!! Z3 – Härtung eines Stahlzylinders

 

Ein Stahlzylinder (D = 30 mm, L = 150 mm) soll gehärtet werden. Dazu wird er zum
Zeitpunkt t0 = 0 s in ein Ölbad geworfen. Der Stahlzylinder hat anfangs eine Temperatur von
Ts = 1000 °C. Das Ölbad hat eine Temperatur von 25 °C und enthält so viel Öl, dass es sich
durch den eingebrachten Stahlzylinder nicht erwärmt. Es kann angenommen werden, dass die
Wärmeleitfähigkeit des Zylinders so hoch ist, dass sich keine Temperaturgradienten im
Werkstück ausbilden. Der mittlere Wärmeübergangskoeffizient ist auf der Oberfläche
konstant und beträgt h = 800 W/m²·K. Der Wärmeübergang an den Stirnseiten des Zylinders
soll vernachlässigt werden.

  1. Mit welcher Geschwindigkeit ändert sich die Temperatur des Zylinders direkt nach dem Eintauchen?
  2. Wie lange dauert es, bis sich der Zylinder auf die halbe bzw. auf ein Viertel der Anfangstemperaturdifferenz abgekühlt hat? Entdimensionieren Sie die Differenzialgleichung mit geeigneten Größen!
  3. Wie verändert sich die Abkühlzeit, wenn der Durchmesser des Zylinders verdoppelt wird? Der Wärmeübergangskoeffizient soll als konstant angenommen werden.


Stoffwerte Stahlzylinder
Dichte ρ = 7854 kg/m³
Spezifische Wärmekapazität c = 434 J/kg·K

Lösung

warmeubertragung-fluid-stange

a)

Zur Lösung dieser Aufgabe benötigen wir den 1. Hauptsatz der Thermodynamik:

\frac{{dU}} {{dt}} = \sum {\dot Q+\underbrace {\sum {{{\dot W}_t}} }_0}

Da wir keinen technische Arbeit (in Form von Rühren etc.) verrichten, ist der zweite Term = 0.
Das Q folgt aus der Newton-Gleichung (Konvektion):

{\dot Q_H} = -h \cdot  A \cdot  \left( {{T_s}\left( t \right)-{T_{\ddot Ol}}\left( t \right)} \right)

Das Minus resultiert aus der Betrachtung des vom Stab abfließenden Wärmestromes.
Für die innere Energie ist ebenfalls aus der Thermodynamik bekannt:

U = m \cdot  c \cdot  T\quad  \Rightarrow \quad dU = m \cdot  c \cdot  d{T_s}\left( t \right)

Die Oberfläche berechnet sich zu:

A = D \cdot  \pi  \cdot  L
Und für die Masse des Stabes gilt:
m = \frac{{{D^2} \cdot  \pi }} {4} \cdot  L \cdot  \rho

Somit erhalten wir durch Einsetzen:

\frac{{{D^2} \cdot  \pi }} {4} \cdot  L \cdot  \rho  \cdot  c \cdot  \frac{{d{T_s}\left( t \right)}} {{dt}} = -h \cdot  D \cdot  \pi  \cdot  L \cdot  \left( {{T_s}\left( t \right)-{T_{\ddot Ol}}} \right)

\Rightarrow \quad \frac{{d{T_s}\left( t \right)}} {{dt}} = \underline{\underline {-\frac{{4 \cdot  h}} {{D \cdot  \rho  \cdot  c}} \cdot  \left( {{T_s}\left( t \right)-{T_{\ddot Ol}}} \right)}}  = \underline{\underline {-30,51\frac{K} {s}}}

b)

Zunächst müssen wir die Differentialgleichung entdimensionieren.
Dazu führen wir als erstes eine normierte Temperatur ein, für die allgemein gilt:

\theta  = \frac{{\Delta T}} {{{T_{bez}}}} = \frac{{T\left( {xt} \right)-{T_w}}} {{{T_{bez}}}}\quad  \Leftrightarrow \quad {T_{bez}}\:d\theta  = dT

bzw. speziell für unseren Fall:

\theta  = \frac{{{T_s}\left( t \right)-{T_{\ddot Ol}}}} {{{T_{bez}}}}

\Rightarrow \quad {T_s} = {T_{bez}}\theta +{T_{\ddot Ol}}

\Rightarrow \quad d{T_s} = {T_{bez}}\:d\theta

Diese Zusammenhänge setzen wir nun in die Differentialgleichung aus a) ein:

{T_{bez}} \cdot  \frac{{\:d\theta }} {{dt}} = -\frac{{4 \cdot  h}} {{D \cdot  \rho  \cdot  c}} \cdot  \left( {{T_{bez}}\theta +\underbrace {{T_{\ddot Ol}}-{T_{\ddot Ol}}}_0} \right)

\Rightarrow \quad \frac{{\:d\theta }} {{dt}} = -\frac{{4 \cdot  h}} {{D \cdot  \rho  \cdot  c}} \cdot  \theta

Nun stört uns noch der Bruch vor dem Theta. Daher führen wir nun auch noch eine normierte Zeit ein:

\tau  = t \cdot  \frac{{4 \cdot  h}} {{D \cdot  \rho  \cdot  c}}\quad  \Rightarrow \quad t = \frac{{D \cdot  \rho  \cdot  c}} {{4 \cdot  h}} \cdot  \tau \quad  \Rightarrow \quad dt = \frac{{D \cdot  \rho  \cdot  c}} {{4 \cdot  h}} \cdot  d\tau

Eingesetzt erhalten wir dadurch:

\frac{{\:d\theta }} {{dt}} = -\frac{{4 \cdot  h}} {{D \cdot  \rho  \cdot  c}} \cdot  \theta

\Rightarrow \quad \:d\theta  = -\frac{{4 \cdot  h}} {{D \cdot  \rho  \cdot  c}} \cdot  \theta  \cdot  \frac{{D \cdot  \rho  \cdot  c}} {{4 \cdot  h}} \cdot  d\tau

\Rightarrow \quad \underline{\underline {\frac{{d\theta }} {{d\tau }} = -\theta }}

Somit ist die DGL also schon mal entdimensioniert.
Nun lösen wir die DGL:

\frac{{d\theta }} {{d\tau }} = -\theta

\Rightarrow \quad \int {\frac{1} {\theta }d\theta }  = -\int {d\tau }

\Rightarrow \quad \ln \theta  = -\tau +{c_1}

\Rightarrow \quad \theta  = {c_2} \cdot  {e^{-\tau }}

Zur Bestimmung von c2 betrachten wir die Anfangsbedingung:

t = 0\quad  \Rightarrow \quad \tau  = 0\quad  \Rightarrow \quad {T_s} = {T_{s,0}}

\Rightarrow \quad \theta  = \frac{{{T_s}\left( 0 \right)-{T_{\ddot Ol}}}} {{{T_{Bez}}}} = \frac{{{T_s}\left( 0 \right)-{T_{\ddot Ol}}}} {{{T_{s,0}}-{T_{\ddot Ol}}}} = \frac{{{T_{s,0}}-{T_{\ddot Ol}}}} {{{T_{s,0}}-{T_{\ddot Ol}}}} = 1 = {c_2}

Also gilt:

\underline{\underline {\theta  = {e^{-\tau }}}}

Für die Hälfte der Anfangstemperatur folgt:

\theta  = \frac{{\frac{1} {2}\left( {{T_{s,0}}-{T_{\ddot Ol}}} \right)}} {{{T_{s,0}}-{T_{\ddot Ol}}}} = \frac{1} {2} = {e^{-\tau }}

\Rightarrow \quad \tau  = -\ln \frac{1} {2} = 0,69 = t \cdot  \frac{{4 \cdot  h}} {{D \cdot  \rho  \cdot  c}}

\Rightarrow \quad \underline{\underline {t = 22s}}

Für ein Viertel der Anfangstemperatur folgt:

\theta  = \frac{{\frac{1} {2}\left( {{T_{s,0}}-{T_{\ddot Ol}}} \right)}} {{{T_{s,0}}-{T_{\ddot Ol}}}} = \frac{1} {4} = {e^{-\tau }}

\Rightarrow \quad \tau  = -\ln \frac{1} {4} = 1,39 = t \cdot  \frac{{4 \cdot  h}} {{D \cdot  \rho  \cdot  c}}

\Rightarrow \quad \underline{\underline {t = 44s}}

c)

Bei Verdoppelung des Durchmessers folgt:

t = \frac{{D \cdot  \rho  \cdot  c}} {{4 \cdot  h}} \cdot  \tau

D' = 2 \cdot  D

\Rightarrow t' = 2 \cdot  t

Damit würde sich durch Verdoppelung des Durchmessers also auch die Abkühlzeit verdoppeln.

\mathcal{J}\mathcal{K}\& \mathcal{F}\mathcal{W}

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2 Kommentare zu “!! Z3 – Härtung eines Stahlzylinders”

aufmerksamer Leser

Ergebnis Aufgabenteil a) muss -30,5 K sein.
Sonste wäre auch bei konst. Abkühlgeschwindigkeit nach 22s erst eine Abkühlung von grob 66K erfolgt, was sicherlich nicht die Hälfte der Temperaturdifferenz von 975 K ist.

Stimmt. Da muss wohl das Komma verrutscht sein. Hab’s korrigiert. Danke!

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