! Zusammenfassung: Instationäre Wärmeleitung

 

Beispiel:

instationare-warmeleitung-stab

Sinnvolle Konvention: Wärmestrom immer in positive Koordinatenrichtung eintragen!

Erster Hauptsatz:

\frac{{dU}}{{dt}} = \sum {\dot Q} +\sum {\dot W}

Das System ist instationär, daher ist \frac{{dU}}{{dt}} \ne 0

\frac{{dU}}{{dt}} = {\dot Q_{L,x}}-{\dot Q_{L,x+dx}}-{\dot Q_{konv}}-{\dot Q_{Str}}+\dot Q_{Quelle}^*

Taylor-Reihe:

{\dot Q_{L,x+dx}} = {\dot Q_{L,x}}+\frac{1}{{1!}}\frac{{\partial {{\dot Q}_{L,x}}}}{{\partial x}}dx+\frac{1}{{2!}}\frac{{{\partial ^2}{{\dot Q}_{L,x}}}}{{\partial {x^2}}}d{x^2}+ \ldots

Fourier:

{\dot Q_L} = -k{A_{dQ}}\frac{{\partial T}}{{\partial x}}

Newton:

{\dot Q_{konv}} = h \cdot dA \cdot \left( {T\left( x \right)-{T_\infty }} \right),\quad dA = d \cdot \pi \cdot dx

Linearisierte Strahlung:

\dot Q = {h_{Str}} \cdot dA \cdot \left( {T\left( x \right)-{T_\infty }} \right)

Quellterm:

\dot Q_{Quelle}^* = {q^*}dV = {q^*}\frac{{{d^2}\pi }}{4}dx

Der Quellterm resultiert aus Wärme, die durch Elektrische Energie oder chemische Reaktionen im Material frei wird. Außerdem wird sie benutzt bei teiltransparenten Materialien, bei denen Lichteinstrahlung im Material absorbiert wird, wodurch Wärme entsteht.

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