14.2 – Wärmeleitgleichung, Quellen und Senken

 

Sei {u_0} \in {L^1}\left( {{\mathbb{R}^d}} \right) und u eine Lösung von (1) zum Anfangswert {u_0} . Zeigen Sie, dass keine Wärme verloren geht oder neu entsteht, also

\int_{{\mathbb{R}^d}}^{} {u\left( {x,t} \right)} dx = \int_{{\mathbb{R}^d}}^{} {{u_0}\left( x \right)dx} \quad \forall t \geq 0

Hinweis: Denken Sie an die Lösungsdarstellung u\left( {x,t} \right) = \int_{{\mathbb{R}^d}}^{} {{u_0}\left( x \right)U\left( {x-y,t} \right)dy} . Der Satz von Fubini besagt (u.a.) \int_{{\mathbb{R}^d}}^{} {\int_{{\mathbb{R}^d}}^{} {f\left( {x,y} \right)dx} dy} = \int_{{\mathbb{R}^d}}^{} {\int_{{\mathbb{R}^d}}^{} {f\left( {x,y} \right)dy} dx} .

Lösung

{u_0} \in {L^1}\left( {{\mathbb{R}^d}} \right)

Zu zeigen:

\int\limits_{{\mathbb{R}^d}} {u\left( {x,t} \right)dx} = \int\limits_{{\mathbb{R}^d}} {{u_0}\left( x \right)dy}

Interpretation: Es geht keine Wärme verloren und wird keine neue produziert.

\int\limits_{{\mathbb{R}^d}} {u\left( {x,t} \right)dx} = \int\limits_{{\mathbb{R}^d}} {\int\limits_{{\mathbb{R}^d}} {{u_0}\left( y \right)U\left( {x-y,t} \right)dy} dx}

Wir dürfen die Integrationsreihenfolge verändern (Satz von Fubini):

\int\limits_{{\mathbb{R}^d}} {u\left( {x,t} \right)dx} = \int\limits_{{\mathbb{R}^d}} {\int\limits_{{\mathbb{R}^d}} {{u_0}\left( y \right)U\left( {x-y,t} \right)dx} dy}

= \int\limits_{{\mathbb{R}^d}} {{u_0}\left( y \right)\underbrace {\int\limits_{{\mathbb{R}^d}} {U\left( {x-y,t} \right)dx} }_{ = 1}dy} = \int\limits_{{\mathbb{R}^d}} {{u_0}\left( y \right)dy} \quad \quad \quad \square

Wenn man eine Verteilung über den gesamten Geltungsbereich integriert, erhält man als Ergebnis immer 1.

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