Zylindersymmetrische Raumladungsverteilung

Gegeben ist die zylindersymmetrische Raumladungsverteilung $\rho (r)$

$\rho (r) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rho _0 \frac{r}{R}} & {0 \leq r < R} \\ 0 & {R \leq r < 2R} \\ {K\rho _0 \left( {\frac{r} {R}-3} \right)} & {2R \leq r < 3R} \\ 0 & {3R \leq r} \\ \end{array} } \right.$

wobei K eine positive reelle Konstante ist.

Aufgaben und Lösungen

a )

Skizzieren Sie den Verlauf $\rho (r)$ über r.

Lösung:

Zylinderladung

b )

Berechnen Sie allgemein die in einem zylinderförmigen Volumen
der Länge L mit variablem Radius r um den Koordinatenursprung
eingeschlossene Ladung Q(r) abhängig von $\rho _0$ , R, k und r. Unterscheiden
Sie dabei die Fälle 0 ≤ r < R, R ≤ r < 2R , 2R ≤ r < 3R und
r ≥ 3R.

Lösung:

Für zylinderfrömige Ladungsverteilungen benutzen wir folgendes Integral:

$Q(r) = \int {\rho (r)2\pi rL\cdot ds}$

$0 \leq r < R$

$Q(r) = 2\pi L\cdot\int\limits_0^r {\rho _0 \frac{{r^* }} {R}\cdot r^* \cdot dr^* = \frac{{2\pi L\rho _0 }} {R}\left[ {\frac{{r^{*3} }} {3}} \right]_0^r } = \frac{{2\pi L\rho _0 }} {{3R}}r^3$

$R \leq r < 2R$

$Q(r) = \frac{{2\pi L\rho _0 }} {3}R^2$

$2R \leq r < 3R$

$Q(r) = \frac{{2\pi L\rho _0 }} {3}R^2 +K2\pi L\rho _0 \int\limits_{2R}^r {\left( {\frac{{r^* }} {R}-3} \right)r^* dr^* }$

$Q(r) = \frac{{2\pi L\rho _0 }} {3}R^2 +K2\pi L\rho _0 \left[ {\frac{{r^{*3} }} {{3R}}-\frac{3} {2}r^{*2} } \right]_{2R}^r$

$Q(r) = 2\pi L\rho _0 \left[ {\frac{{R^2 }} {3}+K\left( {\frac{{r^3 }} {{3R}}-\frac{{3r^2 }} {2}-\frac{8} {3}R^2 +6R^2 } \right)} \right]$

$3R \leq r$

$Q(r) = 2\pi L\rho _0 \left[ {\frac{{R^2 }} {3}+K\left( {\frac{{27}} {3}R^2 -\frac{{27}} {2}R^2 -\frac{8} {3}R^2 +6R^2 } \right)} \right]$

c )

Berechnen Sie allgemein die dielektrische Verschiebung D(r) abhängig
von $\rho _0$ , R, k und r. Unterscheiden Sie dabei wiederum die
Fälle 0 ≤ r < R, R ≤ r < 2R , 2R ≤ r < 3R und r ≥ 3R.

Lösung:

$D(r) = \frac{{Q(r)}} {{2\pi rL}}$