Wir haben bereits gezeigt, dass separabel ist. Dies gilt auch für
und ist eine notwendige Voraussetzung für die Existenz einer Schauderbasis im Banachraum
. Dabei heißt eine Folge
Schauderbasis von
, falls für alle
eine eindeutig bestimmte Folge
so existiert, dass
gilt.
Für
und
ist solch eine Basis z.B. durch die äquidistante dyadische Zerlegung von mit den Gitterpunkten
und das zugehörige System der Hutfunktionen (Schaudersystem)
Bemerkung
Das Schaudersystem der Hutfunktionen liefert z.B. durch die Nummerierung
eine Schauderbasis von
im Definitionssinn.
-
Wie viele Gitterpunkte besitzt eine Zerlegung der Tiefe
? Bestimmen Sie die Hutfunktionen zur Zerlegungstiefe
explizit.
-
Zu
und zur Zerlegungstiefe
und zur Zerlegungstiefe
ist die stetige, stückweise lineare Approximation
durch
mit
und
definiert.
-
Sei
. Berechnen Sie die stetige, stückweise lineare Approximation
.
-
Finden Sie eine Fehlerabschätung
mit
.
-
Sei
Hinweis: Verwenden Sie den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
Lösung
a )
Anzahl der Gitterpunkte (nicht Gebiete):
Explizite Bestimmung von :
und
allgemein:
b )
Konstruktives Vorgehen
Bestimme eine Erzeugerfunktion auf
durch
Skalierung auf kleine Quadrate
Translation vom Ursprung auf
Wir identifizieren zunächst die Trägerquadrate (-rechtecke) durch
Dies liefert uns schließlich die “Tochter”-Funktionen:
berechnet sich dann wie folgt:
mit
b 2)
Wir betrachten den Ausdruck
und schätzen ab:
Nun verwenden wir den Mittelwertsatz der Differentialrechnung:
mit
folgt:
Wir betrachten zuletzt noch und
:
Betrachtung der beiden Teile:
Es gilt:
q.e.d.