Die Gammafunktion
wird durch ein uneigentliches Integral definiert:
- Beweisen Sie, dass dieses uneigentliche Integral für jede Zahl x > 0 existiert. Zeigen Sie dazu, dass es zu jedem x > 0 ein t0 > 0 gibt, so dass für alle t ≥ t0 gilt: tx-1 · e-t ≤ 1/t2. Folgern Sie aus der Konvergenz des uneigentlichen Integrals
dass das uneigentliche Integral
konvergiert. Zeigen Sie in ähnlicher Weise, dass auch das uneigentliche Integral
konvergiert.
- Beweisen Sie die Funktionalgleichung der Gammafunktion:
für x > 0. Hinweis: Partielle Integration
- Zeigen Sie, dass
für die natürlichen Zahlen n ≥ 1 gilt.
Lösung
a )
Für jedes feste x ∈ R+ ist die Funktion γx(t) := tx-1e-t stetig auf R+. Insbesondere gilt:
Daraus ergibt sich für alle x ∈ R+:
Anders ausgedrückt: Zu jedem x > 0 gibt es ein t0 > 0, so dass für alle t ≥ t0 gilt:
oder umgeformt:
Daraus folgt, dass:
Andererseits gilt aber für alle x > 0:
somit erhält man für alle x > 0:
Zusammenfassend gilt für alle x > 0:
b )
Wir integrieren partiell:
q.e.d.
c )
Zeigen durch Einsetzen von Werten:
Bei höherem x steigt der Exponent von t in der Formel jeweils um 1, wodurch bei der partiellen Integration jeweils dieses x nocheinmal als Faltor dazukommt.
Beweis durch vollständige Induktion:
Induktionsbehauptung:
Induktionsanfang:
Induktionsschluss:
wir setzen die Induktionsbehauptung ein:
q.e.d.