!! Z1 – Kochtopf auf Herdplatte

 

Ein Topf (D = 20 cm) mit kochendem Wasser steht auf einer Herdplatte, welche denselben
Durchmesser wie der Kochtopf besitzt. Der Boden des Topfes hat eine Höhe von 10 mm und
besteht im Fall 1 vorwiegend aus Kupfer, im Fall 2 aus Edelstahl. Über die Herdplatte wird
dem Boden des Kochtopfs eine Heizleistung von {\dot Q_H} = 1\:kW zugeführt. Der Umfang des
Topfbodens soll als adiabat betrachtet werden.

  1. Welche Temperatur hat der Boden des Kochtopfs an der Kontaktstelle für Fall 1 und Fall 2?
  2. Wie sehen die Temperaturverläufe über dem Kochtopfboden aus?

Wärmeleitfähigkeit Kupfer {{\text{k}}_{{\text{Cu}}}} = {\text{ 4}}00{\text{ W}}/\left( {{\text{m}} \cdot  {\text{K}}} \right)
Wärmeleitfähigkeit Edelstahl {{\text{k}}_{{\text{ES}}}} = {\text{ 14 W}}/\left( {{\text{m}} \cdot  {\text{K}}} \right)

Lösung

warmeubertragung-herdplatte-topf

Hierbei handelt es sich um ein Wärmeleitungsproblem („1-phasig“), welches wir mit der Fouriergleichung lösen werden:

a)

Es gilt: \dot Q = \frac{k} {d} \cdot  A \cdot  \Delta T, wobei ΔT die Temperaturdifferenz zwischen der Herdplatte und dem Boden des Topfes darstellt. Wegen der Richtung von \dot Q gilt: \Delta T = {T_H}-{T_W}, also:

\dot Q = \frac{k} {d} \cdot  A \cdot  \left( {{T_H}-{T_W}} \right)

\Rightarrow \quad {T_H} = \frac{{\dot Q \cdot  d}} {{k \cdot  A}}+{T_W}

Fall 1: {T_H} = \frac{{\dot Q \cdot  H}} {{{k_{Cu}} \cdot  A}}+{T_W} = \frac{{1000W \cdot  0,01m}} {{400\frac{W} {{mK}} \cdot  \frac{{{{\left( {0,2m} \right)}^2}\pi }} {4}}}+100^\circ C = \underline{\underline {100,8^\circ C}}

Fall 2: {T_H} = \frac{{\dot Q \cdot  H}} {{{k_{ES}} \cdot  A}}+{T_W} = \frac{{1000W \cdot  0,01m}} {{14\frac{W} {{mK}} \cdot  \frac{{{{\left( {0,2m} \right)}^2}\pi }} {4}}}+100^\circ C = \underline{\underline {122,7^\circ C}}

b)

Hier ein Diagramm mit zwei verschiedenen Temperaturleitfähigkeiten:

temperatur-verlauf

Es gilt also:
Hohe Leitfähigkeit \Rightarrow niedriger Gradient
Niedrige Leitfähigkeit \Rightarrow hoher Gradient

\mathcal{J}\mathcal{K}\& \mathcal{F}\mathcal{W}

Ähnliche Artikel

Kommentar verfassen