Zylindersymmetrische Raumladungsverteilung

 

Gegeben ist die zylindersymmetrische Raumladungsverteilung \rho (r)

\rho (r) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    {\rho _0 \frac{r}{R}} & {0 \leq r < R}  \\    0 & {R \leq r < 2R}  \\    {K\rho _0 \left( {\frac{r} {R}-3} \right)} & {2R \leq r < 3R}  \\    0 & {3R \leq r}  \\   \end{array} } \right.

wobei K eine positive reelle Konstante ist.

Aufgaben und Lösungen

a )

Skizzieren Sie den Verlauf \rho (r) über r.

Lösung:

Zylinderladung

b )

Berechnen Sie allgemein die in einem zylinderförmigen Volumen
der Länge L mit variablem Radius r um den Koordinatenursprung
eingeschlossene Ladung Q(r) abhängig von \rho _0, R, k und r. Unterscheiden
Sie dabei die Fälle 0 ≤ r < R, R ≤ r < 2R , 2R ≤ r < 3R und
r ≥ 3R.

Lösung:

Für zylinderfrömige Ladungsverteilungen benutzen wir folgendes Integral:

Q(r) = \int {\rho (r)2\pi rL\cdot ds}

0 \leq r < R

Q(r) = 2\pi L\cdot\int\limits_0^r {\rho _0 \frac{{r^* }} {R}\cdot r^* \cdot dr^*  = \frac{{2\pi L\rho _0 }} {R}\left[ {\frac{{r^{*3} }} {3}} \right]_0^r }  = \frac{{2\pi L\rho _0 }} {{3R}}r^3

R \leq r < 2R

Q(r) = \frac{{2\pi L\rho _0 }} {3}R^2

2R \leq r < 3R

Q(r) = \frac{{2\pi L\rho _0 }} {3}R^2 +K2\pi L\rho _0 \int\limits_{2R}^r {\left( {\frac{{r^* }} {R}-3} \right)r^* dr^* }

Q(r) = \frac{{2\pi L\rho _0 }} {3}R^2 +K2\pi L\rho _0 \left[ {\frac{{r^{*3} }} {{3R}}-\frac{3} {2}r^{*2} } \right]_{2R}^r

Q(r) = 2\pi L\rho _0 \left[ {\frac{{R^2 }} {3}+K\left( {\frac{{r^3 }} {{3R}}-\frac{{3r^2 }} {2}-\frac{8} {3}R^2 +6R^2 } \right)} \right]

3R \leq r

Q(r) = 2\pi L\rho _0 \left[ {\frac{{R^2 }} {3}+K\left( {\frac{{27}} {3}R^2 -\frac{{27}} {2}R^2 -\frac{8} {3}R^2 +6R^2 } \right)} \right]

c )

Berechnen Sie allgemein die dielektrische Verschiebung D(r) abhängig
von \rho _0 , R, k und r. Unterscheiden Sie dabei wiederum die
Fälle 0 ≤ r < R, R ≤ r < 2R , 2R ≤ r < 3R und r ≥ 3R.

Lösung:

D(r) = \frac{{Q(r)}} {{2\pi rL}}

0 \leq r < R

D(r) = \frac{{\rho _0 }} {{3R}}r^2

R \leq r < 2R

D(r) = \frac{{\rho _0 }} {{3r}}R^2

R \leq r < 2R

D(r) = \frac{{\rho _0 }} {r}\left[ {\frac{{R^2 }} {3}+K\left( {\frac{{r^3 }} {{3R}}-\frac{{3r^2 }} {2}-\frac{8} {3}R^2 +6R^2 } \right)} \right]

3R \leq r

D(r) = \frac{{\rho _0 }} {r}\left[ {\frac{{R^2 }} {3}+K\left( {\frac{{27}} {3}R^2 -\frac{{27}} {2}R^2 -\frac{8} {3}R^2 +6R^2 } \right)} \right]

d )

Welcher Wert ergibt sich für die Konstante k aus der Forderung:
D(r ≥ 3R) = 0 (dielektrische Verschiebung verschwindet für r ≥ 3R).

Lösung:

K = ?

Q(r) = 0 = 2\pi L\rho _0 R^2 \left( {\frac{1} {3}-\frac{7} {6}K} \right) \Rightarrow K = \frac{1} {3}\cdot\frac{6} {7} = \frac{2} {7}

e )

Berechnen Sie die Spannung UR−2R zwischen einem Punkt bei
r = R und einem Punkt bei r = 2R in Abhängigkeit von den gegebenen
Größen ( ε r = 1).

Lösung:

U_{R-2R}  = V(R)-V(2R) = \frac{{\rho _0 r^2 }} {{\varepsilon _0 }}\left( {\frac{2} {3}-K\frac{7} {{12}}} \right)