!! Z2 – Widerstandsthermometer im Windkanal

 

Ein Widerstandsthermometer mit dem Durchmesser D = 5 mm wird in einem Windkanal von Luft mit einer Geschwindigkeit von um = 20 m/s und einer Temperatur von Tm = 80 °C umströmt. Das Thermometer hat zu Beginn eine Temperatur von 20 °C.

  1. Wie hoch ist der flächenspezifische Wärmestrom, der zum Widerstandsthermometer fließt?
  2. Wie hoch wäre der flächenspezifische Wärmestrom, wenn der Widerstandsthermometer anstatt von Luft von Maschinenöl umströmt wird?
  3. Wie verändert sich der flächenspezifische Wärmestrom im Fall der Luftströmung, wenn die Strömungsgeschwindigkeit verdoppelt und der Durchmesser des Thermometers halbiert wird?

Mittlere Nußelt-Zahl: N{u_D} = C \cdot  \operatorname{Re} _D^m \cdot  {\Pr ^{0,37}}

\begin{array}{*{20}{c}}    {{{\operatorname{Re} }_d}} &\vline &  C &\vline &  m  \\ \hline    {40-1000} &\vline &  {0,51} &\vline &  {0,5}  \\ \hline    {{{10}^3}-2 \cdot  {{10}^5}} &\vline &  {0,26} &\vline &  {0,6}  \\   \end{array}

Stoffwerte Luft
mittlere kinematische Viskosität: νL = 172,6·10-7 m²/s
Prandtl Zahl: PrL = 0,7122
Wärmeleitfähigkeit: kL = 26,3·10-3 W/(m·K)

Stoffwerte Maschinenöl
mittlere kinematische Viskosität: νÖl = 550·10-6 m²/s
Prandtl Zahl: PrÖl = 3400
Wärmeleitfähigkeit: kÖl = 139·10-3 W/(m·K)

Lösung

konvektion-stromung-stab

Hierbei handelt es sich um ein Konvektionsproblem („2-phasig“), das wir mit Hilfe der Newtongleichung und der Nußelt-Zahl lösen werden.

a)

Es gilt nach Newton:
\frac{{\dot Q}} {A} = \dot q = h \cdot  \left( {{T_m}-{T_t}} \right)

N{u_D} = \frac{{h \cdot  D}} {{{k_L}}} = C \cdot  \operatorname{Re} _D^m \cdot  {\Pr ^{0,37}}

\Rightarrow \quad h = \frac{{N{u_D} \cdot  {k_L}}} {D}

{\operatorname{Re} _D} = \frac{{{u_m} \cdot  D}} {{{\nu _L}}} = \frac{{20\frac{m} {s} \cdot  0,005m}} {{172,6 \cdot  {{10}^{-7}}\frac{{{m^2}}} {s}}} = 5793,74

Aus der Tabelle folgt damit: C = 0,26,\quad m = 0,6

N{u_D} = C \cdot  \operatorname{Re} _D^m \cdot  \Pr _L^{0,37} = 0,26 \cdot  {5793,74^{0,6}} \cdot  {0,7122^{0,37}} = 41,52

h = \frac{{N{u_D} \cdot  {k_L}}} {D} = \frac{{41,52 \cdot  26,3 \cdot  {{10}^{-3}}\frac{W} {{mK}}}} {{0,005m}} = 218,37\frac{W} {{{m^2}K}}

\dot q = h \cdot  \left( {{T_m}-{T_t}} \right) = 218,37\frac{W} {{{m^2}K}} \cdot  \left( {353,15K-293,15K} \right) = \underline{\underline {13,1\:\frac{{kW}} {{{m^2}}}}}

b)

{\operatorname{Re} _D} = \frac{{{u_m} \cdot  D}} {{{\nu _{\ddot Ol}}}} = \frac{{20\frac{m} {s} \cdot  0,005m}} {{550 \cdot  {{10}^{-6}}\frac{{{m^2}}} {s}}} = 181,8

Aus der Tabelle folgt damit: C = 0,51,\quad m = 0,5

N{u_D} = C \cdot  \operatorname{Re} _D^m \cdot  \Pr _L^{0,37} = 0,51 \cdot  {181,8^{0,5}} \cdot  {3400^{0,37}} = 139,32

\Rightarrow \quad h = \frac{{N{u_D} \cdot  {k_L}}} {D} = \frac{{139,32 \cdot  139 \cdot  {{10}^{-3}}\frac{W} {{mK}}}} {{0,005m}} = 3873,1\frac{W} {{{m^2}K}}

\dot q = h \cdot  \left( {{T_m}-{T_t}} \right) = 3873,1\frac{W} {{{m^2}K}} \cdot  \left( {353,15K-293,15K} \right) = \underline{\underline {232,4\:\frac{{kW}} {{{m^2}}}}}

c)

Wir betrachten hier der Einfachheit halber nur die Größen, die von der Strömungsgeschwindigkeit und dem Durchmesser des Thermometers abhängen.
Damit gilt gilt:
\dot q \sim h \sim \frac{{N{u_D}}} {D} \sim \frac{{\operatorname{Re} _D^{0,6}}} {D} \sim \frac{{{{\left( {{u_m} \cdot  D} \right)}^{0,6}}}} {D}

\Rightarrow \quad \frac{{{{\left( {2{u_m} \cdot  \frac{D} {2}} \right)}^{0,6}}}} {{\frac{D} {2}}} = 2 \cdot  \frac{{{{\left( {{u_m} \cdot  D} \right)}^{0,6}}}} {D} \sim \underline{\underline {2 \cdot  \dot q}}

Bei Verdoppelung der Strömungsgeschwindigkeit und Halbierung des Durchmessers des Thermometers wird der flächenspezifische Wärmestrom also verdoppelt.

\mathcal{J}\mathcal{K}\& \mathcal{F}\mathcal{W}

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