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06 – Gammafunktion

Die Gammafunktion

\Gamma \left( x \right):\left\{ {x \in \mathbb{R}|x > 0} \right\} \to \mathbb{R}

wird durch ein uneigentliches Integral definiert:

\Gamma \left( x \right): = \int_0^\infty {t^{x-1} \:e^{-t} \:dt}

  1. Beweisen Sie, dass dieses uneigentliche Integral für jede Zahl x > 0 existiert. Zeigen Sie dazu, dass es zu jedem x > 0 ein t0 > 0 gibt, so dass für alle t ≥ t0 gilt: tx-1 · e-t ≤ 1/t2. Folgern Sie aus der Konvergenz des uneigentlichen Integrals

    \int_{t_0 }^\infty {\frac{1} {{t^2 }}dt}

    dass das uneigentliche Integral

    \int_{t_0 }^\infty {t^{x-1} \:e^{-t} \:dt}

    konvergiert. Zeigen Sie in ähnlicher Weise, dass auch das uneigentliche Integral

    \int_0^{t_0 } {t^{x-1} \:e^{-t} \:dt}

    konvergiert.

  2. Beweisen Sie die Funktionalgleichung der Gammafunktion:

    \Gamma \left( {x+1} \right) = x \cdot \Gamma \left( x \right)

    für x > 0. Hinweis: Partielle Integration

  3. Zeigen Sie, dass

    \Gamma \left( {n+1} \right) = n!

    für die natürlichen Zahlen n ≥ 1 gilt.

Lösung

a )

Für jedes feste x ∈ R+ ist die Funktion γx(t) := tx-1e-t stetig auf R+. Insbesondere gilt:

\lim \limits_{t \to \infty } \gamma _x \left( t \right) = 0

Daraus ergibt sich für alle x ∈ R+:

\lim \limits_{t \to \infty } t^2 \gamma _x \left( t \right) = \lim \limits_{t \to \infty } t^{x+1} e^{-t} = 0

Anders ausgedrückt: Zu jedem x > 0 gibt es ein t0 > 0, so dass für alle t ≥ t0 gilt:

t^{x+1} e^{-t} \leq 1

oder umgeformt:

t^{x-1} e^{-t} \leq \frac{1} {{t^2 }}

Daraus folgt, dass:

\int_{t_0 }^\infty {t^{x-1} e^{-t} dt} \leq \int_{t_0 }^\infty {\frac{1} {{t^2 }}dt} = \left. {-\frac{1} {t}} \right|_{t_0 }^\infty = \frac{1} {{t_0 }} < \infty \quad \quad \quad \forall x > 0

Andererseits gilt aber für alle x > 0:

t^{x-1} \underbrace {e^{-t} }_{ < 1} < t^{x-1} \quad \quad \quad \forall t > 0

somit erhält man für alle x > 0:

\int_0^{t_0 } {t^{x-1} e^{-t} dt} < \int_0^{t_0 } {t^{x-1} dt} = \left. {\frac{1} {x} \cdot t^x } \right|_0^{t_0 } = \frac{1} {x} \cdot t_0 ^x < \infty

Zusammenfassend gilt für alle x > 0:

\Gamma \left( x \right) = \int_0^\infty {t^{x-1} e^{-t} dt} = \int_0^{t_0 } {t^{x-1} e^{-t} dt} +\int_{t_0 }^\infty {t^{x-1} e^{-t} dt} < \infty

b )

Wir integrieren partiell:

\Gamma \left( {x+1} \right) = \int_0^\infty {\underbrace {t^x }_f\:\underbrace {e^{-t} }_{g ^{\prime}}\:dt} = \underbrace {t^x }_f \cdot \underbrace {\left( {-e^{-t} } \right)}_g|_0^\infty -\int_0^\infty {\underbrace {x \cdot t^{x-1} }_{f ^{\prime}} \cdot \underbrace {\left( {-e^{-t} } \right)}_g} \:dt

= \underbrace {t^x \cdot \left( {-e^{-t} } \right)|_0^\infty }_0+x\int_0^{t_0 } {t^{x-1} \:e^{-t} \:dt} = x \cdot \int_0^{t_0 } {t^{x-1} \:e^{-t} \:dt} = x \cdot \Gamma \left( x \right)

q.e.d.

c )

Zeigen durch Einsetzen von Werten:

\Gamma \left( {0+1} \right) = \int_0^\infty {t^{1-1} \:e^{-t} \:dt} = \int_0^\infty {e^{-t} \:dt} = \left. {-e^{-t} } \right|_0^\infty = 0-\left( {-1} \right) = 1 = 0!

\Gamma \left( {1+1} \right) = \int_0^\infty {t^{2-1} \:e^{-t} \:dt} = \int_0^\infty {t\:e^{-t} \:dt} = t\:\left. {\left( {-e^{-t} } \right)} \right|_0^\infty -\int_0^\infty {\left( {-e^{-t} } \right)} \:dt

= 0+\int_0^\infty {e^{-t} } dt = \left. {\left( {-e^{-t} } \right)} \right|_0^\infty = 1 = 1!

\Gamma \left( {2+1} \right) = \int_0^\infty {t^{3-1} \:e^{-t} \:dt} = \int_0^\infty {t^2 \:e^{-t} \:dt}

= t^2 \:\left. {\left( {-e^{-t} } \right)} \right|_0^\infty -\int_0^\infty {2t\left( {-e^{-t} } \right)} \:dt = 0+2\int_0^\infty {t\:e^{-t} dt}

= 2 \cdot \left( {t\:\left. {\left( {-e^{-t} } \right)} \right|_0^\infty -\int_0^\infty {\left( {-e^{-t} } \right)} \:dt} \right) = 2 \cdot \left( {0+\int_0^\infty {e^{-t} } dt} \right)

= 2 \cdot \left( {\left. {\left( {-e^{-t} } \right)} \right|_0^\infty } \right) = 2 \cdot 1 = 2!

\Gamma \left( {3+1} \right) = \int_0^\infty {t^{4-1} \:e^{-t} \:dt} = \int_0^\infty {t^3 \:e^{-t} \:dt}

= t^3 \:\left. {\left( {-e^{-t} } \right)} \right|_0^\infty -\int_0^\infty {3t^2 \left( {-e^{-t} } \right)} \:dt = 0+3\int_0^\infty {t^2 \:e^{-t} dt }

= 3 \cdot \left( {t^2 \:\left. {\left( {-e^{-t} } \right)} \right|_0^\infty -\int_0^\infty {2t\left( {-e^{-t} } \right)} \:dt} \right) = 3 \cdot \left( {0+2\int_0^\infty {t\:e^{-t} } dt} \right)

= 3 \cdot 2 \cdot \left( {t\:\left. {\left( {-e^{-t} } \right)} \right|_0^\infty -\int_0^\infty {\left( {-e^{-t} } \right)} \:dt} \right)

= 3 \cdot 2 \cdot \left( {0+\int_0^\infty {e^{-t} } dt} \right) = 3 \cdot 2 \cdot \left( {\left. {\left( {-e^{-t} } \right)} \right|_0^\infty } \right) = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 3!

Bei höherem x steigt der Exponent von t in der Formel jeweils um 1, wodurch bei der partiellen Integration jeweils dieses x nocheinmal als Faltor dazukommt.

Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsbehauptung:

\Gamma \left( {n+1} \right) = n!

Induktionsanfang:

\Gamma \left( 1 \right) = \int_0^\infty {t^{0-1} e^{-t} dt} = \int_0^\infty {e^{-t} dt} = \left. {-e^{-t} } \right|_0^\infty = 1

Induktionsschluss:

\Gamma \left( {n+2} \right) = \left( {n+1} \right) \cdot \Gamma \left( {n+1} \right)

wir setzen die Induktionsbehauptung ein:

\Gamma \left( {n+2} \right) = \left( {n+1} \right) \cdot \Gamma \left( {n+1} \right) = \left( {n+1} \right) \cdot n! = \left( {n+1} \right)!

q.e.d.

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