartheta \left( T \right) = \frac{1}{{{k_m}}}\int\limits_{{T_0}}^T {k\left( {{T^\prime }} \right)d{T^\prime }}

{k_m}d\vartheta = k\left( T \right)dT\quad \Rightarrow \quad \frac{{dT}}{{d\vartheta }} = \frac{{{k_m}}}{{k\left( T \right)}}

Einsetzen liefert:

\frac{{\partial T}}{{\partial \tau }} = \frac{{\partial T}}{{\partial \vartheta }}\frac{{\partial \vartheta }}{{\partial \tau }} = \frac{{\partial \vartheta }}{{\partial \tau }}\frac{{{k_m}}}{{k\left( T \right)}}

\Rightarrow \quad \underbrace {\frac{{\rho \left( T \right){c_V}\left( T \right)}}{{k\left( T \right)}}}_{ = \frac{1}{{\alpha \left( T \right)}}}\frac{{\partial \vartheta }}{{\partial \tau }} = \frac{{{\partial ^2}\vartheta }}{{\partial x_i^2}}+\frac{{{q^*}}}{{{k_m}}}

\Rightarrow \quad \frac{1}{{\alpha \left( T \right)}} = \frac{1}{{\alpha \left( {T\left( \vartheta \right)} \right)}} = \frac{1}{{\tilde \alpha \left( \vartheta \right)}}

Dies funktioniert allerdings nur, wenn \alpha \left( T \right) konstant ist. Ideales Gas:

p = \rho RT\quad \Rightarrow \quad \rho = \frac{p}{{RT}} \sim \frac{1}{T}

1.4 Überlegungen zur Wärmeleitfähigkeit

Die Wärmeleitfähigkeit, auch Wärmeleitzahl eines Festkörpers, einer Flüssigkeit oder eines Gases genannt, ist sein Vermögen, thermische Energie mittels Wärmeleitung in Form von Wärme zu transportieren. Die (spezifische) Wärmeleitfähigkeit in Watt je Kelvin und Meter ist eine temperaturabhängige Materialkonstante. Die Wärmeleitfähigkeit ist von der Temperaturleitfähigkeit zu unterscheiden, der Geschwindigkeit, mit der sich eine Temperaturveränderung durch den Stoff ausbreitet.

Die Kinetische Gastheorie bietet eine Erklärung der mikroskopischen Eigenschaften von Temperatur und Wärme, wohingegen die Thermodynamik deren makroskopischen Eigenschaften untersucht.

Die wichtigsten Aussagen der kinetischen Gastheorie sind:

  1. Die Teilchen eines Gases (Atome, Moleküle) sind harte Kugeln ohne innere Struktur und ständig in ungeordneter, nur statistisch fassbarer Bewegung.
  2. Zwischen ihren Zusammenstößen bewegen sie sich gleichförmig und unabhängig voneinander, ohne Bevorzugung einer Richtung.
  3. Die Teilchen üben keine Kräfte aufeinander aus, solange sie sich nicht gegenseitig berühren.
  4. Zusammenstöße der Teilchen mit der Gefäßwand gehorchen dem Gesetz des elastischen Stoßes und verursachen den Gasdruck.

Die Geschwindigkeitsverteilung der Gasmoleküle entspricht der Boltzmann-Verteilung. Für die mittlere Geschwindigkeit gilt:

\bar u = \sqrt {\frac{8}{\pi }\frac{{{k_B}T}}{{{m_i}}}}

Kollisionsfrequenz:

z = \frac{1}{4}n\bar u

Dabei ist n = \frac{N}{V} die Teilchendichte.

Die mittlere freie Weglänge ist die durchschnittliche Weglänge, die ein Teilchen ohne Wechselwirkung mit anderen Teilchen zurücklegt. Unter einer Wechselwirkung wird dabei jede Art von Energie- bzw. Impulsänderung des Teilchens verstanden. Für die mittlere freie Weglänge gilt:

\lambda = \frac{1}{{\sqrt 2 \pi {d^2}n}}

Die Boltzmann-Konstante {k_B} erlaubt die Berechnung der mittleren thermischen Energie eines Teilchens aus der Temperatur:

{e_i} = \frac{{{m_i}}}{2}{\bar u^2} = \frac{3}{2}{k_B}T

Dabei ist {m_i} die Teilchenmasse. Die Wärmekapazität pro Teilchen beträgt \frac{3}{2}{k_B}.

Mittlerer Kollisionsabstand:

a = \frac{2}{3}\lambda

1.4.1 Wärmeleitfähigkeit in Gasen

Für perfektes Gas gilt:

n = \frac{3}{2}RT

{c_V} = {\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial T}}} \right)_V} = \frac{3}{2}R = \frac{3}{2}\frac{{Rm}}{{{M_i}}} = \frac{3}{2}\frac{{{N_L}{k_B}}}{{{N_L}{m_i}}} = \frac{3}{2}\frac{{{k_B}}}{{{m_i}}}

Wir leiten k nun auf zwei verschiedene Arten her. Zuerst betrachten wir den diffusiven Wärmetransport, anschließend die Viskosität aus der Gastheorie.

Diffusiver Wärmetransport

Wir betrachten Moleküle zwischen zwei Platten. Die Platten besitzen die Temperaturen {T_1} und {T_2}, wobei {T_1} > {T_2} sei.

wst-1-08-diffuser-warmetransport

Aus der Definition der thermischen Energie wissen wir, dass die Geschwindigkeit und Energie eines Teilchens von der Temperatur abhängt. Bei der Kollision von Teilchen findet ein Energieaustausch statt, wobei Energie vom Teilchen mit der höheren Energie zum Teilchen mit geringerer Energie transportiert wird. Wegen dieses Effekts findet bei einem Temperaturgradienten ein Energieaustausch statt, der genau antiparallel zum Gradienten ist.

wst-1-09-warme-gradient-transport-differentialgleichung

Mit diesen Überlegungen erhalten wir den Wärmestrom:

{\dot q_y} = z\left( {{{\left. {\frac{1}{2}{m_i}{{\bar u}^2}} \right|}_{{y_0}-a}}-{{\left. {\frac{1}{2}{m_i}{{\bar u}^2}} \right|}_{{y_0}+a}}} \right) = z\frac{3}{2}{k_B}\left( {{T_{{y_0}-a}}-{T_{{y_0}+a}}} \right)

Nehmen wir an, dass die Temperatur T\left( y \right) linear verläuft:

{T_{{y_0} \pm a}} = {T_{{y_0}}} \pm \underbrace a_{\frac{2}{3}\lambda }{\left. {\frac{{dT}}{{dy}}} \right|_{{y_0}}}

{T_{{y_0}-a}}-{T_{{y_0}+a}} = {T_{{y_0}}}-\frac{2}{3}\lambda {\left. {\frac{{dT}}{{dy}}} \right|_{{y_0}}}-\left( {{T_{{y_0}}}+\frac{2}{3}\lambda {{\left. {\frac{{dT}}{{dy}}} \right|}_{{y_0}}}} \right) = -\frac{4}{3}\lambda {\left. {\frac{{dT}}{{dy}}} \right|_{{y_0}}}

\Rightarrow \quad {{\dot q}_y} = -\frac{1}{4}n\bar u\frac{3}{2}{k_B}\frac{4}{3}\lambda \frac{{dT}}{{dy}} = -\frac{1}{2}n{k_B}\bar u\lambda \frac{{dT}}{{dy}}

Vergleichen wir dieses Ergebnis mit dem Fourierschen Gesetz

{\dot q_y} = -k\frac{{dT}}{{dy}},

ergibt sich:

k = \frac{1}{2}n{k_B}\bar u\lambda

k = \frac{1}{2}n{k_B}\sqrt {\frac{8}{\pi }\frac{{{k_B}T}}{{{m_i}}}} \sqrt 1 \sqrt 2 \pi {d^2}n = \frac{2}{{3\pi }}\frac{{\sqrt {\pi {m_i}{k_B}T} }}{{\pi {d^2}}}{c_V}

An dieser Gleichung sehen wir, dass die Wärmeleitfähigkeit proportional zur Wurzel der Temperatur ist. Also besteht selbst bei konstantem {c_V} eine Temperaturabhängigkeit. Teilchen, die viel Wärme speichern können haben eine gute Wärmeleitung.

Viskosität aus der Gastheorie

Für große Entfernungen zwischen zwei Teilchen überwiegen die anziehenden van-der-Waals-Kräfte und permanenten Dipol-Dipol-Wechselwirkungen. Nähert man die Teilchen an, so überwiegt ab einem bestimmten Abstand der repulsive Anteil und die potentielle Energie steigt schnell an. Die repulsiven Kräfte kommen dadurch zustande, dass die Elektronen bei Annäherung der Atomhüllen teilweise auf energetisch höhere Orbitale ausweichen müssen, weil sie nach dem Pauli-Prinzip nicht zu mehreren den gleichen Zustand besetzen können. Es herrscht das Lennard-Jones Potential:

\varphi \left( r \right) = 4\varepsilon \left[ {{{\left( {\frac{\sigma }{r}} \right)}^{12}}-{{\left( {\frac{\sigma }{r}} \right)}^6}} \right]

Harte Kugeln hingegen haben bei einem beliebigen Abstand überhaupt kein Potential. Sobald der Abstand auf Null sinkt, ist das Potential unendlich, da die Kugeln nicht noch näher aneinander gedrückt werden können. Veranschaulichung dieser Vereinfachung:

wst-1-10-lennard-jones-potential

Nach Chapman-Enskog ergibt sich:

k = \frac{{25}}{{32}}\frac{{\sqrt {\pi {m_i}{k_B}T} }}{{\pi {\sigma ^2}{\Omega _k}}}{c_V}

Dabei ist {\Omega _k} das Kollisionsintegral. Dieser Term ist ein mehrdimensionales Integral. Er gibt den Beitrag zur Gleichung, der durch Kollision der einzelnen Teilchen entsteht. Wäre er nicht vorhanden, erlaubte das eine Lösung der Gleichung mit Mitteln der klassischen Mechanik.

Wenn wir eine Scherströmung annehmen, erhalten wir eine Formel für k, die von der Viskosität \mu bzw. \nu abhängig ist:

k = \frac{{15}}{4}R\mu = \frac{5}{2}{c_V}\mu = \frac{5}{2}\rho \nu {c_V} = k

Monoatomares ideales Gas:

{c_P} = {c_V}+R,\quad {c_V} = \frac{3}{2}R\quad \Rightarrow \quad {c_P} = \frac{5}{2}R = \frac{{10}}{4}R

\frac{{15}}{4}R = \frac{5}{2}{c_V} = {c_P}+\frac{5}{4}R

Es folgt die Eucken-Formel:

k = \left( {{c_P}+\frac{5}{4}R} \right)\mu

\Pr = \frac{{{c_P}\mu }}{k} = \frac{{{c_P}\rho \nu }}{k} = \frac{{{c_P}}}{{{c_P}+\frac{5}{4}R}} < 1

{c_P} ist von der Temperatur abhängig.

1.4.2 Wärmeleitfähigkeit für Flüssigkeiten

Wir wollen uns hier überlegen, wovon die Wärmeleitfähigkeit von Flüssigkeiten abhängt. Gesucht ist keine genaue Formel, sondern nur eine ungefähre Abschätzung. Allgemein gilt:

k = \frac{1}{3}\rho {c_V}\bar u\lambda

Das Dulong-Petit-Gesetz besagt, dass die molare Wärmekapazität eines aus einzelnen Atomen zusammengesetzten Festkörpers einen universalen und konstanten Wert habe, nämlich das Dreifache der universellen Gaskonstante:

{c_V} \approx 3\frac{{{k_B}}}{{{m_i}}} = 3R

Für den Gitterabstand gilt:

a \approx {\left( {\frac{V}{N}} \right)^{\frac{1}{3}}} = \frac{2}{3}\lambda

Dichte:

\rho = \frac{m}{V} = \frac{{{m_i}N}}{V}\quad \Rightarrow \quad \frac{N}{V} = \frac{\rho }{{{m_i}}}

Die mittlere Geschwindigkeit schätzen wir durch die Schallgeschwindigkeit ab: \bar u \approx {v_S}

Es folgt:

k = \frac{1}{3}\rho {c_V}\bar u\lambda = \frac{1}{3} \cdot \frac{N}{V}{m_i} \cdot 3\frac{{{k_B}}}{{{m_i}}} \cdot {v_S} \cdot \frac{3}{2}{\left( {\frac{V}{N}} \right)^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{2}{k_B}{v_S}\frac{N}{V}{\left( {\frac{N}{V}} \right)^{-\frac{1}{3}}} = \frac{3}{2}{k_B}{v_S}{\left( {\frac{N}{V}} \right)^{\frac{2}{3}}}

Für eine gute Wärmeleitfähigkeit in Flüssigkeiten ist also eine hohe Schallgeschwindigkeit und Dichte von Vorteil.

1.4.3 Wärmeleitfähigkeit für Festkörper

Wir kommen nun zur Abschätzung der Wärmeleitfähigkeit von Festkörpern. Es gilt wieder allgemein:

k = \frac{1}{3}\rho {c_V}\bar u\lambda

Die Teilchenstruktur von Festkörpern führt zu Phononen (quantisierte Gitterschwingungen). Die Teilchen können sich im Gitter frei bewegen, es sei denn sie stoßen an Gitterstörungen (Korngrenzen). Es ist also \lambda die Korngröße. Für die mittlere Geschwindigkeit benutzen wir wieder die Schallgeschwindigkeit.

Speziell für Metalle gilt nach Wiedemann-Franz:

k = {k_{Gitter}}+{k_{Elektron}}

{k_{Elektron}} = {L_0}\sigma T

Dabei ist \sigma die elektrische Leitfähigkeit und {L_0} = 2,45 \cdot {10^{-8}}\frac{{{V^2}}}{{{K^2}}} die Lorentz-Konstante. Da die Wärmeleitung an Korngrenzen gehemmt wird, sind Einkristalle besonders gute Wärmeleiter. Das Material mit der besten Wärmeleitfähigkeit ist Diamant. Das liegt daran, dass er durch seine extreme Härte eine hohe Schallgeschwindigkeit hat und zudem ein fast perfektes Gitter besitzt.