05 – Wasser in Doppelrohr-Wärmeübertrager

In einem adiabaten Doppelrohr-Wärmeübertrager (DR-WÜT) soll Wasser (Massenstrom ${\dot m_W} = 1\frac{{kg}}{s}$ ) von $0^\circ C$ und $1,01bar$ durch einen ausreichenden Massenstrom ${\dot m_D}$ eines im Ringspalt bei $1,01bar$ strömenden, trocken gesättigten Wasserdampfes auf $10^\circ C$ erwärmt werden. Der DR-WÜT arbeitet ohne nennenswerte Druckverluste.

Skizzieren Sie schematisch den DR-WÜT und tragen Sie in den Ein- und Austrittsquerschnitt die maßgeblichen Temperaturen ein. Tragen Sie über der Lauflänge $x$ der Wärme übertragenden Fläche $A$ den Verlauf der Temperaturen ${T_H}$ und ${T_C}$ des Wasserdampfes bzw. des Wassers auf.
Berechnen Sie die resultierende Leistung ${\dot Q_{ges}}$ des DR-WÜTs.
Wie groß ist der mindestens erforderliche Massenstrom ${\dot m_D}$ (der Dampf am Austritt ist gerade vollständig kondensiert)?
Wie groß muss die Außenfläche $A$ des Innenrohrs sein, wenn der mit dieser Fläche gebildete Wärmedurchgangskoeffiezient $R_q^{-1} = \frac{{10}}{3}\frac{{kW}}{{{m^2}K}}$ beträgt?
nach welcher Lauflänge nimmt, bei einem Außendurchmesser des Innenrohrs von 10mm, das Wasser die Temperatur $5^\circ C$ an?

Gegeben:

spezifische Wärmekapazität von Wasser bei $T = 0^\circ C$ : ${c_W} = 4,219\frac{{kJ}}{{kgK}}$
Verdampfungsenthalpie von Wasser bei 1,01bar, $T = 100^\circ C$ : $r = 2256,6\frac{{kJ}}{{kg}}$

Lösung

a )

Ein Ringspalt entspricht einem zweiten Rohr, das konzentrisch um das innere gelegt ist. Wir können das Problem entweder so skizzieren:

wasser-dampf-warmeubertrager

Oder wir fertigen eine Funktionsskizze des Einstromwärmeübertragers an:

warmeubertrager-verlauf-skizze

Es ergeben sich die Temperaturdifferenzen:

$\Delta {T_0} = {T_D}-{T_W} = 100^\circ C-0^\circ C = 100^\circ C$

$\Delta {T_L} = T_D^\prime -T_W^\prime = {T_D}-T_W^\prime = 100^\circ C-10^\circ C = 90^\circ C$

b )

Ausgehend von stationärem Betrieb und unter Beachtung der Tatsache, dass technische Arbeit und Änderungen der kinetischen und potentiellen Energie null sind, liefert der erste Hauptsatz der Thermodynamik für das Teilsystem „Wasser“ den gesamten übertragenen Wärmestrom, die Leistung des Wärmeübertragers:

$\frac{{dE}}{{dt}} = 0 = \sum {\dot Q} +\underbrace {\sum {\dot W} }_{ = 0}+\sum {\dot mh}$

$\quad \Rightarrow \quad {{\dot Q}_{ges}} = {{\dot m}_W}{c_W}\left( {T_W^\prime -{T_W}} \right) = 1\frac{{kg}}{s} \cdot 4219\frac{J}{{kgK}} \cdot 10K = 42,19kW$

c )

Wenn alles vollständig kondensiert ist, haben wir am Ausgang einen Dampfgehalt von $x = 0$ . Wenn dies der Fall ist, gibt der Verdampfungsstrom die gesamte Enthalpie an das Wasser ab:

$0 = {\dot m_D}\left( {h_D^\prime -{h_D}} \right)-{\dot Q_{ges}} = {\dot m_D}\underbrace {\left( {{h^{\prime \prime }}-{h^\prime }} \right)}_r-{\dot Q_{ges}}$

Dabei ist $r$ die Verdampfungsenthalpie bzw. die Kondensationsenthalpie.
Verdampfungsenthalpie von Wasser bei 1,01bar, $T = 100^\circ C$ : $r = 2256,6\frac{{kJ}}{{kg}}$

Einsetzen und umstellen:

${\dot m_D} = \left| {\frac{{{{\dot Q}_{ges}}}}{r}} \right| = \frac{{42,19kW}}{{2256,6\frac{{kJ}}{{kg}}}} = 0,0187\frac{{kg}}{s}$

Diesen Strom muss man in den Wärmeübertrager einführen, damit genau alles kondensiert.

d )

Der flächenspezifische Widerstand ist gegeben. Der Wärmestrom, der flächenspezifisch übertragen wird, ist die logarithmische Temperaturdifferenz geteilt durch den Wärmewiderstand:

$\dot q = \frac{{\Delta {T_{\log }}}}{{{R_q}}}\quad \Rightarrow \quad {{\dot Q}_{ges}} = {{\dot q}_{ges}}A = \frac{{\Delta {T_{\log }}}}{{{R_q}}}A$

$\Delta {T_{\log }} = \frac{{\Delta {T_0}-\Delta {T_L}}}{{\ln \left( {\frac{{\Delta {T_0}}}{{\Delta {T_L}}}} \right)}} = \frac{{100K-90K}}{{\ln \left( {\frac{{100K}}{{90K}}} \right)}} = 94,91K$

$\quad \Rightarrow \quad A = \frac{{{{\dot Q}_{ges}}{R_q}}}{{\Delta {T_{\log }}}} = \frac{{42,19kW \cdot 0,3\frac{{{m^2}K}}{{kW}}}}{{94,91K}} = 0,133{m^2}$

e )

Aus der Formelsammlung: Lokale Temperaturdifferenz im Wärmeübertrager

$\Delta T\left( x \right) = \Delta {T_0}{e^{-{C_0}x}}$

Für den hier vorliegenden Einstromwärmeübertrager ergibt sich die Abklingkonstante

${C_0} = \frac{1}{{W{R_L}}}$

Dabei ist $W = {\dot m_W}{c_W}$ der Wasserwert und ${R_L} = {R_{ges}}L$ . Den Gesamtwiderstand berechnen wir mit

${R_{ges}} = \frac{{{R_q}}}{A} = \frac{{{R_q}}}{{d\pi L}}$

Damit ergibt sich:

${C_0} = \frac{1}{{W{R_L}}} = \frac{1}{{{{\dot m}_W}{c_W}\frac{{{R_q}}}{{d\pi}}}} = \frac{{\pi \cdot 0,01m}}{{1\frac{{kg}}{s} \cdot 4219\frac{J}{{kgK}} \cdot 0,3\frac{{{m^2}K}}{{kW}}}} = 0,0248\frac{1}{m}$

Die Länge, nach der das Wasser um $5K$ erwärmt worden ist, ist gleich dem Ort, an dem die lokale Temperaturdifferenz $T\left( x \right) = 95K$ beträgt, da sich die Dampftemperatur nicht ändert.