Wichtige Definitionen für die Klausur

 

Mittelwertsatz

Wenn eine Funktion auf dem geschlossenen Intervall [a,b] stetig und auf dem offenen Intervall ]a,b[ differenzierbar ist, dann folgt daraus, dass es ein c in ]a,b[ gibt mit

f ^{\prime}\left( c \right) = \frac{{f\left( b \right)-f\left( a \right)}} {{b-a}}.

Regel von De l'Hospital

Wenn für zwei auf dem offenen Intervall ]a,b[ differenzierbare Funktionen gilt:

f\left( a \right) = g\left( a \right) = 0\quad g\left( x \right) \ne 0\:\forall x \in \left] {a,b} \right[\backslash \left\{ a \right\}\quad g ^{\prime}\left( x \right) \ne 0

dann folgt daraus:

\lim \limits_{x \to a,x \ne a} \frac{{f\left( x \right)}} {{g\left( x \right)}} = \frac{{f ^{\prime}\left( a \right)}} {{g ^{\prime}\left( a \right)}}

Differenzierbarkeit

Eine Funktion ist an der Stelle a genau dann differenzierbar, wenn der folgende Grenzwert existiert:

f ^{\prime}\left( x \right) = \lim \limits_{x \to a,x \ne a} \frac{{f\left( x \right)-f\left( a \right)}} {{x-a}} = \lim \limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {a+h} \right)-f\left( a \right)}} {h}

Stetigkeit

Eine Funktion ist stetig an der Stelle a, wenn gilt:

\forall \varepsilon > 0\:\exists \delta > 0:\left| {f\left( x \right)-f\left( a \right)} \right| < \varepsilon \:\forall \:x \in D:\left| {x-a} \right| < \delta

Sie ist gleichmäßig stetig, wenn gilt:

\forall \varepsilon > 0\:\exists \delta > 0:\left| {f\left( x \right)-f\left( y \right)} \right| < \varepsilon \:\forall \:x,y \in D:\left| {x-y} \right| < \delta