Das sogenannte Hauptminorenkriterium von Hurwitz und Sylvester ermöglicht es, zu überprüfen, ob eine symmetrische Matrix positiv definit ist.
Es sei
eine symmetrische, reelle n x n Matrix. Für 1 ≤ k ≤ n wird die Determinante der oberen linken k x k Teilmatrix von A
als k-ter Hauptminor von A bezeichnet. Das Hauptminorenkriterium besagt nun, dass A genau dann positiv definit ist, wenn alle Hauptminoren von A positiv sind.
Folgern Sie aus diesem Kriterium (das Sie nicht beweisen sollen) ein ähnliches Kriterium für negative Definitheit einer symmetrischen Matrix.
Hinweis: Eine symmetrische Matrix A ist genau dann negativ definit, wenn -A positiv definit ist.)
Lösung
Eine symmetrische Matrix A ist genau dann negativ definit, wenn -A positiv definit ist.
Wir betrachten die Matrix A mit
Wenn diese negativ definit sein soll, dann muss die Matrix -A positiv definit sein. Das heißt, die Hauptminoren von -A müssen alle größer als 0 sein. Daraus folgt:
und aufgrund der Tatsache, dass die Determinante eine Multilinearform ihrer Spalten (bzw Zeilen) ist:
…und so weiter. Es gilt also: