Wechselstromnetzwerk

 

Gegeben ist die untenstehende Schaltung aus einer Kapazität C, einer Induktivität L und 2 gleichen Widerständen R_1  = R_2  = R, die mit einer variablen Kreisfrequenz \omega betrieben werden.

Wechselstromnetzwerk

Vorab die Formel für die Induktionsspannung:

U_L  = L\frac{{di}} {{dt}}

Der allgemeine Ausdruck für einen Ersatzwiderstand zweier paralleler Widerstände ist:

R_\parallel   = \frac{{R_1 R_2 }} {{R_1 +R_2 }}

Der komplexe Widerstand einer Spule leitet sich wie folgt her:

i(t) = \hat I\sin (\omega t)

U_L  = L\frac{d} {{dt}}\hat I\sin (\omega t)

U_L  = L\hat I\frac{d} {{dt}}\sin (\omega t) = \omega L\hat Icos(\omega )

U_L  = \omega L\hat Isin\left( {\omega t+\frac{\pi } {2}} \right)

U_L  = j\omega L\hat Isin(\omega t)

i_c  = C\frac{{dU}} {{dt}}

Somit ergibt sich der Widerstand einer Spule für komplexe Vorgänge:

Z_L  = j\omega L

Der Innenwiderstand ist dann:

Ebenso kann man den komplexen Widerstand für einen Kondensator herleiten. Resultierend ergibt sich:

Z_c  = \frac{1} {{j\omega c}}

z_1  = \frac{{R_1 j\omega L}} {{R_1 +j\omega L}}

U_L  = \omega L\hat Icos(\omega t)

a )

Berechnen Sie den Innenwiderstand Z_{i,22,U} der Schaltung bzzgl. Des Klemmenpaares 2-2´ in Abhängigkeit von R,L,C und \omega für den Fall, dass die Schaltung am Klemmenpaar 1-1´ mit einer Spannungsquelle U_E betrieben wird.

Wechselstromnetzwerk

Z_2  = R_2 +Z_1

Z_2  = R_2 +\frac{{R_1 j\omega L}} {{R_1 +j\omega L}}

Z_{i,22 ^{\prime},u}  = \frac{{\frac{1} {{j\omega c}}\cdot Z_2 }} {{Z_2 +\frac{1} {{j\omega c}}}} = \frac{{Z_2 }} {{1+j\omega cZ_2 }}

Z_{i,22 ^{\prime},u}  = \frac{{R_2 +\frac{{R_1 j\omega L}} {{R_1 +j\omega L}}}} {{1+j\omega c\left[ {R_2 +\frac{{R_1 j\omega L}} {{R_1 +j\omega l}}} \right]}}

b )

Berechnen Sie den Innenwiderstand Z_{i,22,I} der Schaltung bzzgl. Des Klemmenpaares 2-2´ in Abhängigkeit von R,L,C und \omega für den Fall, dass die Schaltung am Klemmenpaar 1-1´ mit einer Stromquelle I_E betrieben wird.

Wechselstromnetzwerk

Z_1  = R_1 +\frac{1} {{j\omega c}}

Z_2  = \frac{{Z_1 R_2 }} {{Z_1 +R_2 }} = \frac{{\left( {R_1 +\frac{1} {{j\omega c}}} \right)\cdot R_2 }} {{R_1 +R_2 +\frac{1} {{j\omega c}}}}

Z_{i,22 ^{\prime},I}  = Z_2 +j\omega L

Z_{i,22 ^{\prime},I}  = \frac{{\left( {R_1 +\frac{1} {{j\omega c}}} \right)\cdot R_2 }} {{R_1 +R_2 +\frac{1} {{j\omega c}}}}+j\omega L

c )

Berechnen Sie
(1) den Strom I_C durch den Kondensator
(2)den Strom I_L durch die Spule und
(3)den Strom I_Rdurch den Widerstand R_1

Abhängig von den gegebenen Größen, wenn die Schaltung am Klemmenpaar 1-1´mit einer Spannungsquelle U_E betrieben wird.

Wechselstromnetzwerk

\frac{{U_L }} {{U_E }} = \frac{{j\omega L}} {{Z_1 +j\omega L}}

I_L  = \frac{{U_E }} {{j\omega L}}\cdot \frac{{j\omega L}} {{Z_1 +j\omega L}}

Z_1  = \frac{{\left( {R_2 +\frac{1} {{j\omega L}}} \right)R_1 }} {{R_1 +R_2 +\frac{1} {{j\omega c}}}}

Z_1  = R_1 \frac{{1+j\omega cR_2 }} {{1+j\omega c(R_1 +R_2 )}}

I_E  = I_L  = U_E \frac{1} {{j\omega L+R_1 \frac{{1+j\omega cR_2 }} {{1+j\omega c(R_1 +R_2 )}}}}

I_E  = I_c  = U_E \frac{1} {{j\omega L+R\frac{{1+j\omega cR}} {{1+j\omega c2R}}}}

i_1  = I_E \frac{{R_2 }} {{R_1 +R_2 }}

i_2  = I_E \frac{{R_1 }} {{R_1 +R_2 }}

i_2  = U_E \frac{1} {{j\omega L+R\frac{{1+j\omega cR}} {{1+j\omega c2R}}}}\frac{R} {{2R+\frac{1} {{j\omega c}}}}

I_R  = I_E \frac{{R_2 +\frac{1} {{j\omega c}}}} {{R_1 +R+\frac{1} {{j\omega c}}}}

I_R  = U_E \frac{1} {{j\omega L+R\frac{{1+j\omega cR}} {{1+j\omega c2R}}}}\frac{{R+\frac{1} {{j\omega c}}}} {{2R+\frac{1} {{j\omega c}}}}

d )

Berechnen Sie
(1) den Strom I_C durch den Kondensator
(2)den Strom I_L durch die Spule und
(3)den Strom I_Rdurch den Widerstand R_1
Abhängig von den gegebenen Größen, wenn die Schaltung am Klemmenpaar 1-1´mit einer Stromquelle I_E betrieben wird.

I_L  = I_E

I_c  = I_E \frac{{R_1 }} {{R_1 +R_2 +\frac{1} {{j\omega c}}}} = I_E \frac{R} {{2R+\frac{1} {{j\omega c}}}}

I_R  = \frac{{R_2 +\frac{1} {{j\omega c}}}} {{R_1 +R_2 +\frac{1} {{j\omega c}}}} = I_E \frac{{1+j\omega cR}} {{1+j\omega c2R}}

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