Mit Hilfe des Gradientenverfahrens soll das Minimum der Funktion
bestimmt werden.
- Schreiben Sie
in der Form
, wobei
.
- Um das Minimum von
zu bestimmen, kann auch ein Gleichungssystem gelöst werden. Geben Sie dieses an.
- Bestimmen Sie die Konditionszahl von
bezüglich der 2-Norm.
- Aus der Vorlesung kennen Sie die Abschätzung
Dabei ist
die Konditionszahl von
mit Vorkonditionierungsmatrix
. Zeigen Sie, dass diese Abschätzung hier für
und
scharf ist.
Lösung
a )
Mit
(Interessant vor allem für sehr große Eigenwerte)
b )
c )
Die Konditionszahl bezüglich der 2-Norm berechnet man mit:
d )
Aus der Vorlesung:
Die verwendete Norm ist dabei:
Zu zeigen:
Für ein instationäres Iterationsverfahren gilt allgemein:
Gradientenverfahren:
(wir wollen zum Minimum, also gehen wir immer den steilsten Weg runter)
Hier:
zu beweisen:
Aus der Vorlesung wissen wir:
Wobei
mit dem Residuum . Daraus folgt durch Einsetzen in die bekannte Formel:
Wir wollen nun den Beweis mit vollständiger Induktion durchführen.
Induktionsannahme:
Induktionsanfang: siehe oben
Induktionsschritt:
Einsetzen der Induktionsannahme:
Die Schrittweite ist also für alle gleich.
Daraus folgt:
Da gilt, haben wir für große
eine schlechte Konvergenz! Wenn wir ungünstig starten, wird die Norm des Vektors
in jedem Schritt nur unwesentlich kleiner.