Vorwissen Abitur (2): Wellen und Quantenobjekte

Reflexionsgitter

reflexionsgitter

Ein roter Laserstrahl wird von einem Reflexionsgitter reflektiert und trifft danach auf einen Schirm. Beobachtung: Auf dem Schirm sieht man mehrere, in einer Linie angeordnete Punkte.
Der Laserstrahl wird nicht einfach in sich reflektiert, da am Gitter das Huygensche Prinzip auftritt: An den Rillen entstehen Elementarwellen gleicher Frequenz und Wellenlänge, die sich in Richtung Schirm ausbreiten und sich dabei überlagern. Dadurch entstehen Maxima in Form der roten Punkte und Gebiete kompletter Auslöschung dazwischen (Interferenz).

Herleitung der Formel:

Ansatz:

$\Delta s = n\lambda$

$\sin \alpha = \frac{{\Delta s}} {d}$

$\sin \alpha = \frac{{a_n }} {{\sqrt {e^2 +a_n ^2 } }}$

Durch Gleichsetzen erhalten wir:

$\frac{{\Delta s}} {d} = \frac{{a_n }} {{\sqrt {e^2 +a_n ^2 } }}$

Nun zur Bestimmung der Wellenlänge:

$\frac{{n\lambda }} {d} = \frac{{a_n }} {{\sqrt {e^2 +a_n ^2 } }} \Leftrightarrow \lambda = \frac{{d \cdot a_n }} {{n \cdot \sqrt {e^2 +a_n ^2 } }}$

Überlagerung zu einem Minimum (nur beim Doppelspalt):

$\sin \alpha _n = \frac{{\left( {2n+1} \right)\frac{\lambda } {2}}} {d}$

Reflexion an einer dünnen Schicht

Ein paralleles Strahlenbündel trifft die Vorderseite einer dünnen Schicht (z.B. Seifenhaut) nahezu senkrecht. Die beiden Strahlen 1 und 2 legen unterschiedliche Wege zurück. Strahl 2 nimmt einen Umweg durch die dünne Schicht, in der er eine kleinere Wellenlänge und Geschwindigkeit als in Luft hat. Bei der Reflexion des Strahls 1 an dem optisch dichteren Medium ( $n > 1$ ) tritt ein Phasensprung von p auf.

Mathematische Erfassung von Lichtweg 1:

$a+b+\frac{\lambda}{2}$ <- mit Phasensprung

Lichtweg 2:

$a+b+2d \cdot n$ <- doppelte Durchquerung der Schicht und andere Geschwindigkeit dabei

Gangunterschied: Unterschied der Lichtwege:

$\Delta s = a+b+\frac{\lambda } {2}-\left( {a+b+2dn} \right) = \frac{\lambda } {2}-2dn$

Wenn dieser Gangunterschied die Bedingung für das Maximum erfüllt, überlagern sich die Lichtstrahlen konstruktiv zu einem Lichtpunkt auf dem Schirm. Die Bedingung für Maxima ist:

$\Delta s = k \cdot \lambda$

Braggsche Reflexion (Kristall)

Die blauen Linien entsprechen Wellenzügen monochromatischer Röntgenstrahlung, die auf parallele Gitterebenen treffen und dabei mit dem Lot den Winkel $\alpha$ einschließen. Der Komplementärwinkel $\theta = 90^\circ-\alpha$ heißt Braggwinkel oder Glanzwinkel. $d$ ist der Gitterebenenabstand, die schwarzen Punkte Gitterpunkte. Der Gangunterschied beträgt:

$\Delta s = 2\delta$

Damit sich die beiden Wellenzüge konstruktiv überlagern, muss gelten:

$\Delta s = n\lambda$

Berechnung von $d$ :

$\sin \theta = \frac{\delta } {d} \Leftrightarrow \delta = \sin \theta \cdot d$

Bragg-Gleichung:

$2d \cdot \sin \theta = n\lambda$

Wellenmerkmale von Elektronen

Elektronen haben im Gegensatz zu Photonen eine Ruhemasse und sind damit Materieteilchen. Trotzdem haben sie auch Welleneigenschaften.

De-Broglie-Wellen

Louis De Broglie beschrieb die Ausbreitung von Teilchen als Wellen in Analogie zum Licht. Grundlage: Ausbreitung von Licht:

$E = hf$

$E = mc^2$

$p = \frac{h} {\lambda }$

Hypothesen von De Broglie:

Die Ausbreitung eines jeden Teilchens erfolgt als eine Welle, deren Wellenlänge durch $\lambda = \frac{h}{p}$ gegeben ist. $H$ ist das Plancksche Wirkungsquantum und $p$ der Impuls des Teilchens.
Zwischen der Frequenz der Welle und der Gesamtenergie $E$ des Teilchens besteht die Beziehung $E = hf$

Beispiel: Berechnung der Wellenlänge von Elektronen (Beschl. Spannung 4000V)

$\frac{1} {2}mv^2 = eU \Rightarrow v = 3,75 \cdot 10^7 \frac{m} {s}$

$p = mv \Rightarrow p = 3,42 \cdot 10^{-23} \frac{{kg \cdot m}} {s}$

$\lambda = \frac{h} {p} = 1,9 \cdot 10^{-11} m$

Die berechnete Wellenlänge liegt im Bereich der Röntgenstrahlung. Die Welleneigenschaften können also wie bei dieser durch Interferenz beim Durchgang durch einen Kristall nachgewiesen werden.

Interferenz von Elektronenwellen

Beim Durchgang einer Elektronenwelle durch einen Kristall kann auf einem dahinter angebrachten Schirm ein Interferenzbild beobachtet werden. Dieses besteht aus einem hellen Zentrum und nach außen hin immer dunkler werdenden Ringen (Maxima). Die Interferenz kommt durch die Braggsche Reflexion zustande: Die Netzebenen des Kristalles bilden mit dem einfallenden Strahl alle möglichen Winkel und u.a. auch stets solche, für die die Braggsche Gleichung $2d \cdot \sin \theta =n\lambda$ erfüllt ist. Die mit dieser Formel berechnete Wellenlänge des Elektronenstrahls ergibt einen ähnlichen Wert wie die De-Broglie-Wellenlänge.

Photoeffekt (Photonenmodell und planksche Konstante)

Versuch 1:

Aufbau/Durchführung:
Mit einer Quecksilberdampflampe wird eine geladene Zinkplatte beleuchtet, die an ein Elektroskop angeschlossen ist.

Beobachtung:
Die Zinkplatte entlädt sich langsam.

Erklärung:
Die freien Elektronen in der geladenen Platte haben eine kinetische Energie E_kin, die aber bei Zimmertemperatur nicht groß genug ist, um sie aus der Platte zu lösen. Das Licht überträgt eine zusätzliche Energie auf die Elektronen. Wenn die Energie größer als die Austrittsarbeit W_A ist, treten die Elektronen aus der Platte aus und diese wird dadurch entladen.

Versuch 2:

Photozelle mit Quecksilberdampflampe

Aufbau/Durchführung:
Eine Photozelle wird mit einer Quecksilberdampflampe beleuchtet. Die entstandene Spannung wird gemessen.

Beobachtung:
Die Spannung steigt am Anfang und bleibt dann auf einem konstanten Maximalwert stehen.

Erklärung:
Die von der Lampe ausgesandten Photonen passieren das Gitter und treffen auf die Elektrode. Dort geben sie ihre kinetische Energie E = hf ab.
Ist die Energie größer als die Austrittsarbeit W_A der Elektronen (stoffabhängig), werden freie Elektronen aus der Elektrode gelöst und mit der Restenergie E = hf-W_A in Richtung Gitter beschleunigt. Dadurch entsteht eine Spannung, die gemessen werden kann. Gleichzeitig entsteht ein elektrisches Gegenfeld, das mit der Zeit immer stärker wird, bis die kinetische Energie der Elektronen und die Feldenergie gleich groß sind:

${E_{kin} = E_{el} \Rightarrow \frac{1} {2}mv^2 = eU}$

Die Elektronen werden nun nicht mehr zur Anode beschleunigt und die Spannung bleibt konstant.

Auswertung der Versuche

1. (V1) Der Entladungsvorgang nimmt mit der Beleuchtungsstärke zu.

Wellenmodell: Erklärung möglich. Der größeren Intensität entspricht eine größere Energie. Also sind mehr Elektronen herauslösbar.

Teilchenmodell: Erklärung möglich. Der größeren Intensität entspricht eine größere Anzahl von Teilchen. Diese können mehr Elektronen herauslösen.

2. (V1) Der Entladungsvorgang tritt nur bei Bestrahlung mit kurzwelligem Licht auf (auch langwelliges Licht mit hoher Energie geht nicht).

Wellenmodell: Erklärung nicht möglich. Eine Vergrößerung der Intensität bedeutet eine Vergrößerung der Energie. Sie müsste in jedem Fall einen Entladungsvorgang bewirken.

Teilchenmodell: Erklärung möglich. Nur bestimmte Teilchen vermögen Elektronen herauszulösen. Eine Vergrößerung der Anzahl ungeeigneter Teilchen führt zu keinem Erfolg.

3. (V2) Die Energie ist proportional zur Frequenz.

Wellenmodell: Erklärung nicht möglich. Die Energie einer Welle ist zum Quadrat der Frequenz proportional.

Teilchenmodell: Erklärung nicht möglich. Die Größe der Frequenz ist dem Teilchenmodell fremd.

4. (V2) Die kinetische Energie ist von der Beleuchtungsstärke unabhängig (keine höhere Spannung bei kleinerem Abstand).

Wellenmodell: Erklärung nicht möglich. Die Energie einer Welle ist zum Quadrat der Amplitude proportional.

Teilchenmodell: Erklärung möglich. Die Teilchen haben eine feste Energie, die sie abgeben. Mehr Teilchen: mehr, aber nicht schnellere Elektronen.

Bestimmung des planckschen Wirkungsquantums

Auf der abgebildeten Geraden wurde die kinetische Energie der Elektronen in Abhängigkeit von der Frequenz der Photonen aufgetragen (Einsteinsche Gerade).

Die Gerade berechnet sich wie folgt:

$E = h \cdot f+W_A$

$h = \frac{{\Delta E}} {{\Delta f}}$

Die Steigung m nennt man plancksches Wirkungsquantum:

$h = \frac{{E-W_A }} {f}$

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