Voraussetzung
Sesquilinearform
beschränkt:
koerziv:
Variationsproblem
Aufgabe: Finde zu vorgegebenem ein
:
Aussage von Lax-Milgramm:
Es git einen “Lösungsgenerator”
ist linear und stetig, Bijektion mit
wegen
Nach Darstellungssatz von Riesz gibt es genau ein mit
Da die beiden Formen rechts und links sesquilinear sind, ist linear und wegen
beschränkt, also stetig.
Wegen
folgt für den Nullraum
Weiter folgt daraus, dass der Bildraum abgeschlossen ist:
Betrachte hierzu eine Folge mit
Dann ergibt sich
Somit ist eine Cauchy-Folge, also konvergent gegen ein
und wegen der Stetigkeit von
folgt
Damit erhalten wir
Sei
Dann ist
Damit gilt insbesondere
Und damit ist
Also: und
ist eine Bijektion.
Setze
Dann ist
Der Operator leistet das Gewünschte
Es ist:
Anwendung
Als Anwendung von Lax-Milgram betrachten wir folgendes Variationsproblem:
Gesucht: so dass
Hierbei ist stetig und antilinear (
) wie
.
Dazu konjugiere komplex die Variationsgleichung und setze
wobei und wegen Riesz
Zudem ist eine beschränkte, koerzive Sesquilinearform, sogenannte adjungierte Sesquilinearform. Hierzu gibt es nach Lax-Milgram einen Lösungsoperator
und