2 – Zeitdiskrete Systeme: Beschreibung im Zeitbereich

2.1 Ausgangsfolge des diskreten Systems

Wir betrachten ein diskretes Abtastsystem in Zustandsraumdarstellung:

${{\vec x}_{k+1}} = A{{\vec x}_k}+\vec b{u_k}$

${y_k} = {{\vec c}^T}{{\vec x}_k}+d{u_k}$

Der Anfangszustand ${\vec x_0}$ ist bekannt. Der Index d für “digital” wird ab jetzt weggelassen. Die aktuellen Stellzustände ${u_k}$ sind von außen vorgegeben und damit bekannt. Zu berechnen ist nun die Zustandsfolge ${\vec x_k}$ und die Ausgangsfolge ${y_k}$ .

Wir wenden wiederholt die Zustandsgleichung an:

${{\vec x}_1} = A{{\vec x}_0}+\vec b{u_0}$

${{\vec x}_2} = A{{\vec x}_1}+\vec b{u_1} = {A^2}{{\vec x}_0}+A\vec b{u_0}+\vec b{u_1}$

$\vdots$

${{\vec x}_k} = {A^k}{{\vec x}_0}+{A^{k-1}}\vec b{u_0}+{A^{k-2}}\vec b{u_1}+ \ldots +\vec b{u_{k-1}}$

Wir fassen in einer Summe zusammen und erhalten für die Zustandsfolge:

${\vec x_k} = \underbrace {{A^k}{{\vec x}_0}}_{frei}+\underbrace {\sum\limits_{i = 0}^{k-1} {{A^{k-1-i}}\vec b{u_i}} }_{erzw.}$

Wenn es keine Einwirkung durch Stellgrößen gibt, ist die Summe des erzwungenen Teils gleich 0. Man bezeichnet daher ${A^k}{\vec x_0}$ als freie Bewegung und $\sum\limits_{i = 0}^{k-1} {{A^{k-1-i}}\vec b{u_i}}$ als durch die Eingangsfolge ${u_k}$ erzwungene Bewegung. Die Gleichung ist analog zur formalen Lösung des kontinuierlichen Systems:

$\vec x\left( t \right) = {e^{A\left( {t-{t_0}} \right)}}{\vec x_0}+\int_{{t_0}}^t {{e^{A\left( {t-\tau } \right)}}\vec bu\left( \tau \right)d\tau }$

Die Ausgangsfolge des diskreten Systems lautet:

${y_k} = {\vec c^T}{A^k}{\vec x_0}+\sum\limits_{i = 0}^{k-1} {{{\vec c}^T}{A^{k-1-i}}\vec b{u_i}} +d{u_k}$

Auch hier unterscheiden wir zwischen der am Ausgang beobachtbaren freien Bewegung ${\vec c^T}{A^k}{\vec x_0}$ und der am Ausgang beobachtbaren erzwungenen Bewegung $\sum\limits_{i = 0}^{k-1} {{{\vec c}^T}{A^{k-1-i}}\vec b{u_i}} +d{u_k}$ . Diese erzwungene Bewegung ist auch das Eingangs-Ausgangs-Verhalten für ${\vec x_0} = \vec 0$ . Die beiden Anteile werden linear überlagert, wie beim kontinuierlichen LTI-System.

2.2 Kanonische Normalform (Diagonalform)

Das Vorgehen ist völlig analog zur Diagonalisierung kontinuierlicher Systemen:

Diagonalisiere die $n \times n$ Matrix $A$ (im Folgenden als diagonalisierbar angenommen)
Berechne die Eigenwerte ${\lambda _i}$ und Eigenvektoren ${\vec v_i}$ als neue Koordinatenachsen
Führe neue Koordinaten $\hat{\vec{x}} = {\left( {{{\hat x}_1},\: \ldots ,{{\hat x}_n}} \right)^T}$ ein, die auf die Eigenvektorbasis $\left\{ {{{\vec v}_1},{{\vec v}_2}, \ldots ,{{\vec v}_n}} \right\}$ (=neue Koordinatenachsen) des Zustandsraums bezogen sind:
$\vec x = {\vec v_1}{\hat x_1}+{\vec v_2}{\hat x_2}+ \ldots +{\vec v_n}{\hat x_n} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{v_1^1} & \ldots & {v_n^1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\{v_1^n} & \ldots & {v_n^n} \\ \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\hat x}_1}} \\ \vdots \\{{{\hat x}_n}} \\ \end{array} } \right) = V\hat{\vec{x}}$

Wir drücken nun die Gleichung

${\vec x_{k+1}} = A{\vec x_k}+\vec b{u_k}$

in den neuen Koordinaten aus. Dazu multiplizieren wir von links mit ${V^{-1}}$ :

$\underbrace {{V^{-1}}{{\vec x}_{k+1}}}_{ = {{\hat{\vec{x}}}_{k+1}}} = {V^{-1}}AV{{\hat{\vec{x}}}_k}+\underbrace {{V^{-1}}\vec b}_{ = \hat{\vec{b}}}{u_k}$

${{\hat{\vec{x}}}_{k+1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{\lambda _1}} & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & {{\lambda _n}} \\ \end{array} } \right) \cdot {{\hat{\vec{x}}}_k}+\hat{\vec{b}}{u_k}$

In den kanonischen Koordinaten ist die (zeitdiskrete) Dynamik der einzelnen Zustandskomponenten entkoppelt, d.h. unabhängig von der Dynamik der anderen Zustandskomponenten.

${\left( {{{\hat x}_1}} \right)_{k+1}} = {\lambda _1}{\left( {{{\hat x}_1}} \right)_k}+{{\hat b}_1}{u_k}$

${{\hat{\vec{x}}}_k} \equiv \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {{{\hat x}_1}} \right)}_k}} \\ \vdots \\{{{\left( {{{\hat x}_n}} \right)}_k}} \\ \end{array} } \right) = \underbrace {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\lambda _1^k} & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & {\lambda _n^k} \\ \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {{{\hat x}_1}} \right)}_0}} \\ \vdots \\{{{\left( {{{\hat x}_n}} \right)}_0}} \\ \end{array} } \right)}_{freie\:Bewegung,\:kanonische\:Zustandskoord.}+$

$+\sum\limits_{i = 0}^{k-1} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\lambda _1^{k-1-i}} & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & {\lambda _n^{k-1-i}} \\ \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\hat b}_1}} \\ \vdots \\{{{\hat b}_n}} \\ \end{array} } \right){u_i}}$

Modenzerlegung der freien Bewegung:

${\left( {{{\hat x}_{1,frei}}} \right)_k} = \lambda _1^k{\left( {{{\hat x}_1}} \right)_0}$

${{\vec x}_{frei,k}} = {{\vec v}_1}\lambda _1^k{\left( {{{\hat x}_1}} \right)_0}+ \ldots +{{\vec v}_i}\lambda _i^k{\left( {{{\hat x}_i}} \right)_0}+ \ldots$

Dabei ist ${\vec v_i}\lambda _i^k$ die i-te Eigenbewegung / (Eigen-)Mode des diskreten Systems. Bei ${\left( {{{\hat x}_1}} \right)_0}$ ist mit der 1 die Vektorkomponente und mit der 0 der Zeitindex gemeint. Die Modenzerlegung zeigt die freie Bewegung als Überlagerung unabhängiger Eigenbewegungen (beachte: Die Richtungen ${\vec v_i}$ dieser Eigenbewegungen sind linear unabhängig!).

2.3 Asymptotische Stabilität

In Analogie zum zeitkontinuierlichen System heißt ein freies zeitdiskretes System asymptotisch stabil, wenn es nach Auslenkung auf einen beliebigen Anfangszustand ${\vec x_0}$ stets zur Ruhelage ${\vec x_R}$ zurückkehrt. Wir wollen ab nun annehmen, dass ${\vec x_R} = \vec 0$ gilt:

stabilitat-ruhelage-asymptotisch

Es gilt

$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {\vec x_{frei,k}} = \vec 0\quad \forall {\vec x_0}$

genau dann, wenn

$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \lambda _i^k = 0,\quad i = 1, \ldots ,n\quad \Leftrightarrow \quad \left| {{\lambda _i}\left( {{A_d}} \right)} \right| < 1,\quad i = 1, \ldots ,n$

Es ist dann per Definition das freie (diskrete) System asymptotisch stabil.

Also: Ein freies zeitdiskretes System ist genau dann asymptotisch stabil, wenn alle Eigenwerte der Systemmatrix innerhalb des Einheitskreises der komplexen Ebene liegen:

stabilitat-bereich-komplexe-ebene

Es gilt:

${\lambda _i} = \left| {{\lambda _i}} \right| \cdot {e^{j\varphi \left( {{\lambda _i}} \right)}}\quad \Rightarrow \quad \lambda _i^k = {\left| {{\lambda _i}} \right|^k} \cdot {e^{j\varphi \left( {{\lambda _i}} \right)k}}$

Zeitverhalten diskreter Systeme zu verschiedenen reellen Eigenwerten:

Eigenwert im Ursprung: System bleibt auf 0
Eigenwert innerhalb des Einheitskreises (positiv): System klingt ab
Eigenwert auf dem Einheitskreis (positiv): System bleibt konstant
Eigenwert innerhalb des Einheitskreises (negativ): System klingt ab, Werte alternierend positiv und negativ
Eigenwert auf dem Einheitskreis (negativ): System bleibt konstant, Werte alternierend positiv und negativ

zeitverhalten-diskreter-systeme-reelle-eigenwerte

Verhalten bei komplexen Eigenwertpaaren:

Außerhalb des Einheitskreises: System schwingt immer stärker
Auf dem Einheitskreis: System schwingt konstant
Innerhalb des Einheitskreises: System klingt schwingend ab

zeitverhalten-diskreter-systeme-komplexe-eigenwerte

2.4 Eigenwerte von Abtastsystemen

Wir wollen nun die Eigenwerte von kontinuierlichen und diskreten Systemen vergleichen:

${\lambda _i}\left\{ A \right\}\quad vs.\quad {\lambda _i}\left\{ {{A_d}} \right\}$

Es gilt:

${A_d} = {e^{AT}}$

Sei $V$ die Matrix der Eigenvektoren von $A$ . Dann gilt für die Transitionsmatrix ${e^{At}}$ des kontinuierlichen Systems:

${e^{At}} = V \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{e^{{\lambda _1}\left( A \right)t}}} & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & {{e^{{\lambda _n}\left( A \right)t}}} \\ \end{array} } \right){V^{-1}}$

Analog gilt für das diskrete System:

${e^{AT}} = V \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{e^{{\lambda _1}\left( A \right)T}}} & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & {{e^{{\lambda _n}\left( A \right)T}}} \\ \end{array} } \right){V^{-1}}$

Daraus folgt für die Eigenwerte des Abtastsystems:

${\lambda _i}\left\{ {{A_d}} \right\} = {e^{{\lambda _i}\left\{ A \right\}T}}$

Umgekehrt lässt sich die verwendete Abtastzeit aus

$T = \frac{{\ln {\lambda _i}\left\{ {{A_d}} \right\}}}{{{\lambda _i}\left\{ A \right\}}}$

berechnen.

2.5 Gewichtsfolge

Bei zeitkontinuierlichen Systemen haben wir die Gewichtsfunktion als Systemantwort auf einen Delta-Puls betrachtet. Im diskreten Fall ergibt sich als Antwort auf einen diskreten Einheitsimpuls ${\delta _k}$ eine Gewichtsfolge:

gewichtsfolge-diskretes-system-ubertragung

${\delta _k} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1\quad k = 0} \\{0\quad k \ne 0} \\ \end{array} } \right.$

Für die Berechnung der Systemantwort ${y_k}$ auf ${u_k} = {\delta _k}$ setzen wir ${\vec x_0} = 0$ :

${y_k} = {{\vec c}^T}{A^k}\underbrace {{{\vec x}_0}}_0+\sum\limits_{i = 0}^{k-1} {\underbrace {{{\vec c}^T}{A^{k-1-i}}\vec b}_{{g_{k-i}}}\underbrace {{u_i}}_{{\delta _i}}} +d{u_k}$

${g_k} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} d & {k = 0} \\{{{\vec c}^T}{A^{k-1}}\vec b} & {k = 1,2,3, \ldots } \\ \end{array} } \right.$

Systemantwort auf beliebige Eingangsfolge ${u_k}$ :

${y_k} = \sum\limits_{i = 0}^{k-1} {{g_{k-i}}{u_i}} +{g_0}{u_k} = \sum\limits_{i = 0}^k {{g_{k-i}}{u_i}} = \sum\limits_{j = 0}^k {{g_j}{u_{k-j}}} ,\quad i = k-j\quad \Rightarrow \quad j = k-i$

Dies entspricht der Faltungssumme der Gewichtsfolge und der Eingangsfolge:

${y_k} = g * u$

Die Gewichtsfolge (und damit das Ein-/Ausgangsverhalten) bleibt bei einer regulären Zustandsraumtransformation (Wechsel des Zustands-Koordinatensystems) invariant.

2.6 E/A-Stabilität (BIBO-Stabilität)

E/A-Stabilität besagt für ${\vec x_0} = 0$ , dass das System auf eine beschränkte Eingangsgröße mit einem beschränkten Ausgangssignal antwortet.

bibo-stabilitat-beschrankt-eingang-ausgang-signal

Es gibt also eine Schranke $\alpha > 0:\left| {{u_k}} \right| < \alpha ,\:\:k \geq 0$ mit beschränkter Ausgangsgröße, also $\exists \beta > 0:\left| {{y_k}} \right| \leq \beta$ . Wir suchen nun nach einem Kriterium, um zu entscheiden, ob ein gegebenes System BIBO-Stabil ist.

Wir betrachten Eingangsfolgen mit $\left| {{u_k}} \right| \leq 1$ . Für ein festes $k$ wird wegen

${y_k} = g * u = \sum\limits_{j = 0}^k {{g_j}{u_{k-j}}}$

der größtmögliche Wert für ${y_k}$ durch die Eingangsfolge ${u_{k-j}} = \operatorname{sgn} \left( {{g_j}} \right)$ erzielt, nämlich

${y_{k,\max }} = \sum\limits_{j = 0}^k {\left| {{g_j}} \right|}$ .

Für $k \to \infty$ erhalten wir den größtmöglichen Wert für ${y_k}$ :

${y_\infty }: = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {y_{k,\max }} = \sum\limits_{j = 0}^\infty {\left| {{g_j}} \right|}$

Gesuchtes Kriterium:

Diskretes System BIBO-stabil $\Leftrightarrow \:\sum\limits_{j = 0}^\infty {\left| {{g_j}} \right|} < \infty$ , d.h. die Gewichtsfolge muss absolut summierbar sein.

2.7 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit

2.7.1 Anschauliche Definition

Steuerbarkeit: “Können alle Zustandskomponenten durch die Eingangsgrößen beeinflusst werden?”

Beobachtbarkeit: “Enthält die Ausgangsgröße Informationen über alle Zustandskomponenten?”

2.7.2 Exakte Definition

Ein zeitdiskretes System ist genau dann vollständig steuerbar, wenn es von einem beliebigen Anfangszustand ${\vec x_0}$ in endlicher Zeit ${k_e}$ durch eine geeignet gewählte Eingangsfolge ${u_{\left[ {0,{k_e}} \right]}}: = \left\{ {{u_0},{u_1}, \ldots ,{u_{{k_e}}}} \right\}$ in einen beliebig vorgegebenen Endzustand ${\vec x_{{k_e}}}$ überführt werden kann.

Ein zeitdiskretes System ist genau dann vollständig beobachtbar, wenn ein beliebiger Anfangszustand ${\vec x_0}$ aus den über einem endlichen Intervall $\left[ {0,{k_e}} \right]$ bekannten Verläufen der Eingangsfolge ${u_{\left[ {0,{k_e}} \right]}}$ und der Ausgangsfolge ${y_{\left[ {0,{k_e}} \right]}}$ bestimmt werden kann.

Wir suchen nun nach einem Kriterium, ob ein gegebenes System vollständig steuerbar ist.

2.7.3 Kriterium für die vollständige Steuerbarkeit

Der gewünschte Endzustand ist:

${\vec x_{end}}\mathop = \limits^! {\vec x_{{k_e}}} = {A^{{k_e}}}{\vec x_0}+\sum\limits_{i = 0}^{{k_e}-1} {{A^{{k_e}-1-i}}\vec b{u_i}}$

Wir stellen um und schreiben die Summe aus:

$\underbrace {{{\vec x}_{end}}-{A^{{k_e}}}{{\vec x}_0}}_{beliebig\: \in {\mathbb{R}^n}\:falls\:\:steuerbar} = \underbrace {{A^{{k_e}-1}}\vec b{u_0}+{A^{{k_e}-2}}\vec b{u_1}+ \ldots +\underbrace {{A^0}}_{ = I}\vec b{u_{k-1}}}_ *$

Die rechte Seite $*$ besteht aus verschiedenen Vektoren, die linear kombiniert werden mit den Folgegliedern der Eingangsfolge. Diese Vektoren müssen den gesamten Zustandsraum aufspannen (linear unabhängig sein), damit die linke Seite beliebig sein kann. Wir ordnen die Vektoren in einer Matrix an:

${\vec x_{end}}-{A^{{k_e}}}{\vec x_0} = \left( {\vec b|A\vec b| \ldots |{A^{{k_e}-1}}\vec b} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_{k-1}}} \\{{u_{k-2}}} \\ \vdots \\{{u_0}} \\ \end{array} } \right)$

Theorem von Cayley-Hamilton:

Alle höheren Potenzen von $A$ jenseits von ${A^n}$ sind Linearkombinationen der niedrigeren Potenzen ${A^0},\:A, \ldots ,{A^{n-1}}$ . Dabei ist $A^0=I$ .

Schlussfolgerung:

Für ${k_e} > n$ sind die Spalten ${A^n}\vec b,\:{A^{n + 1}}\vec b, \ldots$ nur Linearkombinationen von ${A^0}\vec b,\:{A^1}\vec b, \ldots ,{A^{n - 1}}\vec b$ und helfen nicht mehr dabei, den Zustandsraum aufzuspannen. Daher reicht es, die Vektoren ${A^0}\vec b,\:{A^1}\vec b, \ldots ,{A^{n - 1}}\vec b$ zu betrachten. Diese müssen bei steuerbaren Systemen bereits den gesamten Zustandsraum aufspannen.

Steuerbarkeitskriterium von Kalman:

System vollständig steuerbar
$\Leftrightarrow \:\:Rang\underbrace {\left( {\vec b|A\vec b| \ldots |{A^{n-1}}\vec b} \right)}_{ = :{S_S}} = n$
$\Leftrightarrow \:\:\det \left( {\vec b|A\vec b| \ldots |{A^{n-1}}\vec b} \right) \ne 0$

Dabei ist ${S_S} \in {\mathbb{R}^{n \times n}}$ die diskrete Steuerbarkeitsmatrix.

Nun wollen wir die benötigte Eingangsfolge berechnen:

${S_S}\underbrace {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_{n-1}}} \\{{u_{n-2}}} \\ \vdots \\{{u_0}} \\ \end{array} } \right)}_{gesucht} = \underbrace {\left( {{\vec{x}_{end}}-{A^n}{{\vec x}_0}} \right)}_{bekannt}$

Dies ist ein lineares Gleichungssystem, das ohne weiteres gelöst werden kann. Wenn das Kalman-Kriterium erfüllt ist, erhält man die für die Umsteuerung benötigte Steuerfolge:

$\vec u = S_S^{-1}\left( {{\vec{x}_{end}}-{A^n}{{\vec x}_0}} \right)$

2.7.4 Kriterium für vollständige Beobachtbarkeit

Für ${u_i} = 0$ gilt:

${y_k} = {\vec c^T}{A^k}{\vec x_0}$

Für $n$ Zeitpunkte hingeschrieben:

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_0}} \\{{y_1}} \\ \vdots \\{{y_{n-1}}} \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\vec c}^T}{{\vec x}_0}} \\{{{\vec c}^T}A{{\vec x}_0}} \\ \vdots \\{{\vec c^T}{A^{n-1}}{{\vec x}_0}} \\ \end{array} } \right) = \underbrace {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\vec c}^T}} \\{{{\vec c}^T}A} \\ \vdots \\{{\vec c^T}{A^{n-1}}} \\ \end{array} } \right)}_{ =:{S_B} \in {\mathbb{R}^{n \times n}}}{\vec x_0}$

Dabei sind ${y_i}$ die gemessenen Ausgangswerte, ${S_B}$ die (bekannte) Beobachtbarkeitsmatrix und ${\vec x_0}$ der (gesuchte) Ausgangszustand. Der Anfangszustand kann als Lösung des linearen Gleichungssystems berechnet werden. Das Gleichungssystem hat genau dann eine eindeutige Lösung, wenn ${S_B}$ regulär ist.

Beobachtbarkeitskriterium von Kalman:

System vollständig beobachtbar $\Leftrightarrow \:\:Rang\left( {{S_B}} \right) = n\:\: \Leftrightarrow \:\:\det \left( {{S_B}} \right) \ne 0$

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