Wurzelortskurve – Regeln und Erläuterungen

 

Nutzen und Definition

Wurzelortskurven sind eine grafische Methode zur Untersuchung von Regelkreisen. Untersucht wird, wie das System auf eine Variation des Parameters k, der Systemverstärkung, reagiert.

Mit Wurzelortskurven kann man verschiedene Dinge untersuchen. Zum einen geben sie Auskunft über die Stabilität des geschlossenen Kreises. Weiterhin lassen sie Rückschlüsse auf die Dämpfungsrate und die Resonanzfrequenz des Systems zu. Linien konstanter Dämpfungsrate sind Ursprungsgraden, Linien konstanter Resonanzfrequenz sind Kreise, deren Mittelpunkt der Ursprung ist.

Man kann die Systemverstärkung k bestimmen, indem man einen Punkt entlang der Wurzelortskurve auswählt, der die gewünschte Dämpfung und die gewünschte Resonanzfrequenz hat. Die Regler Lag, Lead, PI, PD und PID können mit Hilfe von Wurzelortskurven approximiert werden.

Die Definition von Dämpfungsrate und Resonanzfrequenz impliziert, dass der gesamte Regelkreis durch ein System zweiter Ordnung approximiert werden kann, also ein System mit Polüberschuss.

Das Wurzelortsverfahren

Wir brauchen für den Wurzelort einen Standard-Regelkreis mit der so genannten Einheitsrückführung. Das bedeutet, dass der Ausgang einfach wieder vom Eingang abgezogen wird:

wurzelortskurve-einheitsrückführung-schaltbild

Wir betrachten dieses Teilsystem ab jetzt als Blackbox mit Übertragungsfunktion in Wurzelorts-Normalform:

k\;G\left( s \right) = k\frac{{{s^m}+{b_{m-1}}{s^{m-1}}+ \ldots +{b_1}s+{b_0}}}{{{s^n}+{a_{n-1}}{s^{n-1}}+ \ldots +{a_1}s+{a_0}}} = k\frac{{Z\left( s \right)}}{{N\left( s \right)}}

Nun bestimmen wir die Übertragungsfunktion des rückgekoppelten Systems. Diese können wir direkt aus dem Bild oben ablesen:

Y\left( s \right) = \left( {U\left( s \right)-Y\left( s \right)} \right) \cdot k\;G\left( s \right)

\Rightarrow \quad Y\left( s \right)\left( {1+k\;G\left( s \right)} \right) = U\left( s \right) \cdot k\;G\left( s \right)

\Rightarrow \quad {G_W}\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}}{{U\left( s \right)}} = \frac{{k\:G\left( s \right)}}{{1+k\:G\left( s \right)}} = \frac{{k\frac{{Z\left( s \right)}}{{N\left( s \right)}}}}{{1+k\frac{{Z\left( s \right)}}{{N\left( s \right)}}}} = \frac{{k\;Z\left( s \right)}}{{N\left( s \right)+k{\mkern 1mu} Z\left( s \right)}} = \frac{{{Z_W}\left( s \right)}}{{{N_W}\left( s \right)}}

Aus dieser Gleichung können wir folgendes ablesen:

Nullstellen bleiben bei der Variation von k, wo sie sind. Die Anzahl der Polstellen (und damit der Grad des Nennerpolynoms) bleibt gleich: Pole verschieben sich in Abhängigkeit von k.

Definition:

Die Wurzelortskurve ist definiert als der geometrische Ort der Wurzeln (Nullstellen) des Nenners:

N\left( s \right)+kZ\left( s \right),

also der geometrische Ort der Polstellen der Übertragungsfunktion des rückgekoppelten Systems, in Abhängigkeit von k.

Wir stellen um:

N\left( s \right)+kZ\left( s \right) = 0\quad \Rightarrow \quad \frac{{Z\left( s \right)}}{{N\left( s \right)}} = -\frac{1}{k}

Daraus folgt für die Wurzelortskurve:

WO = \left\{ {{s_{WO}}:G\left( {{s_{WO}}} \right) = -\frac{1}{k}} \right\}

Da G\left( s \right) komplex ist, können wir diese Definition auch in eine Betragsgleichung und eine Phasengleichung aufteilen.

Betragsgleichung:

\left| {G\left( s \right)} \right| = \left| {\frac{1}{k}} \right|

Phasengleichung (Phasenbedingung):

\sphericalangle G\left( s \right) = \sphericalangle \left\{ {-\frac{1}{k}} \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{180^\circ \overset{\wedge}{=}\pi } & {k > 0} \\{0^\circ } & {k < 0} \\ \end{array} } \right.

Zur Erklärung:

wurzelortskurve-veranschaulichung

Grafische Methode zur Bestimmung der Wurzelortskurve

Aus der faktorisierten Form

G\left( s \right) = \frac{{Z\left( s \right)}}{{N\left( s \right)}} = \frac{{\prod\limits_{j = 1}^m {\left( {s-{z_j}} \right)} }}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {s-{\lambda _i}} \right)} }}

folgt für die Betragsgleichung:

\left| {G\left( s \right)} \right| = \frac{{\prod\limits_{j = 1}^m {\left| {\left( {s-{z_j}} \right)} \right|} }}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left| {\left( {s-{\lambda _i}} \right)} \right|} }} = \frac{1}{{\left| k \right|}}

und für die Phasengleichung:

\sphericalangle G\left( s \right) = \sum\limits_{j = 1}^m {\underbrace {\sphericalangle \left\{ {s-{z_j}} \right\}}_{{\varphi _{{z_j}}}}} -\sum\limits_{i = 1}^n {\underbrace {\sphericalangle \left\{ {s-{\lambda _i}} \right\}}_{{\varphi _{{\lambda _j}}}}} = \sphericalangle \left\{ {-\frac{1}{k}} \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{180^\circ } \\{0^\circ } \\ \end{array} } \right.

Veranschaulichung:

betragsgleichung-phasengleichung-veranschaulichung

Dabei ist:

s-{s_i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{s-{z_i}} \\{s-{\lambda _i}} \\ \end{array} } \right.

{\ell _i} = \left| {s-{s_i}} \right|

{\varphi _i} = \sphericalangle \left\{ {s-{s_i}} \right\}

Beispiel:

Gegeben sei die Übertragungsfunktion:

G\left( s \right) = \frac{{s+5}}{{s\left( {s+2} \right)}}

Gesucht ist der Wert an der Stelle {s_A}, also

G\left( {{s_A}} \right) = \frac{{{s_A}+5}}{{{s_A}\left( {{s_A}+2} \right)}}

Betrag und Phase der einzelnen Faktoren sind:

{s_A} = \left| {{s_A}} \right|{e^{j\sphericalangle \left\{ {{s_A}} \right\}}} = {\ell _1}{e^{j{\varphi _1}}}

{s_A}+2 = \left| {{s_A}+2} \right|{e^{j\sphericalangle \left\{ {{s_A}+2} \right\}}} = {\ell _2}{e^{j{\varphi _2}}}

{s_A}+5 = \left| {{s_A}+5} \right|{e^{j\sphericalangle \left\{ {{s_A}+5} \right\}}} = {\ell _3}{e^{j{\varphi _3}}}

Betrag und Phase der Gesamtübertragungsfunktion ergeben sich wie folgt:

G\left( {{s_A}} \right) = \left| {G\left( {{s_A}} \right)} \right|{e^{j\sphericalangle \left\{ {G\left( {{s_A}} \right)} \right\}}} = \frac{{{\ell _3}}}{{{\ell _1}{\ell _2}}}{e^{j\left( {{\varphi _3}-{\varphi _1}-{\varphi _2}} \right)}}

Die Beträge werden also multipliziert, die Winkel addiert.

Das Auffinden der WOK wird nun über die Phasenbedingung mit der Aufpunktmethode erklärt:

Wir haben in diesem Beispiel zwei Pole und eine Nullstelle, also Polüberschuss. Es gilt für einen beliebig gewählten Punkt A:

\sphericalangle {\left\{ {\frac{{\left( {s+5} \right)}}{{s\left( {s+2} \right)}}} \right\}_{s = {s_A}}} = 58^\circ -95^\circ -125^\circ = -162^\circ

Über weiteres Ausprobieren folgt:

phasenbedingung-beispiel-winkel-betrag

Es sind also:

{s_B},{s_E},{s_G},{s_K}:\quad 180^\circ -Wurzelort

{s_H}:\quad 0^\circ -Wurzelort

Damit sind diese 5 Punkte also Teile der Wurzelortskurve. Das Verfahren ist recht mühsam. Aber: Die Phasenbedingung alleine reicht aus!

Bestimmung des Verstärkungsfaktors k aus der Wurzelortskurve

Wir nehmen hier an, wir kennen bereits die WOK:

wurzelortskurve-bestimmung-verstarkungsfaktor-k-geschlossen

Die Verstärkung bestimmt man nun wie folgt:

\left| G \right| = \frac{1}{k}\quad \Rightarrow \quad k = \frac{1}{{\left| G \right|}}

{k_1} = \frac{{{\ell _{11}}{\ell _{21}}}}{{{\ell _{31}}}} \approx 3,2

{k_2} = \frac{{{\ell _{12}}{\ell _{22}}}}{{{\ell _{32}}}} \approx 13,1

Allgemein ist die Verstärkung der Quotient aus dem Produkt der Polstrecken und dem Produkt der Nullstellenstrecken. Wenn es keine Nullstellen gibt, ist der Nenner = 1.

Regeln zum WOK-Verfahren

1. Anfangspunkte:

Die WOK beginnt für {k_0} = 0 in den Polen von {G_0}.

In jedem Pol geht ein Wurzelort los.

2. Endpunkte:

Die WOK endet für {k_0} \to \infty in den Nullstellen von {G_0}.

Wenn es mehr Pole als Nullstellen gibt, enden auch Äste im Unendlichen.

3. WOK auf der reellen Achse:

Jeder Ort auf der reellen Achse, auf dessen rechter Seite die Summe von Polen und Nullstellen ungerade ist, ist ein Wurzelort (entweder 180° oder 0°).

4. Anzahl der separaten Äste:

Die WOK besteht aus n Ästen, dabei ist n die Anzahl der Pole.

5. Anzahl der Äste im Unendlichen:

Es gibt n-m Äste, die im Unendlichen enden, d.h. es existieren auch n-m Asymptoten.

Dabei ist mdie Anzahl der Nullstellen.

6. Symmetrie der WOK:

Die WOK ist symmetrisch zur reellen Achse.

7. Winkel der Asymptoten:

Der Winkel der Asymptoten zur reellen Achse folgt aus

{\varphi _k} = \frac{{\left( {2k-1} \right)\pi }}{{n-m}},\quad k = 1,2, \ldots n-m

Die Asymptoten sind die Linien, gegen die die Äste der Wurzelortskurve streben, die nicht in Nullstellen enden. Aus

N\left( s \right)+kZ\left( s \right)

= \left( {{s^n}+{a_{n-1}}{s^{n-1}}+ \ldots +{a_1}s+{a_0}} \right)+k\left( {{s^m}+{b_{m-1}}{s^{m-1}}+ \ldots +{b_1}s+{b_0}} \right) = 0

folgt:

-k = \frac{{N\left( s \right)}}{{Z\left( s \right)}} = \frac{{{s^n}+{a_{n-1}}{s^{n-1}}+ \ldots +{a_1}s+{a_0}}}{{{s^m}+{b_{m-1}}{s^{m-1}}+ \ldots +{b_1}s+{b_0}}}

\quad = {s^{n-m}}+\left( {{a_{n-1}}-{b_{m-1}}} \right){s^{n-m-1}}+\left[ {\left( {{a_{n-2}}-{b_{m-2}}} \right)-{b_{m-1}}\left( {{a_{n-1}}-{b_{m-2}}} \right)} \right]{s^{n-m-2}} \ldots

\quad = {s^{n-m}}\left[ {1+\left( {{a_{n-1}}-{b_{m-1}}} \right)\frac{1}{s}+\sum\limits_{i = 2}^\infty {{c_{-i}}{s^{-i}}} } \right]

Mit r = n-m folgt weiter:

{\left( {-k} \right)^{\frac{1}{r}}} = s{\left[ {1+\left( {{a_{n-1}}-{b_{m-1}}} \right)\frac{1}{s}+\sum\limits_{i = 2}^\infty {{c_{-i}}{s^{-i}}} } \right]^{\frac{1}{r}}}

= s\left[ {1+\frac{{{a_{n-1}}-{b_{m-1}}}}{r}\frac{1}{s}+\sum\limits_{i = 2}^\infty {{d_{-i}}{s^{-i}}} } \right]

Für k > 0 und \nu = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots gilt:

-k = \left| k \right|{e^{j\left( {\pi +2\nu \pi } \right)}},\quad {\left( {-k} \right)^{\frac{1}{r}}} = {\left| k \right|^{\frac{1}{r}}}{e^{j\pi \frac{{1+2\nu }}{r}}}

Für k < 0 und \nu = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots gilt:

-k = \left| k \right|{e^{j\left( {2\nu \pi } \right)}},\quad {\left( {-k} \right)^{\frac{1}{r}}} = {\left| k \right|^{\frac{1}{r}}}{e^{j\pi \frac{{2\nu }}{r}}}

Damit erhält man für große s und k (s \to \infty ,k \to \infty) die Asymptotengleichung

s+\underbrace {\frac{{{a_{n-1}}-{b_{m-1}}}}{r}}_{-{s_A}} = \underbrace {{{\left| k \right|}^{\frac{1}{r}}}}_{\left| {{k_A}} \right|}{e^{j\pi \frac{\mu }{r}}}

mit \mu = 1,3,5, \ldots für k > 0 und \mu = 0,2,4, \ldots für k < 0.

8. Schnittpunkte der Asymptoten (Wurzelschwerpunkt):

Der Wurzelschwerpunkt liegt auf der reellen Achse:

{\sigma _W} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}} -\sum\limits_{i = 1}^m {{n_i}} }}{{n-m}}

Dies ist der Punkt, in dem sich die Asymptoten schneiden.

Für die Übertragungsfunktion des offenen Kreises

G\left( s \right) = k\frac{{Z\left( s \right)}}{{N\left( s \right)}} = k\frac{{\prod\limits_{j = 1}^m {\left( {s-{z_j}} \right)} }}{{\prod\limits_{j = 1}^n {\left( {s-{\lambda _j}} \right)} }} = k\frac{{{s^m}+{b_{m-1}}{s^{m-1}}+ \ldots +{b_1}s+{b_0}}}{{{s^n}+{a_{n-1}}{s^{n-1}}+ \ldots +{a_1}s+{a_0}}}

gilt für die Koeffizienten {b_{m-1}} und {a_{n-1}}:

{b_{m-1}} = -\sum\limits_{j = 1}^m {\operatorname{Re} \left\{ {{z_j}} \right\}} ,\quad \quad {a_{n-1}} = -\sum\limits_{i = 1}^n {\operatorname{Re} \left\{ {{\lambda _i}} \right\}}

Damit folgt für den Schwerpunkt {s_{A0}} des offenen Kreises:

\left( {n-m} \right){s_{A0}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\operatorname{Re} \left\{ {{\lambda _i}} \right\}} -\sum\limits_{j = 1}^m {\operatorname{Re} \left\{ {{z_j}} \right\}} = {b_{m-1}}-{a_{n-1}}

Für die Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises

\hat G\left( s \right) = \frac{{kZ\left( s \right)}}{{N\left( s \right)+kZ\left( s \right)}} = k\frac{{\prod\limits_{j = 1}^m {\left( {s-{z_j}} \right)} }}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {s-{{\hat \lambda }_i}} \right)} }}

\quad \quad = k\frac{{{s^m}+{b_{m-1}}{s^{m-1}}+ \ldots +{b_1}s+{b_0}}}{{{s^n}+{a_{n-1}}{s^{n-1}}+ \ldots +{a_0}+k\left( {{s^m}+{b_{m-1}}{s^{m-1}}+ \ldots +{b_0}} \right)}}

\quad \quad = k\frac{{{s^m}+{b_{m-1}}{s^{m-1}}+ \ldots +{b_1}s+{b_0}}}{{{s^n}+{{\hat a}_{n-1}}{s^{n-1}}+ \ldots +{{\hat a}_2}{s^2}+{{\hat a}_1}s+{{\hat a}_0}}}

gilt entsprechend für den Schwerpunkt {s_A} des geschlossenen Kreises:

\left( {n-m} \right){s_A} = \sum\limits_{i = 1}^n {\operatorname{Re} \left\{ {{{\hat \lambda }_i}} \right\}} -\sum\limits_{j = 1}^m {\operatorname{Re} \left\{ {{z_j}} \right\}} = {b_{m-1}}-{\hat a_{n-1}}

Fallunterscheidungen:

  1. Pol- und Nullstellenzahl gleich, d.h.

    r = n-m = 0\quad \Rightarrow \quad n = m\quad \Rightarrow \quad {s_{A0}} = \infty ,\quad {s_A} = \infty

  2. Polüberschuss gleich 1, d.h.

    r = n-m = 1\quad \Rightarrow \quad {s_{A0}} = {b_{n-2}}-{a_{n-1}}

    \quad \Rightarrow \quad {s_A} = {b_{n-2}}-{\hat a_{n-1}} = {b_{n-2}}-{a_{n-1}}-k

    d.h. der Schwerpunkt des geschlossenen Kreises ist von k abhängig.

  3. Polüberschuss gleich 2 oder größer, d.h.

    r = n-m \geq 2\quad \Rightarrow \quad {s_{A0}} = \frac{{{b_{m-1}}-{a_{n-1}}}}{{n-m}}

    \quad \Rightarrow \quad {s_A} = \frac{{{b_{m-1}}-{{\hat a}_{n-1}}}}{{n-m}} = \frac{{{b_{m-1}}-{a_{n-1}}}}{{n-m}}\quad \Rightarrow \quad {s_A} = {s_{A0}}

    d.h. der Schwerpunkt bleibt bei der Kreisschließung erhalten.

9. Austritts- und Eintrittswinkel:

Der Austrittswinkel \Theta der WOK aus einem Pol (oder der Eintrittswinkel in eine Nullstelle) ergibt sich, indem man einen Punkt {s_1}, der auf der WOK liegen soll, in unmittelbarer Nähe des Pols (bzw. der Nullstelle) annimmt und dann die Winkelbedingung ansetzt:

\sum\limits_{i = 1}^m {\sphericalangle \left( {{s_1}-{n_i}} \right)} -\sum\limits_{i = 1}^n {\sphericalangle \left( {{s_1}-{p_i}} \right)} = \pm \left( {2k-1} \right)\pi

Austrittswinkel (=Abgangswinkel):

wurzelort-austrittswinkel-polstellen

\sum {{\varphi _{zi}}} -\sum {{\varphi _{\lambda i}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{180^\circ } \\{0^\circ } \\ \end{array} } \right.

{\varphi _{\lambda k}} = \sum {{\varphi _{zi}}} -\sum\limits_{i \ne k} {{\varphi _{\lambda i}}} +\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{180^\circ } \\{0^\circ } \\ \end{array} } \right.

Die Fälle 180° und 0° beziehen sich auf 180°-WOK (Verstärkung k > 0) und 0°-WOK (Verstärkung k < 0).

Einlaufwinkel:

{\varphi _{zk}} = -\sum\limits_{i \ne k} {{\varphi _{zi}}} -\sum {{\varphi _{\lambda i}}} +\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{180^\circ } \\{0^\circ } \\ \end{array} } \right.

10. Verzweigungspunkte der WOK auf der reellen Achse:

Allgemein gilt am Verzweigungspunkt a:

{\left. {\frac{{d{G_0}}}{{ds}}} \right|_{s = a}} = 0

Für a \ne {p_i} und a \ne {n_i} gilt damit:

  1. Reelle Pole und Nullstellen:

    \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{a-{p_i}}}} = \sum\limits_{i = 1}^m {\frac{1}{{a-{n_i}}}}

  2. Konjugiert komplexe Pole und Nullstellen:

    {n_i} = {\alpha _i} \pm j{\beta _i},\quad \quad {p_i} = {\alpha _\ell } \pm j{\beta _\ell }

    \sum\limits_{i = 1}^{\frac{m}{2}} {\frac{{2\left( {a-{\alpha _i}} \right)}}{{{{\left( {a-{\alpha _i}} \right)}^2}}}} = \sum\limits_{\ell = 1}^{\frac{n}{2}} {\frac{{2\left( {a-{\alpha _i}} \right)}}{{{{\left( {a-{\alpha _i}} \right)}^2}+\beta _\ell ^2}}}

Es sei {\hat \lambda _j} ein q-facher Pol (q \geq 2) des geschlossenen Kreises, d.h.

N\left( s \right)+kZ\left( s \right) = \prod\limits_{i = 1}^n {\left( {s-{{\hat \lambda }_i}} \right)} = \prod\limits_{i = 1,i \ne j}^{n-q} {\left( {s-{{\hat \lambda }_i}} \right){{\left( {s-{{\hat \lambda }_j}} \right)}^q}}

Dann gilt für die Ableitung nach s:

\frac{d}{{ds}}N\left( s \right)+k\frac{d}{{ds}}Z\left( s \right)

= \frac{d}{{ds}}\left[ {\prod\limits_{i = 1,i \ne j}^{n-q} {\left( {s-{{\hat \lambda }_i}} \right)} } \right]{\left( {s-{{\hat \lambda }_j}} \right)^q}+\prod\limits_{i = 1,i \ne j}^{n-q} {\left( {s-{{\hat \lambda }_i}} \right)\frac{d}{{ds}}{{\left( {s-{{\hat \lambda }_j}} \right)}^q}}

Man erkennt, dass {\left( {s-{{\hat \lambda }_j}} \right)^{q-1}} Teiler der Ableitung ist, d.h.

\frac{d}{{ds}}N\left( s \right)+k\frac{d}{{ds}}Z\left( s \right) = {N^\prime }\left( s \right)+k{Z^\prime }\left( s \right) = {\left( {s-{{\hat \lambda }_j}} \right)^{q-1}} \cdot \operatorname{Re} stfaktor

Damit gilt:

{\left. {N\left( s \right)+kZ\left( s \right)} \right|_{s = {{\hat \lambda }_j}}} = N\left( {{{\hat \lambda }_j}} \right)+kZ\left( {{{\hat \lambda }_j}} \right) = 0

und

{\left. {{N^\prime }\left( s \right)+k{Z^\prime }\left( s \right)} \right|_{s = {{\hat \lambda }_j}}} = {N^\prime }\left( {{{\hat \lambda }_j}} \right)+k{Z^\prime }\left( {{{\hat \lambda }_j}} \right) = 0

Daraus folgt:

\frac{{Z\left( {{{\hat \lambda }_j}} \right)}}{{N\left( {{{\hat \lambda }_j}} \right)}} = \frac{{{Z^\prime }\left( {{{\hat \lambda }_j}} \right)}}{{{N^\prime }\left( {{{\hat \lambda }_j}} \right)}}\quad \Leftrightarrow \quad N\left( {{{\hat \lambda }_j}} \right){Z^\prime }\left( {{{\hat \lambda }_j}} \right)-{N^\prime }\left( {{{\hat \lambda }_j}} \right)Z\left( {{{\hat \lambda }_j}} \right) = 0

\quad \Leftrightarrow \quad \frac{{N\left( {{{\hat \lambda }_j}} \right){Z^\prime }\left( {{{\hat \lambda }_j}} \right)-{N^\prime }\left( {{{\hat \lambda }_j}} \right)Z\left( {{{\hat \lambda }_j}} \right)}}{{{N^2}\left( {{{\hat \lambda }_j}} \right)}} = {\left. {\frac{d}{{ds}}G\left( s \right)} \right|_{s = {{\hat \lambda }_j}}} = 0

Damit stellt

\frac{d}{{ds}}G\left( s \right) = 0

eine notwendige Bedingung für Verzweigungspunkte dar.

11. Schnittpunkt mit der imaginären Achse:

Stabilitätsgrenze des geschlossenen Kreises: {k_{0,krit}} und {\omega _{krit}}, z.B. mit Hurwitz-Kriterium

Wegen

N\left( s \right)+kZ\left( s \right) = 0

für alle s, die zur Wurzelortskurve gehören, gilt insbesondere für den Wurzelort auf der imaginären Achse:

N\left( {j\omega } \right)+kZ\left( {j\omega } \right) = 0.

Mit

N\left( {j\omega } \right) = \operatorname{Re} \left\{ {N\left( {j\omega } \right)} \right\}+j\operatorname{Im} \left\{ {N\left( {j\omega } \right)} \right\}

und

Z\left( {j\omega } \right) = \operatorname{Re} \left\{ {Z\left( {j\omega } \right)} \right\}+j\operatorname{Im} \left\{ {Z\left( {j\omega } \right)} \right\}

erhält man

-k\operatorname{Im} \left\{ {Z\left( {j\omega } \right)} \right\} = \operatorname{Im} \left\{ {N\left( {j\omega } \right)} \right\}

-k\operatorname{Re} \left\{ {Z\left( {j\omega } \right)} \right\} = \operatorname{Re} \left\{ {N\left( {j\omega } \right)} \right\}

Aus diesen beiden Gleichungen folgt nach Eliminierung von k die Beziehung

\operatorname{Re} \left\{ {N\left( {j\omega } \right)} \right\}\operatorname{Im} \left\{ {Z\left( {j\omega } \right)} \right\} = \operatorname{Im} \left\{ {N\left( {j\omega } \right)} \right\}\operatorname{Re} \left\{ {Z\left( {j\omega } \right)} \right\} \to {\omega _{krit}},

aus der man die Übertrittsstellen j{\omega _{krit}} bestimmen kann. Mit der Auflösung der beiden Gleichungen nach k erhält man die dazugehörigen k-Werte:

{k_{krit}} = -\frac{{\operatorname{Im} \left\{ {N\left( {j{\omega _{krit}}} \right)} \right\}}}{{\operatorname{Im} \left\{ {Z\left( {j{\omega _{krit}}} \right)} \right\}}} = -\frac{{\operatorname{Re} \left\{ {N\left( {j{\omega _{krit}}} \right)} \right\}}}{{\operatorname{Re} \left\{ {Z\left( {j{\omega _{krit}}} \right)} \right\}}}

12. k0-Parametrierung der WOK:

Die Verstärkung für einen Punkt {s_1} der WOK ergibt sich aus:

{k_0} = \frac{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left| {{s_1}-{p_i}} \right|} }}{{\prod\limits_{i = 1}^m {\left| {{s_1}-{n_i}} \right|} }}

Falls keine Nullstellen auftreten, ist der Nenner gleich 1 zu setzen.

13. Potential-Analogie:

Die Wurzelortskurve verläuft beim Austritt aus der reellen Achse konkav zu benachbarten Nullstellen von {G_0}\left( s \right), bzw. konvex zu benachbarten Polen.

Satz:

Die Wurzelortskurve für

kG\left( s \right) = k\frac{{s-z}}{{\left( {s-{\lambda _1}} \right)\left( {s-{\lambda _2}} \right)}}

mit \left( {{\lambda _1}-z} \right)\left( {{\lambda _2}-z} \right) > 0 ist ein Kreis um die Nullstelle:

{\left( {\sigma -z} \right)^2}+{\omega ^2} = \left( {{\lambda _1}-z} \right)\left( {{\lambda _2}-z} \right) = {R^2}