U 06.2 – Widerstandsthermometer

 

Sie haben zur Temperaturmessung zwei Widerstandsthermometer zur Verfügung. Zum einen ein PT100 (nach Norm ITS-90), welches folgende Kennliniengleichung besitzt:

\frac{{R\left( t \right)}}{{{R_0}}} = 1+A \cdot T+B \cdot {T^2}+C \cdot \left( {100^\circ C-T} \right) \cdot {T^3}

mit den Koeffizienten:

A = 3.9083 \times {10^{-3}}\frac{1}{{^\circ C}},\quad B = -5.775 \times {10^{-7}}\frac{1}{{^\circ {C^2}}},\quad C = -4.183 \times {10^{-12}}\frac{1}{{^\circ {C^4}}}

Zum anderen haben Sie ein Halbleiterthermometer aus Silizium, das so beschaltet ist, dass es bei einer Temperatur von 0°C ebenfalls einen Widerstand von 100 Ω zeigt.

  1. Sie wollen beide Thermometer als Fieberthermometer verwenden. Berechnen Sie dazu jeweils den Widerstand Temperaturen von 37°C und 39°C.
  2. Wie groß ist demnach jeweils die Empfindlichkeit der Thermometer?
  3. Wie sind für eine reale Messung die Anforderungen an die Genauigkeit von Stromzuführung und Spannungsmessung zu erfüllen?
  4. Berechnen Sie die Widerstände und Empfindlichkeiten bei einer Temperatur von 100°C.

Lösung

Es gibt 2 verschiedene Typen von Widerstandsthermometern:

Metalle: Bei ihnen steigt der Widerstand mit steigender Temperatur

Halbleiter: Bei ihnen sinkt der Widerstand mit steigender Temperatur

a) Widerstandsberechnung

Meist wird Platin als Edelmetall für PT100 Widerstandsthermometer eingesetzt, weil es sich relativ rein herstellen lässt.

Mit der Angegebenen Formel lassen sich die Widerstände für den PT100 berechnen:

\frac{{R\left( t \right)}}{{{R_0}}} = 1+AT+B{T^2}+C\left( {100^\circ C-T} \right){T^3}

\Rightarrow \quad R\left( {37^\circ } \right) = 114,4\;\Omega

\Rightarrow \quad R\left( {39^\circ } \right) = 115,2\;\Omega

R0: Widerstand bei 0°C

Für einen Halbleiter als Widerstandsthermometer nutzen wir die Formel, welche bereits aus Kapitel 2.4.3 der Vorlesung bekannt ist:

R = {e^{\frac{{{E_g}}}{{kT}}}}\quad \Rightarrow \quad \frac{R}{{{R_0}}} = \frac{{{e^{\frac{{{E_g}}}{{kT}}}}}}{{{e^{\frac{{{E_g}}}{{k{T_0}}}}}}}\quad \Leftrightarrow \quad R = {R_0} \cdot {e^{\frac{{{E_g}}}{k}\left( {\frac{1}{T}-\frac{1}{{{T_0}}}} \right)}}

R0: Widerstand bei der Referenztemperatur T0

Eg: Energielücke / Bandlücke

k: Boltzmann-Konstante \left( {k = {\text{ 1}},{\text{38}}0{\text{65}}0{\text{4 }}\cdot {\text{ 1}}{0^{-{\text{23}}}}\frac{{\text{J}}}{{\text{K}}} = {\text{ 8}},{\text{617343 }}\cdot {\text{ 1}}{0^{-{\text{5}}}}\frac{{{\text{eV}}}}{{\text{K}}}} \right)

Hier wurden gewählt:

{R_0}\left( {{T_0}} \right) = 100\;\Omega \quad ,\quad {T_0} = 0^\circ C \approx 273\;K\quad ,\quad {E_g} = 1,1\;eV\quad ,

k \approx 8,6 \cdot {10^{-5}}

\Rightarrow \quad R\left( {37^\circ } \right) = 0,373\;\Omega

\Rightarrow \quad R\left( {39^\circ } \right) = 0,286\;\Omega

b) Empfindlichkeit der Thermometer

Es werden nun jeweils eine gemittelte Temperatur von 38°C sowie die gemittelten Widerstandswerte in die jeweiligen Ableitungen eingesetzt, um die absolute und relative Empfindlichkeit der Thermometer zu ermitteln.

PT 100:

\frac{{dR}}{{dT}} = {R_0} \cdot \left( {A+2 \cdot B \cdot T+C \cdot \left( {3 \cdot 100^\circ C-4 \cdot T} \right) \cdot {T^2}} \right)

\Rightarrow \quad \frac{{dR}}{{dT}} = 0,4\frac{\Omega }{K}\quad ,\quad \frac{{dR}}{{dT\;R}} = 3,5 \times {10^{-3}}\frac{1}{K}

Halbleiter:

\frac{{dR}}{{dT}} = {R_0} \cdot {e^{\frac{{{E_g}}}{k}\left( {\frac{1}{T}-\frac{1}{{{T_0}}}} \right)}}\left( {-\frac{{{E_g}}}{k}\frac{1}{{{T^2}}}} \right)

\Rightarrow \quad \frac{{dR}}{{dT}} = -0,04\frac{\Omega }{K}\quad ,\quad \frac{{dR}}{{dT\;R}} = -0,13\frac{1}{K}

c) Anforderungen an eine reale Messung

Man muss sehr genau messen können. Eine Änderung von 0,04\frac{\Omega }{K} ist jedoch durchaus messbar und eine Messapparatur schon relativ einfach herstellbar mit etwa 4 € Materialaufwand und 3 Minuten Lötaufwand. Man benötigt lediglich einen Widerstand, einen Operationsverstärker und evtl. eine Zener-Diode, um die Spannung am Eingang konstant zu halten.

d) Widerstände und Empfindlichkeiten bei 100°C

PT 100: R = 138,5\;\Omega, \frac{{dR}}{{dT}} = 0,38\frac{\Omega }{K}\quad ,\quad \frac{{dR}}{{dT\;R}} = 2,7 \times {10^{-3}}\frac{1}{K}

Mit Eg = 1,1 folgt:

Halbleiter: R = 3,5 \times {10^{-4}}\Omega, \frac{{dR}}{{dT}} = 3,2 \times {10^{-5}}\frac{\Omega }{K}\quad ,\quad \frac{{dR}}{{dT\;R}} = 9,2 \times {10^{-2}}\frac{1}{K}

Der Absolutwert beim Halbleiterthermometer geht ein wenig an der Realität vorbei, der relative Wert passt allerdings ungefähr. Das Problem ist, dass der Widerstand für 0°C bei 100 Ω liegen sollte.

Des weiteren können wir erkennen, dass bei kleinen Temperaturen ist die Empfindlichkeit am höchsten ist.

\mathcal{J}\mathcal{K}

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