3.04 – Widerstand und Schub in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit und Flughöhe

 
  1. Stellen Sie für ein Flugzeug mit geschwindigkeitsunabhängiger Leistung Widerstand und Schub in Abhängigkeit von V/{V^*} für verschiedene Flughöhen (H \approx 0km, mittlere Flughöhe, Gipfelhöhe) dar, wenn für die Höhenabhängigkeit der Triebwerksleistung P \sim {\rho ^{{n_\rho }}} gilt.
  2. Begründen Sie anhand dieses Diagramms, ob das Flugzeug im Gipfelpunkt mit minimalem Widerstand fliegt. Wie groß ist die Gipfelpunktgeschwindigkeit? (Begründung!): V < {V^*},\quad V = {V^*},\quad V > {V^*}
  3. Leiten Sie – ausgehend von den Gleichungen des stationären Horizontalflugs im Gipfelpunkt – einen analytischen Ausdruck zur Berechnung der Gipfelhöhe dieses Flugzeugs her.

Lösung 3.04

a)

geschwindigkeit-widerstand-schub-diagramm

b)

Im Gipfelpunkt ist der Widerstand bei geschwindigkeitsunabhängigem Schub minimal. Wäre er nicht minimal, könnte man durch Minimierung des Widerstandes eine noch größere Höhe erreichen.

Die Gipfelpunktgeschwindigkeit ist V = {V^*}, denn es gilt:

{\left. {\frac{V} {{{V^*}}}} \right|_{H,\max }} = \sqrt[4]{{\frac{{2+{n_V}}} {{2-{n_V}}}}} = 1\quad \quad f\ddot ur\:\:{n_V} = 0

c)

Für die maximale Flughöhe bei vorgegebenem Geschwindigkeitsverhältnis gilt:

\frac{{{\rho _{\min }}}} {{{\rho _{ref}}}} = {\left[ {\frac{{{\varepsilon _{\min }}mg}} {{2{L_{ref,\max }}V_{ref}^{*{n_V}}}}\left( {{{\left( {\frac{V} {{{V^*}}}} \right)}^{2-{n_V}}}+{{\left( {\frac{{{V^*}}} {V}} \right)}^{2+{n_V}}}} \right)} \right]^{\frac{2} {{2{n_\rho }-{n_V}}}}}

In der Aufgabenstellung ist {n_V} = 0 gefordert. Wir wissen außerdem, dass in diesem Fall die Geschwindigkeit der optimalen Geschwindigkeit entspricht, was die Gleichung vereinfacht:

\frac{{{\rho _{\min }}}} {{{\rho _{ref}}}} = {\left[ {\frac{{{\varepsilon _{\min }}mg}} {{2{L_{ref,\max }}}}\left( {{{\left( {\frac{V} {{{V^*}}}} \right)}^2}+{{\left( {\frac{{{V^*}}} {V}} \right)}^2}} \right)} \right]^{\frac{1}{{n_\rho }}}} = {\left[ {\frac{{{\varepsilon _{\min }}mg}} {{{L_{ref,\max }}}}} \right]^{\frac{1}{{n_\rho }}}}

Mit

\frac{\rho } {{{\rho _0}}} = {\left( {1+\frac{{{\gamma _H}}} {{{T_0}}}H} \right)^{-\frac{g} {{R\:{\gamma _H}}}-1}}

folgt

{H_{\max }} = \frac{{{T_0}}} {{{\gamma _H}}}\left( {{{\left( {\frac{{{\rho _{\min }}}} {{{\rho _{ref}}}}} \right)}^{-\frac{{R\:{\gamma _H}}} {{g+R\:{\gamma _H}}}}}-1} \right)

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4 Kommentare zu “3.04 – Widerstand und Schub in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit und Flughöhe”

in der Zeile: \frac{\rho_{min}}{\rho_{ref}} müsste im Exponenten statt -n_{\rho} \frac{1}{n_{\rho}} stehen

Danke für den Hinweis, wurde korrigiert.

Müsste bei Aufgabe a) die x-Achse nicht V anstelle von V/V* sein?

@2015: In der Aufgabenstellung ist aber V/V* gefordert.

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