2.4 – Widerstandsthermometer

2.4.1 Aufbau und Funktionsweise

Bei dieser Art von Thermometer messen wir einen elektrischen Widerstand, der von der Temperatur abhängig ist. Wie schon beim Flüssigkeitsthermometer kann man auch hier den Widerstand bei einer gemessenen Temperatur im Verhältnis zu dem Widerstand bei 0°C berechnen:

$\frac{{R\left( T \right)}}{{R\left( {0^\circ C} \right)}} = 1+AT+B{T^2}+C{T^4}+ \ldots$

Als Widerstand wird oft PT100, also ein 100 Ohm Platinwiderstand, verwendet. Es gibt auch PT1000 und PT10000, da in manchen Anwendungen höhere Widerstände benötigt werden. Platin wird verwendet, da es inert ist (reagiert auch bei hohen Temperaturen wenig mit anderen Elementen) und weil es sehr rein herstellbar ist. Auch der Temperaturbereich ist groß, es sind Messungen von 10K bis etwa 1300K möglich. Die empirischen Koeffizienten A, B und C für reines Platin kann man der DIN EC 751 entnehmen.

Da man den Widerstand nicht direkt messen kann, misst man stattdessen Strom und Spannungsabfall. Um nicht zwei Messgrößen zu haben, benutzt man eine Konstantstromquelle und muss dann nur die Spannung messen:

konstantstromquelle-widerstandsthermometer

Man misst mit folgendem Aufbau:

messung-aufbau-widerstandsthermometer

2.4.2 Vorteile und Probleme

Vorteile:

Das Signal liegt sofort als Spannung vor und kann gut weiterverarbeitet werden.

Probleme:

Um den Widerstand zu messen, muss man einen Strom durch den Widerstand leiten und die Spannung messen. Durch die Leistung $P = R{I^2}$ im Widerstand kommt es zu einer Eigenerwärmung. Daher benutzt man in kritischen Situationen höhere Widerstände, bei denen man einen kleineren Strom für die gleiche zu messende Spannung braucht.

Problematisch ist auch der Leitungswiderstand des Stromkreises. Um diesen zu minimieren, benutzt man eine Vierpunkt-Schaltung (Leiter-Schaltung):

widerstandsthermometer-vierpunktmessung-schaltbild

Ein weiteres Problem ist die Relaxationszeit. In Luft kann es über eine Minute dauern, bis die richtige Temperatur angezeigt wird.

2.4.3 Alternative Widerstände: NTC-Thermistoren

Beim normalen Platinwiderstand gibt es eine Proportionalität zwischen Temperatur und Widerstand. Es gibt aber auch NTC-Thermistoren (Negative Temperature Coefficient). Diese bestehen aus Halbleitern und ihr Widerstand sinkt mit steigender Temperatur. Aufbau:

halbleiter-bandluecke-widerstandsthermometer

Der Widerstand wird dadurch bestimmt, wie viele Elektronen oben im Leitungsband sind. Die Anzahl ${n_n}$ dieser negativen Ladungsträger ist genau wie die Anzahl der Löcher gegeben durch:

${n_n} = {n_p} = {n_e}{e^{-\frac{{{E_g}}}{{kT}}}}$

Es gilt:

$\vec j = \sigma \vec E = e\mu \left( {{n_n}+{n_p}} \right)\vec E$

Dabei ist $\sigma$ die Leitfähigkeit und $\mu$ die Beweglichkeit der Ladungsträger. Daraus folgt:

$R = \frac{{\rho l}}{A} = \frac{l}{{\sigma A}} = \frac{l}{{e\mu \left( {{n_n}+{n_p}} \right)A}} = {R_0}{e^{\frac{{{E_g}}}{{kT}}}}$

Dabei ist ${E_g}$ die Gap-Energie.

Im Diagramm:

widerstand-temperatur-verlauf-ntc-thermistor

Empfindlichkeit des Widerstandes:

$E = \frac{{dR}}{{dT}} = -{R_0}\frac{{{E_g}}}{{k{T^2}}}{e^{\frac{{{E_g}}}{{kT}}}}$

Relative Empfindlichkeit:

${E_{rel}}\left( T \right) = \frac{{\frac{{dR}}{{dT}}}}{{R\left( T \right)}} = -\frac{{{E_g}}}{{kT}} \cdot \frac{1}{T}$

Für die Gap-Energie (Bandlücke) liegen die Werte etwa bei

${E_g} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0,67eV} & {Ge} \\{1,12eV} & {Si} \\{3,28eV} & {SiC} \\ \end{array} } \right.$

Für Silizium bei 300K ( $kT = 25meV$ ) ergibt sich:

${E_{rel}} \approx -40\frac{1}{{300K}} = -\frac{{12\% }}{K}$

2.4.4 Alternative Widerstände: PTC-Thermistoren

In diesen sogenannten PTC (Positive Temperature Coefficient) Thermistoren werden auch Halbleiter verwendet, nun aber dotierte:

ptc-thermistor-widerstandsthermometer-halbleiter-schema

Für den Widerstand gilt:

$R \sim \left( {\underbrace {{k_1}{e^{-\frac{{{E_d}}}{{kT}}}}}_{{n_n} \approx \operatorname{const} }+\underbrace {{k_2}{e^{-\frac{{{E_g}}}{{kT}}}}}_{{n_{n2}} < {n_n}}} \right)$

Die Beweglichkeit der Elektronen ändert sich mit der Temperatur: $\mu = \mu \left( T \right)$

ptc-thermistor-temperatur-widerstand-diagramm-messbereich

Ziel ist auch hier, von den kleinen Widerstandsänderungen normaler Metalle wegzukommen, daher sollte die Steigung von $\mu \left( T \right)$ möglichst groß sein. Damit die Zuordnung eindeutig ist, darf man nur bis zum Maximum messen.

2 Kommentare zu “2.4 – Widerstandsthermometer”

08. 03. 11 at 6:58 pm

Müsste die Formel beim NTC-Thermistoren nicht lauten:

$R = {e^{\frac{{{E_g}}}{{kT}}}}$

Bzw.:

$\frac{R}{{{R_0}}} = \frac{{{e^{\frac{{{E_g}}}{{kT}}}}}}{{{e^{\frac{{{E_g}}}{{k{T_0}}}}}}}\quad \Leftrightarrow \quad R = {R_0} \cdot {e^{\frac{{{E_g}}}{k}\left( {\frac{1}{T}-\frac{1}{{{T_0}}}} \right)}}$