3 – Wärmedurchgang durch Wände mit vergrößerter Oberfläche

 

3.1 Grundidee

Der Wärmedurchgangswiderstand \frac{1}{{hA}} setzt sich additiv aus den Einzelwiderständen des Wärmeübergangs und der Wärmeleitung zusammen. Dabei bestimmt stets der größte Einzelwiderstand den Wert, vor allem wenn die anderen viel kleiner sind. So kann man die Isolierwirkung einer Wand durch Anbringen einer Schicht mit deutlich höherem Wärmeleitwiderstand erheblich steigern.

Soll dagegen, z.B. in einem Wärmeübertrager, der Wärmedurchgang möglichst gut sein, so verhindert dies oft ein großer Wärmeübergangswiderstand. Dieser hat seine Ursache in einem kleinen Wärmeübergangskoeffizienten h, der sich durch Erhöhen der Strömungsgeschwindigkeit nur schwer oder gar nicht vergrößern lässt. Hier liegt es nun nahe, \frac{1}{{hA}} durch Vergrößern der Fläche A zu verringern und so den Wärmedurchgang zu verbessern. Eine solche Flächenvergrößerung um das 10- oder sogar 100-fache lässt sich durch das Anbringen von Rippen, Nadeln oder stabartigen Gebilden erreichen.

Hier einige Beispiele:

wst-3-01-kuhlrippe-beispiel-geometrie

Der Wärmeübergangswiderstand lässt sich allerdings nicht beliebig verkleinern, denn die vergrößerte Wärmeübergangsfläche wird durch einen zusätzlichen Wärmeleitwiderstand erkauft. Die Wärme, die z.B. von der nahe der Spitze einer Rippe gelegenen Fläche an das Fluid abgegeben werden soll, muss in der Rippe durch Wärmeleitung vom Fuß zur Spitze transportiert werden. Hierzu ist ein Temperaturgefälle zwischen Rippenfuß und Rippenspitze erforderlich, so dass die Rippe im Mittel eine niedrigere Temperatur aufweist als das von den Rippen freie Grundmaterial. Die aufgesetzten Rippen sind also nicht voll wirksam, denn sie bieten dem Wärmeübergang an das Fluid eine kleinere Temperaturdifferenz als das Grundmaterial. Um die Wirksamkeit berippter Flächen zu berechnen, betrachten wir eine Oberfläche {A_G}, von der der Wärmestrom

{\dot Q_G} = {h_G}{A_G}\left( {{T_G}-{T_\infty }} \right)

abgeht. Nun denken wir uns Rippen mit der Oberfläche {A_R} auf die Grundfläche. In der Rippe fällt die Temperatur vom Wert {T_G} am Rippenfuß bis zum Wert {T_H} an der Rippenspitze ab.

Mit {T_R} als Mittelwert gilt für den Wärmestrom von der Rippe zum Fluid:

{\dot Q_R} = {h_R}{A_R}\left( {{T_R}-{T_\infty }} \right)

Dabei ist {h_R} der (mittlere) Wärmeübergangskoeffizient zwischen Rippe und Fluid. Hätte die Rippe überall die größere Temperatur {T_G} der Grundfläche, so könnte sie den größeren Wärmestrom

{\dot Q_{R0}} = {h_R}{A_R}\left( {{T_G}-{T_\infty }} \right)

abgeben. Man kennzeichnet nun die Wirksamkeit der Rippe durch den Rippenwirkungsgrad:

\eta : = \frac{{{{\dot Q}_R}}}{{{{\dot Q}_{R0}}}} = \frac{{{T_R}-{T_\infty }}}{{{T_G}-{T_\infty }}}

Der Rippenwirkungsgrad ist stets kleiner als 1. Er hängt vom Wärmeleitvorgang in der Rippe und vom Wärmeübergang ab, denn beide Transportvorgänge beeinflussen sich gegenseitig. Neben der Rippengeometrie spielen daher auch die Wärmeleitfähigkeit {k_R} des Rippenmaterials und der Wärmeübergangskoeffizient {h_R} eine Rolle.

3.2 Differentialgleichung für die Wärmeleitung mit Rippen

Für die Herleitung der DGL treffen wir folgende Annahmen:

  • Konstante Stoffwerte: k, \rho, {c_V}, stationäres Problem
  • 1D-Problem T\left( x \right), x entlang Rippe oder Nadel
  • h, {h_1} an Rippenoberfläche und Rippenspitze vorgegeben, konstant
  • {T_\infty } konstant, T\left( {x = 0} \right) = {T_S}

3.2.1 Bilanzgleichung

Wir schneiden ein differentielles Element der Rippe frei und betrachten die Wärmeübergänge:

wst-3-02-kuhlrippe-differentialgleichung-herleitung

Mit dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik erhalten wir:

\frac{{dU}}{{d\tau }} = 0 = \sum\limits_i {{{\dot Q}_i}} +\underbrace {\sum\limits_j {{{\dot W}_j}} }_{ = 0}

\Rightarrow \quad 0 = {{\dot Q}_x}-d{{\dot Q}_{conv}}-{{\dot Q}_{x+dx}}

Fouriersches Gesetz:

{\dot Q_x} = -kA\left( x \right)\frac{{dT\left( x \right)}}{{dx}}

Taylorreihe:

{\dot Q_{x+dx}} = {\dot Q_x}+\frac{{d{{\dot Q}_x}}}{{dx}}dx+ \ldots

Newtonsches Kühlgesetz:

d{\dot Q_{conv}} = h\;d{A_n}\left( x \right)\left( {T\left( x \right)-{T_\infty }} \right) = hU\left( x \right)dx\left( {T\left( x \right)-{T_\infty }} \right)

Einsetzen ergibt die stationäre Rippengleichung:

{{\dot Q}_x}-{{\dot Q}_{x+dx}}-d{{\dot Q}_{conv}}\mathop = \limits^! 0

\Rightarrow \quad {{\dot Q}_x}-{{\dot Q}_x}-\frac{d}{{dx}}{{\dot Q}_x}dx-hU\left( x \right)dx\left( {T\left( x \right)-{T_\infty }} \right) = 0

\Rightarrow \quad -\frac{d}{{dx}}{{\dot Q}_x}-hU\left( x \right)\left( {T\left( x \right)-{T_\infty }} \right) = 0

\Rightarrow \quad k\frac{d}{{dx}}\left( {A\left( x \right)\frac{{dT}}{{dx}}} \right)-hU\left( x \right)\left( {T\left( x \right)-{T_\infty }} \right)\mathop = \limits^! 0

3.2.2 Normierung und Randbedingungen

Normierung der Ortskoordinate:

\xi = \frac{x}{L},\quad 0 \leq \xi \leq 1\quad \Rightarrow \quad x = \xi L\quad \Rightarrow \quad dx = Ld\xi

Dabei ist L z.B. die Rippenlänge. Normierung der Temperatur:

\Theta = \frac{{T-{T_\infty }}}{{{T_S}-{T_\infty }}}\quad \Rightarrow \quad \Theta \left( {\xi = 0} \right) = 1

\Rightarrow \quad T = \Theta \left( {{T_S}-{T_\infty }} \right)+{T_\infty }\quad \Rightarrow \quad dT = d\Theta \left( {{T_S}-{T_\infty }} \right)

\Rightarrow \quad \frac{{dT}}{{dx}} = \frac{{d\Theta }}{{d\xi }}\frac{{{T_S}-{T_\infty }}}{L}

Einsetzen in die Differentialgleichung:

\frac{k}{{{L^2}}}\frac{d}{{d\xi }}\left( {A\left( \xi \right)\frac{{d\Theta \left( \xi \right)}}{{d\xi }}} \right)\left( {{T_S}-{T_\infty }} \right)-hU\left( \xi \right)\Theta \left( \xi \right)\left( {{T_S}-{T_\infty }} \right) = 0

Wir erhalten die normierte Rippengleichung:

\frac{d}{{d\xi }}\left( {A\left( \xi \right)\frac{{d\Theta \left( \xi \right)}}{{d\xi }}} \right)-\frac{{hU\left( \xi \right){L^2}}}{k}\Theta \left( \xi \right) = 0

Die Biot-Zahl ist wie schon zuvor beschrieben das Verhältnis zwischen konvektivem Wärmeübergang und Leitungswärmeübergang und hat die Formel:

\operatorname{Bi} = \frac{{hL}}{{{k_{Fk}}}}

Mit der Produktregel können wir umschreiben:

0 = A\left( \xi \right)\frac{{{d^2}\Theta \left( \xi \right)}}{{d{\xi ^2}}}+\frac{{dA\left( \xi \right)}}{{d\xi }}\frac{{d\Theta \left( \xi \right)}}{{d\xi }}-\frac{{h{L^2}U\left( \xi \right)}}{k}\Theta \left( \xi \right)\quad \quad | \cdot \frac{1}{{A\left( \xi \right)}}

\Rightarrow \quad 0 = \frac{{{d^2}\Theta \left( \xi \right)}}{{d{\xi ^2}}}+\frac{{\frac{{dA\left( \xi \right)}}{{d\xi }}}}{{A\left( \xi \right)}}\frac{{d\Theta \left( \xi \right)}}{{d\xi }}-\frac{{hL}}{k}\frac{{LU\left( \xi \right)}}{{A\left( \xi \right)}}\Theta \left( \xi \right)

\Rightarrow \quad 0 = \frac{{{d^2}\Theta }}{{d{\xi ^2}}}+\frac{{{A^\prime }}}{A}\frac{{d\Theta }}{{d\xi }}-Bi\frac{{LU}}{A}\Theta

Randbedingungen

Am Fuß der Rippe gilt:

\Theta \left( {\xi = 0} \right) = 1

An der Spitze der Rippe unterscheiden wir zwischen der adiabaten Randbedingung

{\dot Q_x}\left( {x = L} \right) = 0\quad \Rightarrow \quad -k{\left. {\frac{{dT}}{{dx}}} \right|_{x = L}}A\left( L \right) = 0\quad \Rightarrow \quad {\left. {\frac{{d\Theta }}{{d\xi }}} \right|_{\xi = 1}} = 0

und dem konvektiven Wärmeübergang bei x = L:

{\left. {\frac{{d\Theta }}{{d\xi }}} \right|_{\xi = 1}} = -\frac{{{h_1}L}}{k}\Theta \left( {\xi = 1} \right) = {\operatorname{Bi} _1}{\Theta _1}

3.2.3 Lösung der Rippengleichung

Spezialfall: Gerade Rippe oder Nadel mit adiabatem Ende

Annahmen: A\left( x \right) = \operatorname{const} \quad \Rightarrow \quad {A^\prime }\left( x \right) = 0

Wir müssen also jetzt die vereinfachte Gleichung lösen:

\frac{{{d^2}\Theta }}{{d{\xi ^2}}}-\underbrace {\frac{{hL}}{k}}_{\operatorname{Bi} }\underbrace {\frac{{UL}}{A}}_g\Theta = 0

Hier ist g ein Geometrieparameter. Wir definieren die Abkürzung

{m^2} = \operatorname{Bi} g = \frac{{hU{L^2}}}{{kA}}\quad \Rightarrow \quad m = L\sqrt {\frac{{hU}}{{kA}}}.

Damit lautet die Differentialgleichung:

{\Theta ^{\prime \prime }}-{m^2}\Theta = 0

Der Exponentialansatz liefert:

\Theta \left( \xi \right) = {c_1}{e^{m\xi }}+{c_2}{e^{-m\xi }}

Randbedingung (adiabat):

\Theta \left( 0 \right) = 1\quad \Rightarrow \quad {c_1}+{c_2} = 1

{\Theta ^\prime }\left( {\xi = 1} \right) = 0\quad \Rightarrow \quad {c_1}m{e^m}-{c_2}m{e^m} = 0

Es ergibt sich aus diesen beiden Gleichungen:

\Theta \left( \xi \right) = \frac{{\cosh \left( {m\left( {1-\xi } \right)} \right)}}{{\cosh \left( m \right)}}

Zur Veranschaulichung ein Diagramm der Funktionen \cosh \left( x \right) = \frac{{{e^x}+{e^{-x}}}}{2} und \sinh \left( x \right) = \frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{2}:

wst-3-03-hyperbolische-funktionen-sinh-cosh

Konvektives Ende

Hier gilt:

\Theta \left( \xi \right) = {c_1}{e^{m\xi }}+{c_2}{e^{-m\xi }}

\Theta \left( {\xi = 0} \right) = 1\quad \Rightarrow \quad {c_1}+{c_2} = 1

-kA{\left. {\frac{{dT}}{{dx}}} \right|_{x = L}} = {h_1}A\left( {T\left( L \right)-{T_\infty }} \right)

\Rightarrow \quad {\left. {\frac{{d\Theta }}{{d\xi }}} \right|_{\xi = 1}} = -\frac{{{h_1}L}}{k}\Theta \left( {\xi = 1} \right) = -{\operatorname{Bi} _1}\Theta \left( {\xi = 1} \right)

\Rightarrow \quad \Theta \left( \xi \right) = \frac{{\cosh \left( {m\left( {1-\xi } \right)} \right)+{a_1}\sinh \left( {m\left( {1-\xi } \right)} \right)}}{{\cosh \left( m \right)+{a_1}\sinh \left( {m\left( {1-\xi } \right)} \right)}},\quad \quad {a_1} = \frac{{{{\operatorname{Bi} }_1}}}{m}

Adiabat:

{h_1} = 0\quad \Rightarrow \quad {\operatorname{Bi} _1} = 0\quad \Rightarrow \quad {a_1} = 0

Typische Temperaturverläufe:

wst-3-04-typischer-temperaturverlauf-kuhlrippe

Im rechten Fall ist die Rippe länger. Hier sieht man, dass sich die Endtemperatur der Rippe gut an die einer adiabaten Rippe annähert. Statt einer längeren Rippe kann auch ein anderes Material verwendet werden.

Es gibt eine optimale Länge, nach der das Material der Rippe die Umgebungstemperatur annimmt, so dass kein Wärmeübergang mehr stattfindet. Bei Materialien wie Glas machen nur kurze Rippen Sinn, alles Weitere ist dann Materialverschwendung. Rippen aus Aluminium oder Kupfer können auch länger gebaut werden.

3.2.4 Beispiele für Geometrieparameter

Beispiel: Gerade Zylindernadel

wst-3-05-gerade-zylindernadel

Für die Geometrie gilt hier:

A = \frac{{\pi {d^2}}}{4},\quad U = \pi d

g = \frac{{UL}}{A} = 4\frac{{\pi dL}}{{\pi {d^2}}} = \frac{{4L}}{d}

Beispiel: Rechteckige Rippe

wst-3-06-rechteckige-rippe

Geometrie:

A = cb,\quad U = 2\left( {b+c} \right)

g = \frac{{2\left( {b+c} \right)L}}{{cb}} = 2L\left( {\frac{1}{c}+\frac{1}{b}} \right)

Für b \gg c ergibt sich g \to \frac{{2L}}{c}

Beispiel: Quadratische Nadel

Die Geometrie entspricht der beim Rechteck, es gilt aber:

c = b\quad \Rightarrow \quad g = \frac{{4L}}{c} = \frac{{4L}}{b}

Dies entspricht der zylindrischen Nadel.

3.2.5 Gesamtwärmestrom

Bisher haben wir nur die Temperatur der Rippe an jeder Stelle berechnet. Es stellt sich noch die Frage, zu was für einem Wärmestrom diese Temperaturverteilung führt. Um diesen Gesamtwärmestrom zu bestimmen, betrachten wir folgende Abbildung:

wst-3-07-gesamtwarmestrom-differentialgleichung

Wir können über die Rippenlänge integrieren, um den konvektiven Wärmestrom zu bestimmen:

{{\dot Q}_{ges}} = \int\limits_0^L {d{{\dot Q}_{conv}}dx+{{\dot Q}_{conv}}\left( {x = L} \right)}

= \int\limits_0^L {hU\left( x \right)\left( {T\left( x \right)-{T_\infty }} \right)dx} +{h_1}A\left( L \right)\left( {T\left( L \right)-{T_\infty }} \right)

Alternativ können wir auch die Formel von Newton benutzen, um den Wärmeleitungsstrom zu berechnen, da dieser bei stationären Problemen genauso groß sein muss wie der konvektive:

{{\dot Q}_{ges}} = -kA\left( 0 \right){\left. {\frac{{dT}}{{dx}}} \right|_{x = 0}}

= -\frac{{kA\left( 0 \right)}}{L}{\left. {\frac{{d\Theta }}{{d\xi }}} \right|_{\xi = 0}}\left( {{T_S}-{T_\infty }} \right)

Adiabates Ende

Bei einer geraden Rippe mit adiabatem Ende gilt:

\Theta \left( \xi \right) = \frac{{\cosh \left( {m\left( {1-\xi } \right)} \right)}}{{\cosh \left( m \right)}}

\Rightarrow \quad {{\dot Q}_{ges}} = \frac{{kA}}{L}\left( {{T_S}-{T_\infty }} \right)m\tanh \left( m \right)

Wärmestrom ohne Rippe:

{\dot Q_{ges,ohne}} = hA\left( {{T_S}-{T_\infty }} \right)

Wir definieren:

{\dot Q_{norm}} = \frac{{{{\dot Q}_{ges}}}}{{{{\dot Q}_{ges,ohne}}}} = \underbrace {\frac{k}{{hL}}}_{1/\operatorname{Bi} }m\tanh \left( m \right)

Die Rippe funktioniert bei {\dot Q_{norm}} > 1.

3.2.6 Rippenwirkungsgrad

Wie oben beschrieben ist der Rippenwirkungsgrad das Verhältnis aus tatsächlichem Wärmestrom und maximal möglichem Wärmestrom:

\eta = \frac{{{{\dot Q}_{ges}}}}{{{{\dot Q}_{\max }}}} = \frac{{{{\dot Q}_{ges}}}}{{{{\dot Q}_{ges\left( {T = {T_S}} \right)}}}}

Der maximal mögliche Wärmestrom erfolgt genau dann, wenn die gesamte Oberfläche der Rippe die Temperatur des zu kühlenden Körpers hat.

{\dot Q_{\max }} = \left( {ULh+A{h_1}} \right)\left( {{T_S}-{T_\infty }} \right)

Konvektives Ende: \eta = \frac{1}{{m+{a_1}}}\frac{{\tanh \left( m \right)+{a_1}}}{{1+{a_1}\tanh \left( m \right)}},\quad \quad {a_1} = \frac{{{{\operatorname{Bi} }_1}}}{m}

Adiabates Ende: \eta = \frac{{\tanh \left( m \right)}}{m}

Der Wirkungsgrad verbessert sich mit sinkendem m. Es gilt:

m = L\sqrt {\frac{{hU}}{{kA}}}

wst-3-08-rippenwirkungsgrad

Es sollte also entweder die Rippe kürzer gebaut oder ein Material mit besserer Wärmeleitfähigkeit gewählt werden.

Zur Bauform:

wst-3-09-kuhlrippe-bauform-geometrie-vorteil

Keilförmige Rippen funktionieren also besser. Das liegt daran, dass bei keilförmigen Rippen mehr Platz zwischen den einzelnen Rippen ist, so dass der Luftstrom besser fließt und daher mehr Konvektion stattfindet.

3.2.7 Rippeneffektivität

Die Rippeneffektivität ist definiert als der Wärmestrom mit Rippe geteilt durch den Wärmestrom ohne Rippe:

\varepsilon = \frac{{{{\dot Q}_{ges}}}}{{{{\dot Q}_{conv,ohne}}}} = {{\dot Q}_{norm}}

{{\dot Q}_{conv,ohne}} = hA\left( 0 \right)\left( {{T_S}-{T_\infty }} \right)

\varepsilon = \frac{1}{a}\frac{{\tanh \left( m \right)+{a_1}}}{{1+{a_1}\tanh \left( m \right)}}

a = \frac{{\operatorname{Bi} }}{m},\quad {a_1} = \frac{{{{\operatorname{Bi} }_1}}}{m}

Hier ein Plot zum normierten Wärmestrom:

wst-3-10-normierter-warmestrom-plot

Ab a = 1 ist der Wärmestrom mit Rippe kleiner als der Wärmestrom ohne Rippe. Das ist dann der Fall, wenn die Biot-Zahl groß ist, also wenn eine gute Konvektivität auf einen schlechten Wärmeübergang trifft. Die Rippen wirken dann als thermischer Widerstand.

wst-3-11-rippeneffektivitat-kuhlung

Aus dem Rippenwirkungsgrad allein lässt sich nicht also schließen, ob dir Rippe etwas bringt. Wie in der Abbildung rechts zu sehen, ist der Rippenwirkungsgrad bei a = 5 für eine sehr kurze Rippe mit kleinem m noch in Ordnung, am normierten Rippen-Wärmestrom sieht man aber sofort, dass bei a = 5 für jede Rippenlänge weniger Wärme abgeleitet wird als ohne Rippe.

3.2.8 Ringrippen

Wir betrachten ein differentielles Element einer Ringrippe:

wst-3-12-ringrippe-geometrie-differentialgleichung

Die Wärmeleitungsgleichung in Zylinderkoordinaten lautet:

\frac{{{d^2}T}}{{d{r^2}}}+\frac{{{A^\prime }\left( r \right)}}{{A\left( r \right)}}\frac{{dT}}{{dr}}-\frac{h}{k}\frac{{U\left( r \right)}}{{A\left( r \right)}}\left( {T\left( r \right)-{T_\infty }} \right) = 0

Die grüne Fläche müssen wir zwei Mal zählen, da auf der Ober- und Unterseite ein konvektiver Wärmestrom stattfindet.

U\left( r \right) = \left( {2\pi r} \right) \cdot 2

A\left( r \right) = 2\pi r \cdot w,\quad {A^\prime }\left( r \right) = 2\pi w

Differentialgleichung für die gerade Ringrippe:

\frac{{{d^2}T}}{{d{r^2}}}+\frac{1}{r}\frac{{dT}}{{dr}}-\frac{h}{k}\frac{2}{w}\left( {T-{T_\infty }} \right) = 0

Normierung:

\xi = \frac{r}{{{r_b}}},\quad \quad 1 \leq \xi \leq \frac{{{r_e}}}{{{r_b}}}

\Theta = \frac{{T-{T_\infty }}}{{{T_w}-{T_\infty }}}

\Rightarrow \quad \frac{{{d^2}\Theta }}{{d{\xi ^2}}}+\frac{1}{\xi }\frac{{d\Theta }}{{d\xi }}-\underbrace {\frac{{h{r_b}}}{k}\frac{{2{r_b}}}{w}}_{{m^2}}\Theta = 0

Dabei gilt:

\frac{{h{r_b}}}{k} = \operatorname{Bi} ,\quad \frac{{2{r_b}}}{w} = g

Der Geometrieparameter sagt aus, wie dick die Rippe ist im Vergleich zu dem Durchmesser, auf dem sie angebracht ist. Eingesetzt:

{\Theta ^{\prime \prime }}+\frac{1}{\xi }{\Theta ^\prime }-{m^2}\Theta = 0

Randbedingungen:

T\left( {{r_b}} \right) = {T_W}\quad \Rightarrow \quad \Theta \left( {\xi = 1} \right) = 1

Konvektiver Wärmeübergang bei \xi = \frac{{{r_e}}}{{{r_b}}}