3 – Zeitdiskrete Systeme: Beschreibung im Frequenzbereich

3.1 Die z-Transformation – ein Crashkurs

Wie in früheren Kapiteln besprochen ist die Systemdynamik:

${\vec x_{k+1}} = A{\vec x_k}+\vec b{u_k}$

Diese rekursive Relation kann wie folgt dargestellt werden:

iterative-berechnung-zustandsvektor-system

Zur Behandlung rekursiver Relationen wie dieser nutzen wir die z-Transformation, die einer Zahlenfolge ${f_k}$ eine Potenzreihe in $z$ zuordnet (vergleiche Laplace-Transformation).

Die z-Transformierte von ${f_k}$ ist $F\left( z \right),\quad z \in \mathbb{C}$ , wobei gilt:

$F\left( z \right) = {f_0}{z^0}+{f_1}{z^{-1}}+{f_2}{z^{-2}}+ \ldots = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{f_k}{z^{-k}}}$

Die Folgeglieder der Folge ${f_k}$ sind also die Koeffizienten der Potenzreihe. Da komplexe Zahlen multipliziert und addiert werden, ist auch $F\left( z \right)$ wieder eine komplexe Zahl.

Als Diagramm dargestellt:

folgeglieder-potenzreihe-regler-reell

Anschauliches Beispiel:

${f_k} = 1,\quad \forall k \geq 0$

eingangsfolge-sprungfunktion-beispiel

Es gilt:

$\mathcal{Z}\left\{ {{f_k} = 1} \right\} = F\left( z \right) = 1+1 \cdot {z^{-1}}+1 \cdot {z^{-2}}+ \ldots = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{z^{-k}}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{{\left( {{z^{-1}}} \right)}^k}}$

Dies entspricht der geometrischen Reihe. Sie ist konvergent für $\left| {{z^{-1}}} \right| < 1$ und konvergiert gegen:

$F\left( z \right) = \frac{1}{{1-{z^{-1}}}} = \frac{z}{{z-1}}$

Dies ist die sogenannte analytische Fortsetzung der Funktion $F\left( z \right)$ .

Der Konvergenzbereich und der Pol bei $z = 1$ lassen sich in der komplexen Ebene wie folgt darstellen:

konvergenzbereich-potenzreihe-folgeglieder-geometrisch

Wie im Vorwort beschrieben, stellen wir Polstellen als x und Nullstellen als o dar.

Im praktischen Gebrauch muss man sich über den Konvergenzbereich der Potenzreihe keine Gedanken machen, da $F\left( z \right)$ über die ganze z-Ebene analytisch fortgesetzt werden kann. Genau wie bei der Laplace-Transformation gibt es auch für die z-Transformation Tabellen.

3.2 Eigenschaften der z-Transformation

Vorab-Betrachtung:

Wir nehmen stets an, dass alle Folgen ${f_k}$ für $k < 0$ den Wert 0 annehmen (=verschwinden). Diese Annahme ist gerechtfertigt, denn z.B. sind ja vergangene Eingangswerte (also ${\left. {{u_k}} \right|_{k < 0}}$ ) bereits im Anfangszustand ${\vec x_0}$ berücksichtigt.

Wir wollen nun für einige wichtige Operationen mit Folgen betrachten, welche Operationen ihnen im sogenannten Bildbereich, d.h. dem Bereich der komplexen Funktionen $F\left( z \right)$ , entsprechen.

Die z-Transformation entspricht der Laplace-Transformation bei analogen Signalen.

3.2.1 Linearität

Es gilt:

$\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{{f_k}\:\:\: \circ - \bullet \:\:\:F\left( z \right)} \\{{h_k}\:\:\: \circ - \bullet \:\:\:H\left( z \right)} \\ \end{array} } \right\}\quad \Rightarrow \quad \alpha {f_k}+\beta {h_k}\:\:\: \circ - \bullet \:\:\:\alpha F\left( z \right)+\beta H\left( z \right)$

Also: Der Überlagerung von Folgen entspricht die analoge Überlagerung der zugehörigen z-Transformierten.

3.2.2 Verschiebung der Originalfolge

Gegeben ist eine Folge ${f_k}$ mit ${f_k}\:\:\: \circ - \bullet \:\:\:F\left( z \right)$

Folgewerte werden “aus der Zukunft geholt”. Die Folge ${f_k}$ wird um einen Abtastschritt nach links verschoben. Die verschobene Folge nennen wir ${h_k}$ :

$\begin{array}{*{20}{c}}{{f_0}} & {{f_1}} & {{f_2}} & {{f_3}} & \ldots \\ \swarrow & \swarrow & \swarrow & \ldots & {} \\{{f_1}} & {{f_2}} & {{f_3}} & \ldots & {} \\{{h_0}} & {{h_1}} & {{h_2}} & {{h_3}} & \ldots \\ \end{array}$

Es gilt:

$\mathcal{Z}\left( {{h_k}} \right) = {h_0}+{h_1}{z^{-1}}+{h_2}{z^{-2}}+ \ldots = {f_1}+{f_2}{z^{-1}}+{f_3}{z^{-2}} \ldots$

$= z\underbrace {\left( {{f_0}+{f_1}{z^{-1}}+{f_2}{z^{-2}}+{f_3}{z^{-3}}+ \ldots } \right)}_{F\left( z \right)}-{f_0}z$

$\Rightarrow \quad {f_{k+1}}\:\:\: \circ - \bullet \:\:\:zF\left( z \right)-z{f_0}$

Also: Der Verschiebung einer Folge nach links um einen Abtastschritt entspricht im Wesentlichen eine Multiplikation mit $z$ im Bildbereich.

Analog dazu ist die Verschiebung einer Folge um einen Abtastschritt nach rechts, d.h. Verzögerung um einen Abtastschritt:

${h_k}: = {f_{k-1}},\quad \quad {h_0}: = 0$

Es ergibt sich:

$\mathcal{Z}\left( {{h_k}} \right) = {h_0}+{h_1}{z^{-1}}+{h_2}{z^{-2}}+ \ldots = 0+{f_0}{z^{-1}}+{f_1}{z^{-2}} \ldots$

$= {z^{-1}}\underbrace {\left( {{f_0}+{f_1}{z^{-1}}+{f_2}{z^{-2}}+{f_3}{z^{-3}}+ \ldots } \right)}_{F\left( z \right)}$

$\Rightarrow \quad {f_{k-1}}\:\:\: \circ - \bullet \:\:\:{z^{-1}}F\left( z \right)$

Für eine Verzögerung um $m$ Abtastschritte folgt analog:

${f_{k-m}}\:\:\: \circ - \bullet \:\:\:{z^{-m}}F\left( z \right)$

3.2.3 Faltungssatz

Den Faltungssatz benutzt man z.B., um die Faltungssumme zwischen Gewichts- und Eingangsfolge in den Bildbereich zu übersetzen.

Gegeben seien zwei Folgen ${f_k},{h_k}$ mit

${f_k}\:\:\: \circ - \bullet \:\:\:F\left( z \right),\quad \quad {h_k}\:\:\: \circ - \bullet \:\:\:H\left( z \right)$ .

Die Faltungssumme (neue Folge) lautet:

${\left( {f * h} \right)_k}: = \sum\limits_{j = 0}^k {{f_j}{h_{k-j}}}$

Es gilt:

$f * h\:\:\: \circ - \bullet \:\:\:F\left( z \right)H\left( z \right)$

Der komplizierten Operation der (diskreten) Faltung zweier Folgen entspricht also im Bildbereich die Multiplikation ihrer z-Transformierten.

3.2.4 Grenzwertsätze

Gegeben sei eine Folge ${f_k}$ mit der z-Transformierten $F\left( z \right)$ .

Anfangswertsatz:

${f_0} = \mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } F\left( z \right)$

Endewertsatz:

Unter der Voraussetzung, dass der Grenzwert ${f_\infty }: = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {f_k}$ existiert, gilt:

${f_\infty } = \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \left( {z-1} \right)F\left( z \right)$

Bemerkung:

Die Berechnung der z-Transformierten $F\left( z \right)$ zu einer gegebenen Folge ${f_k}$ und die Rücktransformation einer z-Transformierten in den Folgenbereich erfolgt im Allgemeinen mit Hilfe von Korrespondenztabellen.

3.3 z-Übertragungsfunktion

Wir übersetzen nun die Systembeschreibung im Zeitbereich,

${{\vec x}_{k+1}} = A{{\vec x}_k}+\vec b{u_k},\quad {{\vec x}_0}\:{\text{bekannt}}$

${y_k} = {{\vec c}^T}{{\vec x}_k}+d{u_k}$

mit Hilfe der z-Transformation in den Bildbereich.

3.3.1 Transformation der Zustandsgleichung

Aus der Linearität der z-Transformation folgt:

$\mathcal{Z}\left\{ {{{\vec x}_{k+1}}} \right\} = \mathcal{Z}\left\{ {A{{\vec x}_k}+\vec b{u_k}} \right\}\mathop = \limits^{Lin.} A\underbrace {\mathcal{Z}\left\{ {{{\vec x}_k}} \right\}}_{\vec X\left( z \right)}+\vec b\underbrace {\mathcal{Z}\left\{ {{u_k}} \right\}}_{U\left( z \right)}$

Mit dem Verschiebungssatz folgt:

$\mathcal{Z}\left\{ {{{\vec x}_{k+1}}} \right\} = z\underbrace {\mathcal{Z}\left\{ {{{\vec x}_k}} \right\}}_{\vec X\left( z \right)}-z{\vec x_0}$

Einsetzen:

$z\vec X\left( z \right)-z{\vec x_0} = A\vec X\left( z \right)+\vec bU\left( z \right)\quad \Rightarrow \quad \left( {zI-A} \right)\vec X\left( z \right) = z{\vec x_0}+\vec bU\left( z \right)$

Daraus ergibt sich durch Umstellen die z-Transformierte des Zustandsvektors als Funktion des Anfangszustandes ${\vec x_0}$ und der z-Transformierten der Eingangsfolge:

$\vec X\left( z \right) = z{\left( {zI-A} \right)^{-1}}{\vec x_0}+{\left( {zI-A} \right)^{-1}}\vec bU\left( z \right)$

3.3.2 Transformation der Ausgangsgleichung

Wegen der Linearität der z-Transformation gilt:

$\underbrace {\mathcal{Z}\left\{ {{y_k}} \right\}}_{Y\left( z \right)} = \mathcal{Z}\left\{ {{{\vec c}^T}{{\vec x}_k}+d{u_k}} \right\} = {{\vec c}^T}\underbrace {\mathcal{Z}\left\{ {{{\vec x}_k}} \right\}}_{\vec X\left( z \right)}+d\underbrace {\mathcal{Z}\left\{ {{u_k}} \right\}}_{U\left( z \right)}$

$\Rightarrow \quad Y\left( z \right) = {{\vec c}^T}\vec X\left( z \right)+dU\left( z \right)$

Hier setzen wir nun die transformierte Zustandsgleichung ein:

$Y\left( z \right) = z{\vec c^T}{\left( {zI-A} \right)^{-1}}{\vec x_0}+\underbrace {\left[ {{{\vec c}^T}{{\left( {zI-A} \right)}^{-1}}\vec b+d} \right]}_{ = :G\left( z \right)}U\left( z \right)$

Wir betrachten nun das reine Eingangs-Ausgangs-Verhalten und setzen für diese Betrachtung den Anfangszustand auf ${\vec x_0} = \vec 0$ . Es folgt:

$Y\left( z \right) = G\left( z \right)U\left( z \right)$

Dabei ist

$G\left( z \right): = {\left. {\frac{{Y\left( z \right)}}{{U\left( z \right)}}} \right|_{{{\vec x}_0} = 0}} = {\vec c^T}{\left( {zI-A} \right)^{-1}}\vec b+d$

die z-Übertragungsfunktion des Systems.

Zur Erinnerung: Die zeitkontinuierliche Übertragungsfunktion $G\left( s \right)$ lautet:

$G\left( s \right) = {\vec c^T}{\left( {sI-A} \right)^{-1}}\vec b+d$

Die z-Übertragungsfunktion $G\left( z \right)$ und die zeitkontinuierliche Übertragungsfunktion $G\left( s \right)$ sind also, mathematisch gesehen, identisch aufgebaute Funktionen einer komplexen Variablen. Die z-Übertragungsfunktion weist also analoge mathematische Eigenschaften auf wie die zeitkontinuierliche Übertragungsfunktion.

3.3.3 Pole und Nullstellen der z-Übertragungsfunktion

Die z-Übertragungsfunktion $G\left( z \right)$ ist eine gebrochen rationale Funktion der komplexen Variablen $z$ und lässt sich somit als Quotient zweier koprimer Polynome in $z$ schreiben (koprim bedeutet, dass die beiden Polynome $Z\left( z \right)$ und $N\left( z \right)$ keine gemeinsamen Nullstellen haben):

$G\left( z \right) = \frac{{Z\left( z \right)}}{{N\left( z \right)}} = k\frac{{\prod\limits_{i = 1}^{\operatorname{Grad} \left\{ {Z\left( z \right)} \right\}} {\left( {z-{z_{0i}}} \right)} }}{{\prod\limits_{i = 1}^{\operatorname{Grad} \left\{ {N\left( z \right)} \right\}} {\left( {z-{z_i}} \right)} }}$

Dabei gilt bei einer Systemordnung von $n$ :

$\operatorname{Grad} \left\{ {Z\left( z \right)} \right\} \leq \operatorname{Grad} \left\{ {N\left( z \right)} \right\} \leq n$

Die Zahlen ${z_i} \in \mathbb{C}$ heißen Pole, die Zahlen ${z_{0i}} \in \mathbb{C}$ heißen Nullstellen der z-Übertragungsfunktion.

Weiterhin gilt:

Das Nennerpolynom $N\left( z \right)$ ist entweder identisch mit dem charakteristischen Polynom

$\det \left( {zI-A} \right)$

der Matrix $A$ , oder es entsteht aus diesem durch Kürzen eines oder mehrerer Linearfaktoren. Die Pole der z-Übertragungsfunktion $G\left( z \right)$ sind also stets auch Eigenwerte der Matrix $A$ des diskreten Zustandsraummodells.

Wenn das diskrete System vollständig steuerbar und beobachtbar ist, dann gilt:

Menge der Pole von $G\left( z \right)$ = Menge der Eigenwerte von $A$ .

Andernfalls kürzen sich die zu den nicht steuerbaren oder nicht beobachtbaren Eigenbewegungen / Eigenwerten gehörenden Linearfaktoren in $G\left( z \right)$ heraus.

Da die z-Übertragungsfunktion das E/A-Verhalten des diskreten Systems beschreibt, ist sie unabhängig vom verwendeten Zustands-Koordinatensystem, bleibt also bei einer regulären Zustandstransformation unverändert. Wir können daher den Zusammenhang zwischen Polen von $G\left( z \right)$ und Eigenwerten der Matrix $A$ noch von einer anderen Seite her beleuchten, indem wir – vorausgesetzt die Matrix $A$ ist diagonalisierbar – das Zustandsraummodell in kanonischen Zustands-Koordinaten hinschreiben. Für $G\left( z \right)$ ergibt sich dann:

$G\left( z \right) = {{\hat{\vec{c}}}^T}{\left( {zI-\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{\lambda _1}} & {} & 0 \\{} & \ddots & {} \\ 0 & {} & {{\lambda _n}} \\ \end{array} } \right)} \right)^{-1}}\hat{\vec{b}}+d$

$= {{\hat{\vec{c}}}^T}{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{z-{\lambda _1}} & {} & 0 \\{} & \ddots & {} \\ 0 & {} & {z-{\lambda _n}} \\ \end{array} } \right)^{-1}}\hat{\vec{b}}+d$

$= \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\hat c}_1}} & \ldots & {{{\hat c}_n}} \\ \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{z-{\lambda _1}}}} & {} & 0 \\{} & \ddots & {} \\ 0 & {} & {\frac{1}{{z-{\lambda _n}}}} \\ \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\hat b}_1}} \\ \vdots \\{{{\hat b}_n}} \\ \end{array} } \right)+d$

$= {{\hat c}_1}\frac{1}{{z-{\lambda _1}}}{{\hat b}_1}+ \ldots {{\hat c}_n}\frac{1}{{z-{\lambda _n}}}{{\hat b}_n}+d$

$= \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{{\hat c}_i}{{\hat b}_i}}}{{z-{\lambda _i}}}} +d$

Anhand dieser kanonischen Darstellung wird sichtbar:

Der Eigenwert ${\lambda _i}$ ist genau dann kein Pol von $G\left( z \right)$ , wenn der zugehörige Summand $\frac{{{{\hat c}_i}{{\hat b}_i}}}{{z-{\lambda _i}}}$ in der Summe nicht auftaucht, d.h. wenn entweder die Eigenbewegung zum Eigenwert ${\lambda _i}$ nicht beobachtbar / auslesbar ist ( ${\hat c_i} = 0$ ), oder wenn die Eigenbewegung zum Eigenwert ${\lambda _i}$ nicht steuerbar / anregbar ist ( ${\hat b_i} = 0$ ). Damit ist die frühere Behauptung gezeigt.

3.3.4 Stabilität, Zusammenhang zwischen s- und z-Ebene

Wir betrachten nun wieder das E/A-Verhalten, d.h. ${\vec x_0} = \vec 0$ . Es gilt:

$y = g * u\:\:\: \circ - \bullet \:\:\:Y\left( z \right) = G\left( z \right)U\left( z \right)$

Für BiBo-Stabilität müssen wir prüfen, ob der folgende Grenzwert existiert:

$\sum\limits_{j = 0}^\infty {\left| {{g_j}} \right|} \mathop < \limits^! \infty$

Ein zeitdiskretes System ist genau dann BiBo-Stabil, wenn alle Pole von $G\left( z \right)$ im Inneren des Einheitskreis der komplexen Ebene liegen, d.h. $\left| {{z_i}} \right| < 1$ .

Zusammenhang zwischen den Polen ${s_i}$ der Übertragungsfunktion des zeitkontinuierlichen Systems und den Polen ${z_i}$ von $G\left( z \right)$ der z-Übertragungsfunktion des Abtastsystems:

Die Pole ${z_i}$ von $G\left( z \right)$ sind die steuerbaren und beobachtbaren Eigenwerte ${\lambda _i}\left\{ {{A_d}} \right\}$ der zeitdiskreten Systemmatrix (Eigenwerte zu den anregbaren und auslesbaren Eigenbewegungen).

Für diese Eigenwerte gilt die folgende Beziehung:

$\overbrace {{\lambda _i}\left\{ {{A_d}} \right\}}^{{z_i}} = {e^{\overbrace {{\lambda _i}\left\{ A \right\}}^{ = {s_i}}T}}\quad \Rightarrow \quad \boxed{{z_i} = {e^{{s_i}T}}}$

Dabei ist $A$ die Systemmatrix des kontinuierlichen Systems und $T$ die Abtastzeit. Diese Beziehung beschreibt eine Abbildung von der s-Ebene in die z-Ebene.

Für Pole der Übertragungsfunktion gilt:

${s_i} = {\delta _i}+j{\omega _i}\quad \Rightarrow \quad {z_i} = {e^{{\delta _i}T}}{e^{j{\omega _i}T}}$

Die Pole liegen also in der z-Ebene an anderen Stellen als in der s-Ebene. Hier eine Grafik zur Veranschaulichung:

s-z-ebene-bibo-stabilitat-bereich-nyquist-konvergenz

Falls das zeitkontinuierliche System BIBO-Stabil ist, ist das zugehörige Abtastsystem ebenfalls BIBO-stabil. Die Lage der Pole ${s_i}$ in der s-Ebene gibt Aufschluss über den Stabilitätsgrad und die Mindestdämpfung. Die folgende Grafik veranschaulicht, wohin die Pole ${s_i}$ durch die Abbildung ${s_i} \mapsto {z_i} = {e^{{s_i}T}}$ wandern, und wie sich das auf die Stabilitätsbereiche und das Übertragungsverhalten des Abtastsystems auswirkt.

lage-pole-komplexe-ebene-stabilitat

Nehmen wir an, das kontinuierliche System hat einen vorgegebenen Stabilitätsgrad $d$ . Das bedeutet:

$\operatorname{Re} \left\{ {{s_i}} \right\} = {\delta _i} < -d\quad \forall {s_i}$

Für das Abtastsystem folgt daraus:

$\left| {{z_i}} \right| = {e^{{\delta _i}T}} < {e^{-dT}} < 1$

Nehmen wir nun an, für die Kreisfrequenzen der kontinuierlichen Pole gilt:

${\omega _i} < {\omega _0}$

Für das Abtastsystem folgt daraus:

$\arg \left( {{z_i}} \right) < {\omega _0}T$

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