14.3 – Wärmeleitgleichung, Beschränktheitsanforderung

 

Wir betrachten die Wärmeleitgleichung für d = 1 mit der Anfangsbedingung

u\left( {x,0} \right) = H\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0\quad x \leq 0}  \\{1\quad x > 0}  \\ \end{array} } \right.

a )

Zeigen Sie: Wenn die Funktion u\left( {x,t} \right) eine Lösung des Cauchy-Problems ist, so auch v\left( {x,t} \right) = u\left( {cx,{c^2}t} \right).

b )

Die Lösung ist unter schwachen Beschränktheitsanforderungen eindeutig. Was schlussfolgern Sie aus Teilaufgabe a)?

Hinweis: erfülle u die Beschränktheitsanforderungen, so erfüllt auch v diese.

c )

Wir führen nun y = \frac{x}{{\sqrt t }} ein. Leiten Sie eine Differentialgleichung für w\left( y \right) = w\left( {\frac{z}{{\sqrt t }}} \right) = u\left( {x,t} \right) her. Welche Bedingung muss w\left( y \right) für x \to \pm \infty erfüllen?

d )

Zeigen sie, dass

w\left( y \right) = \frac{1}{{\sqrt \pi }}\int_{-\infty }^{\frac{v}{2}} {{e^{-{z^2}}}dz}

die Differentialgleichung und die Grenzwerte für y \to \pm \infty erfüllt.

e )

Wie lautet die Lösung u\left( {x,t} \right) ?

Lösung

a )

v\left( {x,t} \right) = u\left( {cx,{c^2}t} \right)

{v_t}\left( {x,t} \right) = {c^2}{u_t}\left( {cx,{c^2}t} \right)

{u_{xx}}\left( {x,t} \right) = {c^2}{u_{xx}}\left( {cx,{c^2}t} \right)

Also ist

{v_t}-{v_{xx}} = {c^2}\underbrace {\left[ {{u_t}\left( {cx,{c^2}t} \right)-{u_{xx}}\left( {cx,{c^2}t} \right)} \right]}_{ = 0}

b )

u\left( {c{x_0},{c^2}t} \right) = u\left( {{x_0},{t_0}} \right)\quad \quad \forall c,{x_0},{t_0}

u ist also konstant entlang der Kurve

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {x\left( c \right)} \\ {t\left( c \right)} \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {c{x_0}} \\ {{c^2}t} \\ \end{array} } \right)

Also ist

\frac{{{x^2}\left( c \right)}}{{t\left( c \right)}} = \frac{{{c^2}x_0^2}}{{{c^2}{t_0}}} = \frac{{x_0^2}}{{{t_0}}} = const = {y^2}\quad \Rightarrow \quad y = \frac{x}{{\sqrt t }}

c )

w\left( y \right) = u\left( {x,\sqrt t } \right)

Nun: Differentialgleichung für w\left( y \right):

\frac{\partial }{{\partial t}}u\left( {x,\sqrt t } \right) = \frac{\partial }{{\partial t}}w\left( y \right) = {w^\prime }\left( y \right)\frac{{\partial y}}{{\partial t}} = {w^\prime }\left( y \right)\frac{x}{{{t^{\frac{3}{2}}}}}\left( {-\frac{1}{2}} \right) = -\frac{1}{2}y\frac{1}{t}{w^\prime }\left( y \right)

\frac{\partial }{{\partial x}}u\left( {x,\sqrt t } \right) = \frac{\partial }{{\partial x}}w\left( y \right) = {w^\prime }\left( y \right)\frac{{\partial y}}{{\partial x}} = {w^\prime }\left( y \right)\frac{1}{{\sqrt t }}

\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}}u\left( {x,\sqrt t } \right) = \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}}w\left( y \right) = \frac{1}{t}{w^{\prime \prime }}\left( y \right)

\frac{\partial }{{\partial t}}u-\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}}u = -\frac{1}{2}y\frac{1}{t}{w^\prime }\left( y \right)-\frac{1}{t}{w^{\prime \prime }}\left( y \right) = -\frac{1}{t}\left[ {{w^{\prime \prime }}\left( y \right)+\frac{1}{2}y{w^\prime }\left( y \right)} \right] = 0

Wir haben also die Differentialgleichung gefunden:

{w^{\prime \prime }}\left( y \right)+\frac{1}{2}y{w^\prime }\left( y \right) = 0

Nun betrachten wir die Anfangswerte:

x < 0:\quad 0 = \lim \limits_{t \searrow 0} u\left( {x,\sqrt t } \right) = \lim \limits_{t \searrow 0} w\left( {\frac{x}{{\sqrt t }}} \right) = \lim \limits_{y \to -\infty } w\left( y \right)

x > 0:\quad 1 = \lim \limits_{t \searrow 0} u\left( {x,\sqrt t } \right) = \lim \limits_{t \searrow 0} w\left( {\frac{x}{{\sqrt t }}} \right) = \lim \limits_{y \to \infty } w\left( y \right)

d )

Wir lösen nun die Differentialgleichung

{w^{\prime \prime }}\left( y \right)+\frac{1}{2}y{w^\prime }\left( y \right) = 0

1. Ansatz:

Substitution

r\left( y \right) = {w^\prime }\left( y \right)\quad \Rightarrow \quad {r^\prime }\left( y \right)+\frac{1}{2}yr\left( y \right) = 0

Anschließend Trennung der Veränderlichen und Integration.

2. Ansatz:
Integrierender Faktor [TW, S.19f]

3. Ansatz:
Angabe nachrechnen!

Es gilt:

w\left( y \right) = \frac{1}{{\sqrt \pi }}\int_{-\infty }^{\frac{y}{2}} {{e^{-{z^2}}}dz}

{w^\prime }\left( y \right) = \frac{1}{{\sqrt \pi }}{e^{-\frac{{{y^2}}}{4}}}

{w^{\prime \prime }}\left( y \right) = -\frac{y}{2}\frac{1}{{\sqrt \pi }}{e^{-\frac{{{y^2}}}{4}}}

Grenzwertbetrachtung:

\lim \limits_{y \to -\infty } w\left( y \right) = \lim \limits_{y \to -\infty } \frac{1}{{\sqrt \pi }}\int_{-\infty }^{\frac{y}{2}} {{e^{-{z^2}}}dz} = 0

\lim \limits_{y \to \infty } w\left( y \right) = \lim \limits_{y \to \infty } \frac{1}{{\sqrt \pi }}\underbrace {\int_{-\infty }^{\frac{y}{2}} {{e^{-{z^2}}}dz} }_{ = \sqrt \pi } = \frac{1}{{\sqrt \pi }}\sqrt \pi = 1

\quad \Rightarrow \quad u\left( {x,t} \right) = \frac{1}{{\sqrt \pi }}\int_{-\infty }^{\frac{x}{{2\sqrt t }}} {{e^{-{z^2}}}dz}

Dieses Vorgehen heißt Methode der Charakteristiken, mehr dazu kann man bei hyperbolischen Gleichungen erster und zweiter Ordnung sehen.