03 – Wasserdampf in Hochdruckrohr

 

In einem 200m langen, freiliegenden und nicht isolierten Hochdruckrohr strömt trocken gesättigter Wasserdampf mit einem Druck p = 50bar und einer Temperatur T = 263,92^\circ C ein. Der Außendurchmesser des Rohrs beträgt {d_a} = 120mm , seine Wandstärke s = 10mm .

  1. Wie viel Prozent des Wasserdampfs kondensiert in der Leitung, wenn die Umgebungstemperatur {T_U} = 0^\circ Cbeträgt und der Dampf mit 20\frac{m}{s} in die Leitung einströmt? Der Konvektive Wärmeübergang an der Innenseite des Rohrs wird mit dem Wärmeübergangskoeffizienten {h_i} = 1000\frac{W}{{{m^2}K}} , an der Außenseite des Rohrs mit dem Wärmeübergangskoeffizienten {h_a} = 10\frac{W}{{{m^2}K}} beschrieben.
  2. Begründen Sie durch Rechnung, warum man die Temperaturdifferenz innerhalb der Rohrwand näherungsweise vernachlässigen kann.

\begin{array}{*{20}{c}}    {W\ddot armeleitf\ddot ahigkeit\:\:k} &\vline &  {60\frac{W} {{mK}}}  \\ \hline    {Dichte\:\:des\:\:Wasserdampfes\:\:\rho \:\:bei\:\:T = 263,92^\circ C} &\vline &  {25,4\frac{{kg}} {{{m^3}}}}  \\ \hline    {Verdampfungsenthalpie\:\:\Delta {h_{fg}}\:\:bei\:\:T = 263,92^\circ C} &\vline &  {1640,8\frac{{kJ}} {{kg}}}  \\   \end{array}

Lösung

a )

Skizze des Problems:

wasserdampf-hochdruckrohr-warme

Es wird ein stationärer Betrieb betrachtet. Druckverluste im Rohr werden vernachlässigt. Daher ändert der Dampf seine Temperatur so lange nicht, bis er vollständig kondensiert ist, was aber innerhalb des hier untersuchten Rohrs nicht geschieht. Die Dampftemperatur und ebenso die Umgebungstemperatur sind über die Rohrlänge konstant. Es reicht daher eine eindimensionale Rechnung in radialer Richtung aus.

Es bietet sich an, ein System um das gesamte System herum zu legen und den ersten Hauptsatz aufzustellen, um den Wärmestrom durch die Rohrwand zu berechnen:

\frac{{dE}}{{dt}} = \sum {\dot Q} +\sum {\dot W} +\sum {\dot m{h_{tot}}}

Wegen stationärem Betrieb ist

\frac{{dE}}{{dt}} = 0

Da es keine technische Vorrichtung gibt, ist auch die Arbeit 0:

\sum {\dot W} = 0

Es gibt einen Wärmestrom, der das System verlässt:

\sum {\dot Q} = -\dot Q

Ein Massenstrom (Wasserdampf) tritt in das System ein. Zwei Massenströme (Wasserdampf und Wasser) treten aus dem System aus:

\sum {\dot m{h_{tot}}} = {\dot m_{E,d}}{h^{\prime \prime }}-{\dot m_{A,f}}{h^\prime }-{\dot m_{A,d}}{h^{\prime \prime }}

Alles einsetzen:

\frac{{dE}}{{dt}} = \sum {\dot Q} +\sum {\dot W} +\sum {\dot m{h_{tot}}} \quad \Rightarrow \quad 0 = -\dot Q+{\dot m_E}{h^{\prime \prime }}-{\dot m_{A,f}}{h^\prime }-{\dot m_{A,d}}{h^{\prime \prime }}

Wir definieren die beiden ausströmenden Massenströme über den einströmenden:

{{\dot m}_{A,d}} = {{\dot m}_E} \cdot x

{{\dot m}_{A,f}} = {{\dot m}_E}\left( {1-x} \right)

Dabei ist x der Teil, der nach Durchgang durch das Rohr immer noch Dampf ist. Einsetzen:

0 = -\dot Q+{{\dot m}_E}{h^{\prime \prime }}-{{\dot m}_E}\left( {1-x} \right){h^\prime }-{{\dot m}_E}x{h^{\prime \prime }}

0 = -\dot Q+{{\dot m}_E}{h^{\prime \prime }}-{{\dot m}_E}{h^{\prime \prime }}x-{{\dot m}_E}\left( {1-x} \right){h^\prime }

0 = -\dot Q+{{\dot m}_E}\left( {1-x} \right){h^{\prime \prime }}-{{\dot m}_E}\left( {1-x} \right){h^\prime }

\quad \Rightarrow \quad \dot Q = {{\dot m}_E}\left( {1-x} \right)\underbrace {\left( {{h^{\prime \prime }}-{h^\prime }} \right)}_{\Delta {h_{fg}}}

\quad \Rightarrow \quad x = 1-\frac{{\dot Q}}{{{{\dot m}_E}\Delta {h_{fg}}}}

Wir wissen nicht, wie hoch der Verlustwärmestrom ist. Die Verdampfungsenthalpie ist in der Aufgabenstellung gegeben. Von dem einfließenden Massenstrom kennen wir Querschnittsfläche, Dichte und Geschwindigkeit:

{\dot m_E} = vA\rho = 20\frac{m}{s} \cdot \pi \cdot {\left( {\frac{{0,1m}}{2}} \right)^2} \cdot 25,4\frac{{kg}}{{{m^3}}} = 3,99\frac{{kg}}{s}

(Vorsicht, nicht den Außendurchmesser benutzen!)

In der folgenden Skizze wurde von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten transformiert:

wasserdampf-hochdruckrohr-warmeverlauf

Der Verlauf in der Wand resultiert aus dem Fourierschen Gesetz:

\dot Q = -kA\frac{{dT}}{{dr}}

Bei einer Platte (konstante Querschnittsfläche) ist daher der Verlauf in der Wand linear. Bei einer Kugel oder einem Rohr wird die Querschnittsfläche nach außen hin größer, daher ist der Verlauf nicht mehr linear.

Ersatzsystem (wie ohmsches Gesetz):

hochdruckrohr-schaltbild-warmeubertragung

Der Wärmestrom ist immer die gesamte Temperaturdifferenz geteilt durch den gesamten Wärmewiderstand:

\dot Q = \frac{{\Delta T}}{{{R_{ges}}}}

{R_{ges}} = {R_{hi}}+{R_W}+{R_{ha}}

Diese einzelnen Wärmewiderstände sind beim Rohr anders als bei der Platte (und bei einer Kugel noch mal anders). Für die Rohrwand gilt:

{R_{hi}} = \frac{1}{{{A_i}{h_i}}},\quad {R_{ha}} = \frac{1}{{{A_a}{h_a}}},\quad {R_W} = \frac{{\ln \left( {\frac{{{d_a}}}{{{d_i}}}} \right)}}{{2\pi kL}}

{R_{hi}} = \frac{1}{{{A_i}{h_i}}} = 1,59 \cdot {10^{-5}}\frac{K}{W}

{R_{ha}} = \frac{1}{{{A_a}{h_a}}} = 1,3 \cdot {10^{-3}}\frac{K}{W}

{R_W} = \frac{{\ln \left( {\frac{{{d_a}}}{{{d_i}}}} \right)}}{{2\pi kL}} = 2,418 \cdot {10^{-6}}\frac{K}{W}

Daraus folgt ein Gesamtwärmewiderstand von:

{R_{ges}} = 0,134 \cdot {10^{-2}}\frac{K}{W}

Damit folgt für den Wärmestrom:

\dot Q = \frac{{\Delta T}}{{{R_{ges}}}} = \frac{{263,92K}}{{0,134 \cdot {{10}^{-2}}\frac{K}{W}}} = 197,2kW

Daraus folgt:

x = 1-\frac{{\dot Q}}{{{{\dot m}_E}\Delta {h_{fg}}}} = \frac{{1,972 \cdot {{10}^5}W}}{{3,99\frac{{kg}}{s} \cdot 1,6408 \cdot {{10}^6}\frac{{Ws}}{{kg}}}} = 0,97

Es kondensieren also 3% des Wasserdampfes.

b )

Zur Beantwortung dieser Teilaufgabe setzt man einfach die gegebenen Werte in Formel für den Wärmewiderstand der Rohrwand ein:

{R_W} = \frac{{\ln \left( {\frac{{0,12m}}{{0,10m}}} \right)}}{{2\pi \cdot 60\frac{W}{{mK}} \cdot 200m}} = 2,42 \cdot {10^{-6}}\frac{K}{W}

Und man erkennt aus dem Verhältnis dieses Wertes zu {R_{ges}}, dass der Wärmewiderstand der Rohrwand nur 0,18% des Gesamtwärmewiderstandes ausmacht. Die über die Wand selbst auftretende Temperaturdifferenz fällt daher nicht stark ins Gewicht und kann vernachlässigt werden. Man beachte aber, dass in den Fluiden (Luft der Umgebung bzw. Dampf) in den Wandgrenzschichten ein deutlicher Temperaturabfall auftritt.