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18 – Negative Definitheit – Minorenkriterium

Das sogenannte Hauptminorenkriterium von Hurwitz und Sylvester ermöglicht es, zu überprüfen, ob eine symmetrische Matrix positiv definit ist.
Es sei

A: = \left( {a_{ij} } \right)_{\begin{array}{*{20}{c}} 1 \leq i \leq n \\ 1 \leq q \leq n \\ \end{array} } \in \mathbb{R}^{n \times n}

eine symmetrische, reelle n x n Matrix. Für 1 ≤ k ≤ n wird die Determinante der oberen linken k x k Teilmatrix von A

\left| {\left( {a_{ij} } \right)_{\begin{array}{*{20}{c}} 1 \leq i \leq k \\ 1 \leq j \leq k \\ \end{array} } } \right|

als k-ter Hauptminor von A bezeichnet. Das Hauptminorenkriterium besagt nun, dass A genau dann positiv definit ist, wenn alle Hauptminoren von A positiv sind.

Folgern Sie aus diesem Kriterium (das Sie nicht beweisen sollen) ein ähnliches Kriterium für negative Definitheit einer symmetrischen Matrix.
Hinweis: Eine symmetrische Matrix A ist genau dann negativ definit, wenn -A positiv definit ist.)

Lösung

Eine symmetrische Matrix A ist genau dann negativ definit, wenn -A positiv definit ist.

Wir betrachten die Matrix A mit

A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a & b & d & \cdots \\ b & c & & \\ d & & \ddots & \\ \vdots & & & \\ \end{array} } \right)

Wenn diese negativ definit sein soll, dann muss die Matrix -A positiv definit sein. Das heißt, die Hauptminoren von -A müssen alle größer als 0 sein. Daraus folgt:

\left| {-a} \right| > 0\quad \quad \Rightarrow \quad \quad -1 \cdot \left| a \right| > 0\quad \quad \Rightarrow \quad \quad \left| a \right| < 0

und aufgrund der Tatsache, dass die Determinante eine Multilinearform ihrer Spalten (bzw Zeilen) ist:

\left| {\begin{array}{*{20}{c}} - a&-b \\ - b&-c \\ \end{array} } \right| > 0\quad \quad \Rightarrow \quad \quad -1 \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & -b \\ b & -c \\ \end{array} } \right| > 0\quad \quad \Rightarrow \quad \quad \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & b \\ b & c \\ \end{array} } \right| > 0

\left| {\begin{array}{*{20}{c}} - a&-b&-d \\ - b&-c&-f \\ - d&-f&-e \\ \end{array} } \right| > 0\quad \quad \Rightarrow \quad \quad -1 \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & -b&-d \\ b & -c&-f \\ d & -f&-e \\ \end{array} } \right| > 0\quad

\Rightarrow \quad \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & b & -d \\ b & c & -f \\ d & f & -e \\ \end{array} } \right| > 0\quad \quad \Rightarrow \quad \quad -1 \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & b & d \\ b & c & f \\ d & f & e \\ \end{array} } \right| > 0

\Rightarrow \quad \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & b & d \\ b & c & f \\ d & f & e \\ \end{array} } \right| < 0

…und so weiter. Es gilt also:

A ist genau dann negativ definit, falls die Vorzeichen der Hauptminoren alternieren, d.h. falls alle ungeraden Hauptminoren negativ sind und alle geraden positiv.

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