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05.1 – Raumsonde auf Hyperbelbahn

Eine Raumsonde verlasse die Erde auf einer Hyperbelbahn. Für diese Bahn sind gegeben:

Große Halbachse a = -7000km, Exzentrizität e = 2

a )

Bestimmen Sie die Perigäumshöhe, spezifischen Drehimpuls und spezifische Energie der Bahn!

b )

Bestimmen Sie Abstand r, Geschwindigkeit v sowie radiale und transversale Geschwindigkeitskomponenten {v_r} und {v_\theta } für die wahren Anomalien \theta = 0^\circ ,\:\:45^\circ ,\:\:90^\circ ,\:\:110^\circ

c )

Welche Geschwindigkeit hat die Sonde im Abstand von {10^6}km von der Erde?

d )

Welche Geschwindigkeit hat die Sonde im Unendlichen?

e )

Wie groß kann die wahre Anomalie maximal werden?

Lösung

a )

{r_P} = a\left( {1-e} \right) = 7000km

{h_P} = {r_P}-{R_E} = 622km

p = r\left( {\theta = 90^\circ } \right) = \frac{{{h^2}}}{{\gamma M}} = \frac{{{h^2}}}{\mu }\quad \Rightarrow \quad h = \sqrt {p\mu } = \sqrt {a\left( {1-{e^2}} \right)\mu } = 9,15 \cdot {10^{10}}\frac{{{m^2}}}{s}

\varepsilon = -\frac{\mu }{{2a}} = 2,85 \cdot {10^7}\frac{J}{{kg}}

rs-ellipsenbahn-parameter

b )

Die benötigten Formeln (Herleitung siehe Buch) sind:

r = \frac{{a\left( {1-{e^2}} \right)}}{{1+e\cos \left( \theta \right)}}

v = \sqrt {\mu \left( {\frac{2}{r}-\frac{1}{a}} \right)}

{v_r} = \dot r = e\sqrt {\frac{\mu }{P}} \sin \left( \theta \right) = e\sqrt {\frac{\mu }{{a\left( {1-{e^2}} \right)}}} \sin \left( \theta \right)

{v_\theta } = \frac{{\sqrt {a\left( {1-{e^2}} \right)\mu } }}{r}

Es folgen die Ergebnisse in Tabellenform.

\begin{array}{*{20}{c}} \theta &\vline & {\frac{r}{{km}}} & {\frac{v}{{\frac{{km}}{s}}}} & {\frac{{{v_r}}}{{\frac{{km}}{s}}}} & {\frac{{{v_\theta }}}{{\frac{{km}}{s}}}} \\ \hline{0^\circ } &\vline & {7000} & {13,1} & 0 & {13,1} \\ \hline{45^\circ } &\vline & {8700} & {12,2} & {6,16} & {10,5} \\ \hline{90^\circ } &\vline & {21000} & {9,74} & {8,71} & {4,36} \\ \hline{110^\circ } &\vline & {66500} & {8,3} & {8,19} & {1,38} \\ \end{array}

c )

v = \sqrt {\mu \left( {\frac{2}{r}-\frac{1}{a}} \right)} = 7599\frac{m}{s}

d )

Im Unendlichen ist der Radius unendlich, es ist also:

v = \sqrt {\mu \left( {\underbrace {\frac{2}{r}}_{ = 0}-\frac{1}{a}} \right)} = \sqrt {-\frac{\mu }{a}} = 7546\frac{m}{s}

e )

r = \frac{{a\left( {1-{e^2}} \right)}}{{1+e\cos \left( \theta \right)}}

e\cos \left( \theta \right) = \frac{{a\left( {1-{e^2}} \right)}}{r}-1

\theta = \arccos \left( {\frac{{a\left( {1-{e^2}} \right)}}{{re}}-\frac{1}{e}} \right)

\theta _{\max} = {\theta _{r \to \infty }} = \arccos \left( {-\frac{1}{e}} \right) = 120^\circ

This Post Has 2 Comments

  1. Neunmalklug

    8 Jun 2010

    Also:

    c) v= 7599 m/s
    d) v= 7546 m/s

    Wie man sieht ist auch die Geschwindigkeit unter c) höher als unter d), womit die Erklärung mit der Rechengenauigkeit angepasst werden müsste.

  2. admin

    9 Jun 2010

    Stimmt. Ich hatte die Ergebnisse aus der Übung nachlässigerweise nicht noch mal geprüft^^
    Der Fehler wurde korrigiert.

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