02 – Wärmewiderstand einer Hauswand

 

Berechnen Sie den Wärmewiderstand {R_{q,ges}} pro {m^2} der ebenen Außenmauer eines Wohnhauses. Die Mauer ist insgesamt 40cm dick. Sie besteht aus einer 26cm starken Ziegelwand, auf die außen eine 10cm starke Styropor-Isolationsschicht aufgebracht ist. Zum Korrosionsschutz ist die Styroporschicht mit einem 0,5cm dicken Kunststoffputz versehen. Innen wurde die Ziegelwand mit 3,5cm Feinputz überzogen. Für den Wärmeübergang auf der Außen- und Innenseite soll pauschal ein Wärmeübergangskoeffizient h = 10\frac{W}{{{m^2}K}} angenommen werden. Skizzieren Sie den Temperaturverlauf.

\begin{array}{*{20}{c}}{Material} &\vline & {Au{\ss}enputz} & {Styropor} & {Ziegel} & {Feinputz} \\ \hline{W\ddot armeleitf\ddot ahigkeit\:k\:\left[ {\frac{W}{{mK}}} \right]} &\vline & {0,58} & {0,04} & {0,82} & {0,65} \\   \end{array}

Lösung

Auch bei dieser Aufgabe handelt es sich um eine Ebene Geometrie, die aus einer Reihenschaltung thermischer Widerstände besteht. Die betrachtete Mauer besteht aus vier verschiedenen Materialschichten, zusätzlich zur vorherigen Aufgabe sind nun auch die konvektiven Wärmeübergänge an der Innen- und Außenseite zu berücksichtigen.
Der sich stationär einstellende Temperaturverlauf wird in der folgenden Skizze dargestellt:

warmeverlauf-wand-schichten-styropor

Die Temperaturgradienten in den einzelnen Materialien hängen neben der Temperaturdifferenz über die gesamte Wand von der Wärmeleitfähigkeit k des Materials und der Dicke der jeweiligen Schicht ab. Die Wärmewiderstände für die Leitung werden nach dem Fourier-Gesetz, die Widerstände für den konvektiven Wärmeübergang nach Newton berechnet:

{{\dot Q}_L} = -kA\nabla T = -\frac{1}{{{R_L}}}\Delta T\quad \Rightarrow \quad {R_L} = \frac{{\Delta x}}{{kA}}

{{\dot Q}_K} = hA\left( {{T_W}-{T_\infty }} \right) = \frac{1}{{{R_K}}}\left( {{T_W}-{T_\infty }} \right)\quad \Rightarrow \quad {R_K} = \frac{1}{{hA}}

Da die von der Wärme durchströmte Fläche in dieser Aufgabe konstant und für jede Schicht gleich ist, kann durch die Fläche A geteilt werden. Wir erhalten so den flächenspezifischen Gesamtwiderstand.

Wärmewiderstände als Blockschaltbild:

warmeverlauf-wand-schichten-schaltbild

{R_{th,q,ges}} = \frac{1}{h}+\frac{{\Delta {x_{FP}}}}{{{k_{FP}}}}+\frac{{\Delta {x_Z}}}{{{k_Z}}}+\frac{{\Delta {x_S}}}{{{k_S}}}+\frac{{\Delta {x_K}}}{{{k_K}}}+\frac{1}{h}

\quad \quad = \frac{1}{{10\frac{W}{{{m^2}K}}}}+\frac{{3,5 \cdot {{10}^{-3}}m}}{{0,65\frac{W}{{mK}}}}+\frac{{0,26m}}{{0,82\frac{W}{{mK}}}}+\frac{{0,1m}}{{0,04\frac{W}{{mK}}}}+\frac{{5 \cdot {{10}^{-3}}m}}{{0,58\frac{W}{{mK}}}}+\frac{1}{{10\frac{W}{{{m^2}K}}}}

\quad \quad = 3,0795\frac{{{m^2}K}}{W}