02 – Zufallsvariablen und ihre Verteilung

Zufallsvariablen

Sei $\left( {\Omega ,\mathcal{A},P} \right)$ ein W-Raum, $\left(F,\mathcal{F}\right)$ ein Ereignisraum, $X$ eine $\mathcal{A}-\mathcal{F}$ -meßbare Abbildung von $\Omega$ nach $F$ , also $X:\Omega\to F$ derart, dass $X^{-1}\left(B\right) \in \mathcal{A} \forall B \in \mathcal{F}$ . Dann heißt $X$ eine (F-wertige) Zufallsvariable (ZV; auch: Zufallsgröße) auf $\left( {\Omega ,\mathcal{A},P} \right)$ .

Spezialfälle

$X$ heißt reelle Zufallsvariable, falls $\left(F,\mathcal{F}\right) = \left(\mathbb{R}, \mathcal{B}\right)$ .
Ist $k\geq 2$ und $\left(F,\mathcal{F}\right) = \left(\mathbb{R^k}, \mathcal{B^k}\right)$ , so heißt $X$ k-dimensionaler Zufallsvektor.
Zufallsgrößen werden meist mit Großbuchstaben bezeichnet: X, Y, Z, …

Schreibweisen:

Ist $B \in \mathcal{F}$ , so schreibt man

$\left\{ {X \in B} \right\}: = {X^{-1}}\left( B \right) = \left\{ {\omega \in \Omega |X\left( \omega \right) \in B} \right\}$

$\left\{ {X = x} \right\}: = \left\{ {X \in \left\{ x \right\}} \right\}$

$P\left( {X \in B} \right): = P\left( {{X^{-1}}\left( B \right)} \right)$

speziell für reelle ZV:

$\left\{ {X \leq x} \right\}: = \left\{ {X \in \left] {-\infty ,x} \right]} \right\}$

$\left\{ {X \geq x} \right\}: = \left\{ {X \in \left[ {X,\infty } \right[} \right\}$

Die Verteilung einer Zufallsvariablen

Sei $\left( {\Omega ,\mathcal{A},P} \right)$ ein W-Raum, $\left(F,\mathcal{F}\right)$ ein Ereignisraum, $X:\Omega\to F$ eine F-wertige Zufallsvariable.
Das Bildmaß $P_X$ von $P$ unter der Abbildung $X$ ist erklärt gemäß

${P_X}\left( B \right) = P\left( {X \in B} \right)\forall B \in \mathcal{F}$

$P_X$ ist ein W-Maß auf $\left(F,\mathcal{F}\right)$ und heißt die Verteilung der Zufallsvariablen $X$ .
Statt $P_X$ schreibt man auch $X\left(P\right)$ oder $P \circ {X^{-1}}$ .

Beispiel:

Sei $\left( {\Omega ,\mathcal{A},P} \right)$ ein W-Raum,

$\left( {F,\mathcal{F}} \right) = \left( {\Omega ,\mathcal{A}} \right)$ ,

$X: \Omega \to \Omega$ die identische Abbildung.

Dann ist $P_X = P$ . Jedes W-Maß auf $\left( {\Omega ,\mathcal{A}} \right)$ kann also als Verteilung einer Zufallsgröße $X$ aufgefaßt werden.

Identisch verteilte Zufallsgrößen

Für $i=1,2$ seien $\left( {\Omega_i ,\mathcal{A}_i,P_i} \right)$ W-Räume, $\left(F,\mathcal{F}\right)$ ein Ereignisraum,

$X_i:\Omega_i \to F$ Zufallsgrößen.

$X_1$ und $X_2$ heißen identisch verteilt, wenn ihre Verteilungen identisch sind, also

$X_1\left(P_1\right) = X_2\left(P_2\right)$ .

Die Verteilungsfunktion einer reellen Zufallsvariablen

Sei $X$ eine reelle Zufallsvariable auf dem W-Raum $\left( {\Omega ,\mathcal{A},P} \right)$ . Die Funktion $F_X:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ gemäß $F_X\left(x\right) := P\left(X\leq \right)$ . $x \in \mathbb{R}$ heißt Verteilungsfunktion von $X$ .

Die Verteilungsfunktion $F := F_X$ ist stets monoton wachsend und rechtsseitig stetig und es
gilt: $F(x) \to 0$ für $X\to -\infty$ und $F(x) \to 1$ für $X\to +\infty$ . Insbesondere ist $0 \leq F\left(x\right) \leq 1 \forall x \in \mathbb{R}$ .

Durch die Verteilungsfunktion ist die Verteilung von $X$ eindeutig bestimmt.
Ferner gilt für alle $X,a,b \in \mathbb{R},\quad a<b$ :

$1-F\left(x \right) = P\left(X > x \right)$

$F\left(x- \right) = P\left(X < x \right)$

$F\left(x \right)-F\left(x- \right) = P\left(X = x \right)$

$P\left( {a < X \leqslant b} \right) = F\left( b \right)-F\left( a \right)$

F ist genau dann stetig auf $\mathbb{R}$ , wenn $P\left(X=x\right) = 0$ für alle $x\in\mathbb{R}$ .

Quantile

Sei $X$ eine reelle Zufallsverteilung mit der Verteilungsfunktion $F = F_X$ und sei $\alpha\in\left]0,1\right[$ . Eine Zahl $x_\alpha\in\mathbb{R}$ heißt α-Quantil von $F$ (oder von $X$ , oder von $P_X$ ), falls $F\left(x_\alpha-\right) \leq \alpha\leq F\left(x_\alpha\right)$

Äquivalent: $P\left(X>x_\alpha\right) \leq 1-\alpha \leq P\left(X\geq x_\alpha\right)$

Zu $\alpha\in\left]0,1\right[$ existiert stets ein α-Quantil von $F$ , z.B. $x_\alpha = \inf \left\{ {x \in \mathbb{R}|F\left( x \right) \geq \alpha } \right\}$

(Diesen Wert liefert der Quantil-Aufruf in “R”). Allerdings ist das α-Quantil nicht notwendig eindeutig bestimmt. Bei den in der Statistik auftretenden stetigen Verteilungen sind die Quantile in der
Regel eindeutig bestimmt, nämlich durch die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion: für

$\alpha\in\left]0,1\right[$ ist $F^{-1}\left(\alpha\right)$ das α-Quantil von F.

Spezialfall: Ein 0.5-Quantil heißt Median. m ist also genau dann Median von $X$ , falls
$P\left(X\leq m\right) \geq 0.5$ und $P\left(X \geq m\right) \geq 0.5$

Diskrete Zufallsvariablen und ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion

Sei $\left( {\Omega ,\mathcal{A},P} \right)$ ein W-Raum, $\left(F,\mathcal{F}\right)$ ein Ereignisraum.
Eine F-wertige ZV $X:\Omega\to F$ heißt diskret, wenn eine höchstens abzählbare Menge $T \subset F$
existiert mit $P\left(X\in T\right) = 1$ . Man nennt dann T einen Träger von $X$ (oder der Verteilung von X).
Definiere $f_X: T \to \mathbb{R}_+$ gemäß $f_X \left(x\right) = P\left(X=x\right) = P_X\left(\left\{x\right\}\right)$ für $X\in T$ .

$f_X$ heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion (W-Funktion, Zähldichte, Massefunktion) von $X$ .
$P_X$ ist durch $f_X$ eindeutig bestimmt, denn für alle $B\in \mathcal{F}$ gilt (mit $f:= f_X$ ):

$P_X\left(B\right) = P\left(X\in B\right) = P\left(X\in B\cap T\right) = \sum\limits_{x \in B \cap T} {f\left( x \right)}$

Insbesondere ist $\sum\limits_{x \in T} {f\left( x \right)} = 1$

Stetige Zufallsvariablen und ihre Dichte

Sei $n$ eine natürliche Zahl, $\left( {\Omega ,\mathcal{A},P} \right)$ ein W-Raum, $X: \Omega \to \mathbb{R}^n$ eine ZV. Die Verteilung $P_X$ von $X$ ist also ein W-Maß auf der σ-Algebra $\mathcal{B}^n$ der Borelschen Teilmengen des $\mathbb{R}^n$ .

$X$ heißt stetig (verteilt), wenn eine nichtnegative Funktion $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}_+$ existiert derart, dass für alle Borelschen Mengen $B\in \mathcal{B}^n$ gilt:

$P\left(X\in B\right) = P_X\left(B\right) = \int_B{f d\lambda^n}$ . (Lebesgue-Integral; $\lambda^n$ ist das n-dimensionale Lebesguemaß)

Eine solche Funktion $f$ heißt dann eine (Lebesgue-Wahrscheinlichkeits-) Dichte von $X$ ; sie ist
Lebesgue-fast eindeutig bestimmt. Man schreibt $f = f_X$ , um auszudrücken, dass $f$ eine Dichte
von $X$ ist.

Bemerkungen

Sei $X$ eine stetige reelle Zufallsvariable auf $\left( {\Omega ,\mathcal{A},P} \right)$ mit der Verteilungsfunktion $F$ und
der Dichte $f$ . Dann ist $F$ stetig auf $\mathbb{R}$ und es ist $F\left( x \right) = \int_{-\infty }^x {f\left( t \right)dt} \forall x \in \mathbb{R}$
Für alle $a,b\in\mathbb{R}$ mit $a<b$ gilt dann:

$P\left(a < X \leq b\right) = P\left(a \leq X < b\right) = P\left(a < X < b\right) = P\left(a \leq X \leq b\right)$

Sei $X$ eine stetige reelle Zufallsvariable auf $\left( {\Omega ,\mathcal{A},P} \right)$ mit der Verteilungsfunktion $F$ und sei $F$ stetig und stückweise stetig differenzierbar, d.h. es existiere eine endliche Zerlegung der Zahlengeraden $-\infty = a_0 < a1 < \ldots < a_n = +\infty$ , so dass $F$ für jedes $i=1,\ldots,n$ auf $\left]a_{i-1}, a_i\right[$ stetig differenzierbar ist.
Setze $f\left(x\right) := F'\left(x\right)$ für $\bigcup\limits_{i = 1, \ldots ,n} {\left] {{a_{i-1}},{a_i}} \right[}$ bzw. $f\left(x\right) := 0$ sonst.
Dann ist $X$ stetig verteilt und $F$ ist eine Dichte von $X$ .

Sei $X$ eine stetige Zufallsvariable. Dann ist $P\left(X\in N\right) = 0$ für jede λⁿ-Nullmenge $N$ , also für jedes $N\in \mathcal{B}^n$ mit $\lambda^n\left(N\right)=0$ .

Eine reelle ZV $X$ mit der Verteilungsfunktion $F$ heißt (bezüglich 0) symmetrisch verteilt,
wenn $P\left(X > x\right) = P\left(X < -x\right)$ für alle $x\in\mathbb{R}$ ; im stetigen Fall heißt dies: $F\left(-x\right) = 1-F\left(x\right)$ für alle $x\in\mathbb{R}$ , was immer dann gilt, wenn die Dichte $f$ eine gerade Funktion ist. Ist dann $\alpha\in\left]0,1\right[$ und $x_{1-\alpha}$ ein (1-α)-Quantil von $X$ , so ist $-x_{1-\alpha}$ ein α-Quantil von $X$ .

Transformationssatz für Dichten

Sei $X$ ein n-dimensionaler stetiger reeller Zufallsvektor mit der Dichte $f_X$ .
Sei $U$ eine offene Teilmenge des $\mathbb{R}^n$ mit $P\left(X\in U\right) = 1$ ;
$\tau : U \to \mathbb{R}^n$ sei ein C¹-Diffeomorphismus, d.h. $V := \tau\left(U\right)$ ist eine offene Teilmenge des $\mathbb{R}^n$ , $\tau: U \to V$ ist bijektiv, $\tau$ und $\tau^{-1}$ sind stetig differenzierbar mit auf $U$ resp. auf $V$ nirgends verschwindenden Funktionaldeterminanten $D\tau$ resp. $D\tau^{-1}$ . Der n-dimensionale Zufallsvektor $Y := \tau\left(X\right)$ ist dann ebenfalls stetig mit der Dichte $f_Y\left(y\right) = 1_V\left(y\right)f_X\left(\tau^{-1}\left(y\right)\right)\left|D\tau^{-1}\left(y\right)\right|, y\in\mathbb{R}^n$ .

Spezialfall $n=1$ : $U, V$ offene Intervalle, $X$ U-wertige reelle ZV, $\tau: U \to V$ stetig differenzierbar mit $\tau'\left(x\right)\ne 0 \forall X\in U$ . Ist $X$ stetig verteilt mit der Dichte $f_X$ , so ist Y =\tau\left(X\right) ebenfalls stetig verteilt mit der Dichte $f_Y\left(y\right) = 1_V\left(y\right)f_X\left(\tau^{-1}\left(y\right)\right)\left|\left(\tau^{-1}\right)'\left(y\right)\right|, y\in\mathbb{R}$ .