Z13 – Evakuierte Gasflasche

 

Eine sehr gut isolierte Gasflasche sei vollkommen evakuiert. Nach dem Öffnen des Ventils strömt die Luftmenge m = 10 kg aus der Umgebung in die Flasche. Der Druck in der Umgebung soll pU = 1 bar betragen und das spezifische Volumen soll bei {v_U} = 0,86\frac{{{m^3}}} {{kg}} liegen. Die spezifische Enthalpie der Luft in der Umgebung sei {h_U} = 300\frac{{kJ}} {{kg}}.

1. Welche Arbeit W12 leistet die Umgebung während des Einströmens der Luft?

2. Wie groß ist die innere Energie U2 der Luft im Behälter nach dem Einströmen?

Lösung

gasflasche-luftblase

1.

Da keine technische Vorrichtung existiert wird lediglich Volumenänderungsarbeit verrichtet. Für diese gilt laut Formelsammlung:

{W_{12}} = \dot m \cdot  {w_{12}} = -\dot m \cdot  \int\limits_1^2 {p\left( v \right)dv}

Nach dem Öffnen des Ventils wird sich der Umgebungsdruck nicht verändern und daher als von v unabhängige Konstante betrachtet. Lediglich das Umgebungsvolumen bzw. die Umgebungsmasse wird um den Betrag der in die Flasche einströmenden Masse verringert:

{W_{12}} = -\int\limits_1^2 {p\left( V \right)dV}  = -p \cdot  \Delta V = -p \cdot  \Delta m \cdot  v = \underline{\underline {-860kJ}}

2.

Zur Bestimmung der Inneren Energie der Luft im Behälter nach dem Einströmen benötigen wir den 1. Hauptsatz für offene Systeme:

\frac{{d{E_{kin}}}} {{d\tau }}+\frac{{d{E_{pot}}}} {{d\tau }}+\frac{{dU}} {{d\tau }} = \sum\limits_i {{{\dot Q}_i}} +\sum\limits_j {\dot W_j^t} +\sum\limits_k {{{\dot m}_k}{h_{tot,k}}}

In unserem Fall gilt:

\underbrace {\frac{{d{E_{kin}}}} {{d\tau }}}_0+\underbrace {\frac{{d{E_{pot}}}} {{d\tau }}}_0+\frac{{dU}} {{d\tau }} = \underbrace {\sum\limits_i {{{\dot Q}_i}} }_{0,\:adiabat}+\underbrace {\sum\limits_j {\dot W_j^t} }_{0,\:keine\:technische\:Arbeit}+\sum\limits_k {{{\dot m}_k}{h_{tot,k}}}

\Rightarrow \quad \frac{{dU}} {{d\tau }} = \sum\limits_k {{{\dot m}_k}{h_{tot,k}}} \quad  \Rightarrow \quad \Delta U = \Delta m \cdot  h = \underline{\underline {3MJ}}

\mathcal{J}\mathcal{K}

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