!! Z1 – Kochtopf auf Herdplatte

Ein Topf (D = 20 cm) mit kochendem Wasser steht auf einer Herdplatte, welche denselben
Durchmesser wie der Kochtopf besitzt. Der Boden des Topfes hat eine Höhe von 10 mm und
besteht im Fall 1 vorwiegend aus Kupfer, im Fall 2 aus Edelstahl. Über die Herdplatte wird
dem Boden des Kochtopfs eine Heizleistung von ${\dot Q_H} = 1\:kW$ zugeführt. Der Umfang des
Topfbodens soll als adiabat betrachtet werden.

Welche Temperatur hat der Boden des Kochtopfs an der Kontaktstelle für Fall 1 und Fall 2?
Wie sehen die Temperaturverläufe über dem Kochtopfboden aus?

Wärmeleitfähigkeit Kupfer ${{\text{k}}_{{\text{Cu}}}} = {\text{ 4}}00{\text{ W}}/\left( {{\text{m}} \cdot {\text{K}}} \right)$
Wärmeleitfähigkeit Edelstahl ${{\text{k}}_{{\text{ES}}}} = {\text{ 14 W}}/\left( {{\text{m}} \cdot {\text{K}}} \right)$

Lösung

warmeubertragung-herdplatte-topf

Hierbei handelt es sich um ein Wärmeleitungsproblem („1-phasig“), welches wir mit der Fouriergleichung lösen werden:

a)

Es gilt: $\dot Q = \frac{k} {d} \cdot A \cdot \Delta T$ , wobei ΔT die Temperaturdifferenz zwischen der Herdplatte und dem Boden des Topfes darstellt. Wegen der Richtung von $\dot Q$ gilt: $\Delta T = {T_H}-{T_W}$ , also:

$\dot Q = \frac{k} {d} \cdot A \cdot \left( {{T_H}-{T_W}} \right)$

$\Rightarrow \quad {T_H} = \frac{{\dot Q \cdot d}} {{k \cdot A}}+{T_W}$

Fall 1: ${T_H} = \frac{{\dot Q \cdot H}} {{{k_{Cu}} \cdot A}}+{T_W} = \frac{{1000W \cdot 0,01m}} {{400\frac{W} {{mK}} \cdot \frac{{{{\left( {0,2m} \right)}^2}\pi }} {4}}}+100^\circ C = \underline{\underline {100,8^\circ C}}$

Fall 2: ${T_H} = \frac{{\dot Q \cdot H}} {{{k_{ES}} \cdot A}}+{T_W} = \frac{{1000W \cdot 0,01m}} {{14\frac{W} {{mK}} \cdot \frac{{{{\left( {0,2m} \right)}^2}\pi }} {4}}}+100^\circ C = \underline{\underline {122,7^\circ C}}$