Z16 – Zylinder und Behälter mit Stickstoff

 

Der dargestellte Zylinder A und der zugehörige bis zum Ventil reichende Leitungsabschnitt enthalten Stickstoff. Dieser nimmt im Ausgangszustand ein Volumen V1 = 5,0 dm³ ein. Der reibungsfrei bewegliche Kolben hat eine Masse von mK = 17, 94 kg und einen Durchmesser dK von 8 cm. Der Umgebungsdruck beträgt pU = 1bar. Der rechte Behälter und der zugehörige Leitungsabschnitt haben das konstante Volumen VB = 10,0 dm³; sie sind ebenfalls mit Stickstoff gefüllt, der unter dem Druck pB = 650kPa steht. Das ganze System hat die Anfangstemperatur t1 = 20,0°C. Nach dem ¨Offnen des Ventils strömt Stickstoff aus dem Behälter langsam in den Zylinder über; der Kolben hebt sich, bis der Druck im ganzen System denselben Wert erreicht.

  1. Für diesen Zustand berechne man die Temperatur t2 sowie das Volumen V2 des Stickstoffes im Zylinder unter der Annahme, dass der Stickstoff während des Prozesses 1-2 ein adiabates System ist.
  2. Danach wird Wärme zwischen der Luft und ihrer Umgebung übertragen, so dass die Luft schließlich die Temperatur t3 = t1 = 20,0°C erreicht. Wie groß ist die bei diesem Prozess 2-3 übertragene Wärme Q23?

Hinweise:
Stickstoff soll hier als ideales Gas mit einer spezifischen Gaskonstante von R = 0,297 kJ/kgK betrachtet werden. Die spezifische Wärmekapazität von Stickstoff wird als konstant angenommen und soll einen Wert von cv,0 = 0,744 kJ/kgK .

stickstoff-behalter-zylinder-masse

Lösung

1.

Hier benötigen wir den 1. Hauptsatz für geschlossene Systeme bei instationärem Vorgang:

dU = {Q_{12}}+{W_{12}}

Im ersten Fall ist Q12 = 0, da es sich um ein adiabates System handeln soll.
Die Formel für die Volumenänderungsarbeit lässt sich hier nicht ohne weiteres anwenden, da das System aufgrund der unterschiedlichen Teilsysteme inhomogen ist.
Stattdessen setzt sich hier die Arbeit zusammen aus der Volumenänderungsarbeit an der Umgebung sowie der Hubarbeit, die am Kolben verrichtet werden muss:

{W_{12}} = -W_{12}^U-W_{12}^K

Da wir nicht das System, sondern die Umgebung betrachten, sind die Vorzeichen negativ.

W_{12}^U = -\int {{p^U}dV = -{p_U}\left( {V_2^U-V_1^U} \right)}  = {p_U} \cdot  \Delta V

da sich das Umgebungsvolumen verkleinert gilt: V_2^U = V_1^U-\Delta V

W_{12}^K = mg\Delta h = mg\frac{{4 \cdot  \Delta V}} {{\pi  \cdot  {d^2}}}

Eingesetzt folgt:

{W_{12}} = -\left( {{p_U}+mg\frac{4} {{\pi  \cdot  {d^2}}}} \right) \cdot  \Delta V

Beim idealen Gas gilt für dU:

dU = m \cdot  {c_v} \cdot  dT

Für die Masse des Gesamtsystems gilt:

m = {m_1}+{m_B} = {\rho _1}{V_1}+{\rho _B}{V_B} = \frac{{{p_1}{V_1}}} {{R{T_1}}}+\frac{{{p_B}{V_B}}} {{R{T_1}}} = 0,0824kg

mit {p_1} = {p_U}+\frac{F} {A} = 1\:bar+\frac{{4 \cdot  17,94kg \cdot  9,81\frac{m} {{{s^2}}}}} {{\pi  \cdot  0,08{m^2}}} = 135kPa

Alles eingesetzt ergibt:

dU = {W_{12}}\quad  \Rightarrow \quad m \cdot  {c_v} \cdot  dT = -\underbrace {\left( {{p_U}+mg\frac{4} {{\pi  \cdot  {d^2}}}} \right)}_{{p_1}} \cdot  \Delta V

\Rightarrow \quad m \cdot  {c_v} \cdot  dT = -{p_1} \cdot  \left( {V_1^U-V_2^U} \right)

Zur weiteren Berechnung benötigen wir nun noch die Temperaturdifferenz.
Da es sich um ein ideales Gas handelt gilt:

pV = mRT

\Rightarrow \quad {p_1}\left( {{V_2}+{V_B}} \right) = mR{T_2}

Als nächstes benötigen wir folgende Beziehung:

V_1^U-V_2^U = {V_2}-{V_1}

Wenn wir die letzten beiden Gleichungen addieren bekommen wir somit:

{p_1}\left( {{V_2}+{V_B}+{V_1}-{V_2}} \right) = mR{T_2}+m \cdot  {c_v} \cdot  \left( {{T_2}-{T_1}} \right)

\Rightarrow \quad {p_1}\left( {{V_B}+{V_1}} \right) = \left( {R+{c_v}} \right) \cdot  m \cdot  {T_2}-m \cdot  {c_v} \cdot  {T_1}

\Rightarrow \quad {T_2} = \frac{{{p_1}\left( {{V_B}+{V_1}} \right)+m \cdot  {c_v} \cdot  {T_1}}} {{\left( {R+{c_v}} \right) \cdot  m}} = \underline{\underline {233,12K}}

Damit folgt:

{V_2} = \frac{{mR{T_2}}} {{{p_1}}}-{V_B} = \underline{\underline {32,26d{m^3}}}

2.

Hier finden 2 Vorgänge gleichzeitig statt. Das Ändern der Temperatur des Stickstoffes und die daraus resultierende Volumenänderungsarbeit:

dU = {U_3}-{U_2} = {Q_{23}}+{W_{23}}

{W_{23}} = -\int\limits_2^3 {pdV}  = -p\left( {{V_3}-{V_2}} \right)

{U_3}-{U_2} = m \cdot  {c_v} \cdot  \left( {{T_3}-{T_2}} \right)

\Rightarrow \quad {Q_{23}} = {U_3}-{U_2}-{W_{23}} = m \cdot  {c_v} \cdot  \left( {{T_3}-{T_2}} \right)+p\left( {{V_3}-{V_2}} \right)

Wobei:

{V_3} = \frac{{mR{T_3}}} {p}-{V_B}

mit {T_3} = {T_1}

Damit folgt schließlich:

{Q_{23}} = \underline{\underline {5,15kJ}}

\mathcal{J}\mathcal{K}

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