02 – Dimensionierung und Nachrechnung einer Getriebewelle – Mathematical Engineering

02 – Dimensionierung und Nachrechnung einer Getriebewelle

Eine Antriebswelle eines Schrägstirnradgetriebes aus dem Baustahl E335 mit aufgesetztem Zahnrad gemäß nachstehendem Bild wird durch Zahnkräfte belastet und hat ein schwellendes Drehmoment zu übertragen, welches über eine Kupplung ausgeleitet wird. Das Drehmoment ${M_t} = 1000Nm$ , der Teilkreisdurchmesser $d = 220mm$ des Zahnrades, sowie die Lagerabstände $a = 150mm$ und $b = 170mm$ sind durch konstruktive Randbedingungen vorgegeben. Die Zahnkräfte ergeben sich zu ${F_t} = 9100N$ , ${F_r} = 3365N$ und ${F_a} = 1620N$ .

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Dimensionierung

Ermitteln Sie die Lagerreaktionskräfte.
Ermitteln Sie den Entwurfdurchmesser für den Absatz, auf dem das Zahnrad sitzt, so wie für den Kupplungszapfen.

Nachrechnung

Die Getriebewelle wurde konstruktiv gemäß nachfolgender Abbildung ausgestaltet. Für die kritischen Stellen 1 bis 3 ist ein Festigkeitsnachweis nach dem Nennspannungskonzept zu führen. Die Mindestsicherheit gegen Dauerbruch soll ${S_{D,\min }} = 2,0$ betragen.

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Lösung

Lagerreaktionskräfte

Zuerst führen wir ein geeignetes Koordinatensystem ein. Dabei legen wir die x-Achse in Balken/Wellenrichtung:

Antriebswelle mit Koordinatensystem und Lagerreaktionen

Der nächste Schritt ist die Berechnung der Lagerreaktionskräfte. Wir betrachten ein dreidimensionales Problem, so dass auch die Lagerkräfte in drei Dimensionen wirken können.

Am linken Lager greifen zwei Auflagerkräfte an: ${F_{A,z}},{F_{A,y}}$
Am rechten Festlager greifen drei Kräfte an: ${F_{B,z}},{F_{B,y}},{F_{B,x}}$

Insgesamt müssen wir also 5 Auflagerkräfte bestimmen.

Für den 3D-Fall lassen sich 6 Gleichgewichtsbedingungen aufstellen (jeweils drei für Kräfte- bzw Momentengleichgewicht). Das System ist daher sogar 1-fach statisch überbestimmt und wir müssen nicht alle 6 Gleichungen aufstellen, um die 5 Lagerkräfte zu berechnen.

Wir stellen das Kräftegleichgewicht in den drei Raumrichtungen auf:

$\begin{array}{*{20}{c}} \uparrow & {{F_{A,y}}+{F_{B,y}}-{F_r} = 0} & {\left( 1 \right)} \\ \swarrow & {{F_t}-{F_{A,z}}-{F_{B,z}} = 0} & {\left( 2 \right)} \\ \searrow & {{F_a}-{F_{B,x}} = 0\quad \Rightarrow \quad {F_{B,x}} = {F_a}} & {\left( 3 \right)} \\ \end{array}$

Nun betrachten wir die Momentengleichgewichte um einen beliebigen Punkt (hier: Punkt B). Es ist nicht nötig, das Momentengleichgewicht in alle drei Raumrichtungen aufzustellen, da wir nur noch zwei Gleichungen brauchen.

$\begin{array}{*{20}{c}} \swarrow & {{F_r}b-{F_a}\frac{d} {2}-{F_{A,y}}\left( {a+b} \right) = 0\quad \Rightarrow \quad {F_{A,y}} = \frac{{2{F_r}b-{F_a}d}} {{2\left( {a+b} \right)}}} & {\left( 4 \right)} \\ \uparrow & {{F_t}b-{F_{A,z}}\left( {a+b} \right) = 0\quad \Rightarrow \quad {F_{A,z}} = \frac{{{F_t}b}} {{a+b}}} & {\left( 5 \right)} \\ \end{array}$

Durch entsprechendes Einsetzen ergibt sich:

$\left( 4 \right) \to \left( 1 \right)$

$\Rightarrow \quad \frac{{2{F_r}b-{F_a}d}} {{2\left( {a+b} \right)}}+{F_{B,y}}-{F_r} = 0$

$\Rightarrow \quad {F_{B,y}} = \frac{{2\left( {a+b} \right){F_r}}} {{2\left( {a+b} \right)}}-\frac{{2{F_r}b-{F_a}d}} {{2\left( {a+b} \right)}} = \frac{{2{F_r}a+{F_a}d}} {{2\left( {a+b} \right)}}$

und

$\left( 5 \right) \to \left( 2 \right)$

$\Rightarrow \quad {F_{B,z}} = {F_t}-\frac{{{F_t}b}} {{a+b}} = \frac{{{F_t}a}} {{a+b}}$

Im Folgenden sind nicht die Kräfte interessant, die in die den Koordinatenrichtungen auf die Lager wirken, sondern nur jeweils die resultierende Gesamtkraft auf jedes Lager. Dabei ist die Auflagerkraft ${{F_{B,x}}}$ in Wellenrichtung uninteressant, da sie zur resultierenden Kraft, die ein Drehmoment zur Folge hat, das später von Interesse ist, keinen Einfluss hat. Diese Kraft wird bei der Bestimmung der Resultierenden daher nicht beachtet.

Für das Lager A gilt:

${F_{A,y}} = \frac{{2{F_r}b-{F_a}d}} {{2\left( {a+b} \right)}} = \frac{{2 \cdot 3365N \cdot 170mm-1620 \cdot 220mm}} {{2\left( {150mm+170mm} \right)}} = 1230N$

${F_{A,z}} = \frac{{{F_t}b}} {{a+b}} = \frac{{9100N \cdot 170mm}} {{150mm+170mm}} = 4834N$

$\Rightarrow \quad {F_{A,res}} = \sqrt {F_{A,y}^2+F_{A,z}^2} = \sqrt {{{\left( {1230N} \right)}^2}+{{\left( {4834N} \right)}^2}} = 4988N$

Für das Lager B gilt:

${F_{B,y}} = \frac{{2{F_r}a+{F_a}d}} {{2\left( {a+b} \right)}} = \frac{{2 \cdot 3365N \cdot 150mm+1620N \cdot 220mm}} {{2\left( {150mm+170mm} \right)}} = 2134N$

${F_{B,z}} = \frac{{{F_t}a}} {{a+b}} = \frac{{9100N \cdot 150mm}} {{150mm+170mm}} = 4266N$

$\Rightarrow \quad {F_{B,res}} = \sqrt {F_{B,y}^2+F_{B,z}^2} = \sqrt {{{\left( {2134N} \right)}^2}+{{\left( {4266N} \right)}^2}} = 4770N$

Ermittlung des Entwurfdurchmessers (Zahnradabsatz)

Angreifendes Torsionsmoment:

${M_t} = 1000Nm$

Angreifendes Biegemoment:

Bezugspunkt ist bei der Bestimmung des angreifenden Biegemoments das Zahnrad. Beachtet werden muss die entsprechende Drehrichtung des Biegemoments bezüglich des eingeführten Koordinatensystems. Wir betrachten das Biegemoment getrennt linksseitig und rechtsseitig der Welle:

${M_{b,y,\max ,links}} = -{F_{A,z}}a = -4834N \cdot 150mm = -725Nm$

${M_{b,y,\max ,rechts}} = {F_{B,z}}b = 4266N \cdot 170mm = 725Nm$

${M_{b,z,\max ,links}} = -{F_{A,y}}a = -1230N \cdot 150mm = -185Nm$

${M_{b,z,\max ,rechts}} = {F_{B,y}}b = 2134N \cdot 170mm = 363Nm$

Schaubild mit Biegemomenten:

Schaubild mit Biegemomenten

Man betrachtet bei ${M_{b,y}}\left( x \right)$ und ${M_{b,z}}\left( x \right)$ nur die Beträge der Biegemomente. Das Vorzeichen hat keinerlei Bedeutung. Durch die zusätzlich aufgebrachte Kraft $F_a$ in z-Richtung auf der rechten Seite entsteht die Unstetigkeit beim Seitenwechsel.

Nun berechnen wir den Betrag des resultierenden Biegemoments in y- und z-Richtung. Da $M_{res}$ sein Maximum auf der rechten Seite annimmt, ist es auch nur nötig, die rechte Seite zu betrachten (“wenn was verreckt, dann da!”):

${M_{b,res,\max ,rechts}} = {M_{b,res,\max }} = \sqrt {M_{b,y,\max ,rechts}^2+M_{b,z,\max ,rechts}^2} = 810Nm$

Ermittlung des erforderlichen Wellendurchmessers:

Für den Mindestdurchmesser einer Vollwelle entnehmen wir einer Formelsammlung:

(Biegespannung:) $d \geq \sqrt[3]{{\frac{{32{M_b}}} {{\pi {\sigma _{b,zul}}}}}} \approx 2,17\sqrt[3]{{\frac{{{M_b}}} {{{\sigma _{b,zul}}}}}}$

(Torsionsspannung:) $d \geq \sqrt[3]{{\frac{{16{M_t}}} {{\pi {\tau _{t,zul}}}}}} \approx 1,72\sqrt[3]{{\frac{{{M_t}}} {{{\tau _{t,zul}}}}}}$

Quelle: “Roloff-Matek: Maschinenelemente, 14. Auflage, Kapitel 11”:

Bei zylindrischen Achsen muss bei reiner Biegebeanspruchung die Biegehauptgleichung ${\sigma _b} = \frac{{{M_b}}} {W} \leq {\sigma _{b,zul}}$ erfüllt sein. Mit $W = \frac{{\pi {d^3}}} {{32}}$ für den Kreisquerschnitt erhält man den Mindestdurchmesser der Achse.

Für Vollwellen mit Kreisquerschnitt ergibt sich mit ${W_p} = \frac{{\pi {d^3}}} {{16}}$ aus der Torsionshauptgleichung ${\tau _t} = \frac{{{M_t}}} {{{W_p}}} \leq {\tau _{t,zul}}$ der Mindestdurchmesser.

Da die Welle sowohl auf Biegung als auch auf Torsion belastet wird, benötigen wir eine Vergleichsspannung. Zur Bestimmung der Vergleichsspannung brauchen wir wiederum eine Festigkeitshypothese. Das Kriterium für die Auswahl einer Hypothese ist meist der Quotient aus kritischer Normalspannung und Schubspannung:

$\eta = \frac{{{\sigma _{grenz}}}} {{{\alpha _0}{\tau _{grenz}}}}$

mit dem Anstrengungsverhältnis $\alpha_0$ (siehe hierzu Aufgabe 1). Aus der Vielzahl der Festigkeitshypothesen haben sich folgende für praktische Festigkeitsberechnungen bewährt:

Die Normalspannungshypothese für spröde Werkstoffe: $\eta \approx 1$

Sie setzt voraus, dass der Bruch senkrecht zur Richtung der größten Normalspannung erfolgt. Überschreitet diese den Festigkeitskennwert $R_m$ des Werkstoffes, tritt der Bruch ein.

Die Gestaltänderungsenergiehypothese für duktile Werkstoffe: $\eta \approx \sqrt{3}$

Hier ist die Verformung des elastischen Körperelements das Kriterium. Überschreitet diese den werkstoffabhängigen Grenzwert, versagt das Bauteil infolge der plastischen Formänderung. Diese Hypothese zeigt die beste Übereinstimmung mit den Versuchsergebnissen.

Die Schubspannungshypothese für duktile Werkstoffe mit ausgeprägter Streckgrenze: $\eta \approx 2$

Nach dieser Hypothese ist das Überschreiten der Gleitfestigkeit durch die größte wirkende Spannung für das Werkstoffversagen maßgebend.

Wir nutzen hier die Gestaltänderungsenergiehypothese. Die benötigte Formel für die Vergleichspannung ist

${\sigma _v} = \sqrt {\sigma _{res}^2+3{{\left( {{\alpha _0}{\tau _{res}}} \right)}^2}}$

Für Momente gilt:

${M_v} = \sqrt {M_b^2+\frac{3} {4}{{\left( {{\alpha _0}{M_t}} \right)}^2}}$

Damit gilt für den Mindestdurchmesser:

$d_{erf}^3 = \frac{{32}} {{\pi {\sigma _{zul}}}}\sqrt {M_b^2+\frac{3} {4}{{\left( {{\alpha _0}{M_t}} \right)}^2}}$

Da die Vergleichsspannung nur noch eine Normalspannung ist, können wir die Formel für die Biegespannung nutzen.

Wir müssen nun noch das Anstrengungsverhältnis $\alpha_0$ bestimmen. Da wir noch in der Dimensionierung sind, können wir es einfach einer Tabelle entnehmen. In der Nachrechnung muss es später exakt berechnet werden.

Da sich die Welle konstant dreht und die Belastung aus einer Raumrichtung kommt, wechselt die Biegebelastung aus Sicht der Welle mit der Drehung. Die Torsion an sich soll laut Aufgabenstellung schwellend sein.

Tabelle mit Werten für das Anstrengungsverhältnis

Da hier allgemeiner Baustahl verwendet wird, erhalten wir ein Anstrengungsverhältnis von $\alpha_0=0,7$ .

Als letztes brauchen wir noch die zulässige Spannung. Diese ergibt sich durch

${\sigma _{zul}} = \frac{{Werkstoffkennwert}} {{Sicherheit \cdot Betriebsfaktor \cdot Kerbfaktor}} = \frac{K} {{S \cdot {C_B} \cdot {\alpha _k}}}$

Den Werkstoffkennwert erhalten wir aus der gleichen Tabelle wie bei Aufgabe 1:

Tabelle Werkstoffkennwerte

$k = {\sigma _{d,N}} = {\sigma _{bW,N}} = 290\frac{N}{{m{m^2}}}$

Für die Sicherheit muss man bei der Auslegung einer Welle für den Entwurfsdurchmesser die Mindestsicherheit 4 verwenden (vgl. Roloff/Matek).

Da die Welle keine Kerben hat, ist der Kerbfaktor 1.

Auch für den Betriebsfaktor nutzen wir 1, da es sich um eine gleichförmige Bewegung handelt.

Eingesetzt:

${\sigma _{zul}} = \frac{K} {{S \cdot {C_B} \cdot {\alpha _k}}} = \frac{{290\frac{N}{{m{m^2}}}}}{4 \cdot 1 \cdot 1} = 72,5\frac{N}{{m{m^2}}}$

Damit erhalten wir endlich den erforderlichen Wellendurchmesser (Achtung: alles in mm umwandeln!):

$d_{erf}^3 \geq \frac{{32}}{{\pi \cdot 72,5\frac{N}{{m{m^2}}}}}\sqrt {{{\left( {810 \cdot {{10}^3}Nmm} \right)}^2} + \frac{3}{4}\left( {0,7 \cdot {{10}^6}Nmm} \right)^2} = 142144m{m^3}$

${d_{erf}} \geq 52,2mm$

Dimensionierung des Kupplungszapfens

Auf einen Kupplungszapfen wirken vor allem Torsionskräfte. Das einzige hier vorkommende Torsionsmoment ist $M_t=1000Nm$ . Für den erforderlichen Durchmesser der Welle an der Stelle des Kupplungszapfens müssen wir daher nur die Dimensionierungsformel für Torsion nutzen:

$d_{erf}^3 = \frac{{16{M_t}}} {{\pi {\tau _{zul}}}}$

${d_{erf}} = \sqrt[3]{{\frac{{16{M_t}}} {{\pi {\tau _{zul}}}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{16 \cdot 1000Nm}} {{\pi {\tau _{zul}}}}}}$

Die zulässige Torsionsspannung ermitteln wir analog zu der zulässigen Biegespannung:

${\tau _{zul}} = \frac{K} {{S \cdot {C_B} \cdot {\alpha _k}}} = \frac{{{\tau _{t,Sch}}}} {{S \cdot {C_B} \cdot {\alpha _k}}} = \frac{{230\frac{N} {{m{m^2}}}}} {{4 \cdot 1 \cdot 1}} = 58\frac{N} {{m{m^2}}}$

Daraus folgt für den erforderlichen Durchmesser:

${d_{erf}} = \sqrt[3]{{\frac{{16{M_t}}} {{\pi {\tau _{zul}}}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{16\cdot1000 \cdot {{10}^3}Nmm}} {{\pi \cdot58\frac{N} {{m{m^2}}}}}}} = 45mm$

Der erforderliche Durchmesser des Kupplungszapfens beträgt damit 45mm.

Nachrechnung

Hier müssen wir einen Festigkeitsnachweis nach dem Nennspannungskonzept für die kritischen Stellen 1 bis 3 durchführen.

Die kritischen Stellen sind die Passfeder an der Kupplung (Welle durch Einbuchtung geschwächt) und die Wellenabsätze am Zahnrad.

Unter einem Festigkeitsnachweis nach dem Nennspannungskonzept versteht man eine Betrachtung der äußeren Einwirkungen im Bezug auf gegebene Festigkeitsgrößen (Nennspannungen) des verwendeten Materials z.B. hinsichtlich Biege- und Schubbelastung.

Wir behandeln zunächst die kritische Stelle 1.

Kritische Stelle 1: Passfeder

Auf eine Passfeder wirkt schon aus Definitionsgründen des Bauteils eine hohe Schubspannung, die im Vergleich zur normalen Spannung hier als einzige Größe betrachtet werden muss.
Auf die Passfeder wirkt laut Aufgabenstellung das Torsionsmoment $M_t=1000Nm$ . Um nun einen aussagekräftigen Festigkeitsnachweis führen zu können, benötigen wir zum einen die wirklich vorhandene Schubspannung und außerdem die vom Bauteil ertragbare Schubspannung $\tau_G$ . Wie schon in Aufgabe 1 gilt für diese Größen allgemein:

wirksame Spannungen sind abhängig von äußeren Belastungen, Form und Abmessung.

ertragbare Spannungen sind abhängig von Werkstoffkennwerten und Sicherheiten.

Bestimmung der wirksamen Spannungen

Bei einer Torsionsbelastung ergibt sich die wirksame Spannung aus dem Quotienten

${\tau _t} = \frac{{{M_t}}} {{{W_t}}} = \frac{{Torsionsmoment}} {{Torsionswiderstandsmoment}}$

Zur Bestimmung von $W_t$ ist es sinnvoll, sich mit einer Vereinfachung zu begnügen, mit der man hinsichtlich der Festigkeit aber sogar auf der sicheren Seite ist.

Anschaulich sieht der Wellenquerschnitt bei der Passfeder wie folgt aus (grüne Fläche):

Wellenquerschnitt bei der Passfeder

Das Torsionswiderstandsmoment dieses Querschnittes ist relativ schwierig zu bestimmen. Statt dessen begnügen wir uns mit einem Wert für die kreisförmige Oberfläche (orange), die wie folgt in den Querschnitt passt:

Wellenquerschnitt mit angenommener minimalen Fläche

Dies begründen wir mit folgender Überlegung:

Wir kennen eine exakte Formel für $W_t$ bei einem Kreisquerschnitt. Geht unsere Nachprüfung bereits mit dem kleineren Kreisquerschnitt auf, so muss auch die größere Fläche sicher genug sein.

Für $W_t$ gilt also:

${W_t} = \frac{{\pi {d^3}}} {{16}}$

In diesem Fall ergibt sich der Durchmesser $d$ aus dem Wellendurchmesser an dieser Stelle ohne den Absatz der Passfeder:

$d = 45mm-4mm = 41mm\quad \Rightarrow \quad {W_t} = \frac{{\pi \cdot \left(41mm\right)^3}}{{16}} = 13533m{m^3}$

Eingesetzt in die Formel für die wirksame Spannung ergibt sich damit:

${\tau _t} = \frac{{{M_t}}} {{{W_t}}} = \frac{{1000Nmm \cdot {{10}^3}}} {{13533m{m^3}}} = 74\frac{N} {{m{m^2}}}$

Bestimmung der ertragbaren Spannungen

${\tau _G} = \frac{{{\tau _D} \cdot {C_O} \cdot {C_D}}} {{{\beta _k}}}$

In diesem Fall:

${\tau _G} = \frac{{{\tau _D} \cdot {C_0} \cdot {C_D}}} {{{\beta _{k,t}}}} = \frac{{{\tau _{t,sch,N}} \cdot {C_{O,\tau }} \cdot {C_{D,m}}}} {{{\beta _k}}}$

Die verwendeten Größen sind:

${{\tau _{t,sch,N}}}$ : Nennspannung bei schwellender Torsionsbelastung

${{C_{O,\tau }}}$ : Oberflächeneinflussfaktor bei Torsionsbeanspruchung

${{C_{D,m}}}$ : Technologischer Größeneinflussfaktor

${{\beta _k}}$ : Kerbwirkungszahl bei Torsionsbeanspruchung

Bestimmung des technologischen Größeneinflussfaktors:

Wichtig ist hier, dass der Größeneinflussfaktor aus dem Durchmesser des Halbzeugs bestimmt wird, aus dem die Welle gedreht wurde. Aus dem Hinweis unter der technischen Zeichnung der Welle erfahren wir, dass die Welle aus einem E335 Stahl mit dem Halbzeugdurchmesser 80mm gedreht wurde. Bei E335 handelt es sich übrigens um einen unlegierten Baustahl.
In der Tabelle “technologische Größeneinflussfaktor $C_{D,m}$ ” handelt es sich hier um Kurve 2:

Tabelle technologische Größeneinflussfaktor

Dieser Kurve lässt sich bei einem gleichwertigen Durchmesser von 80mm (Durchmesser des Halbzeugs) ein $C_{D,m}$ -Wert von $C_{D,m} = 0,97$ entnehmen.

Bestimmung des Oberflächeneinflussfaktors:

Zur Bestimmung des Faktors ${{C_{O,\tau }}}$ benötigen wir die entsprechende Tabelle:

Tabelle Oberflächeneinflussfaktor

Aus der Bezeichnung des Stahls können wir eine Größtzulässige Rautiefe von $16\mu m$ entnehmen. Wir müssen uns in der Tabelle also an die Gerade mit dem $R_z$ -Wert 16 halten. Außerdem entnehmen wir der Tabelle mit Materialdaten die Zugfestigkeit $R_{m,N}$ des E335 Stahls: $R_{m,N} = 590 \frac{N}{mm^2}$

Aus dem Diagramm ergibt sich damit ein ${{C_{O,\tau }}}$ -Wert von ${{C_{O,\tau }}} = 0,95$ .

Eigentlich hätten wir hier nicht mit dem Nennwert $R_{m,N}$ rechnen dürfen, da dieser durch den Größeneinflussfaktor beeinflusst wird. Aus dem Größeneinflussfaktor ${{C_{D,m}}}$ und der Zugfestigkeit $R_m$ lässt sich die Zugfestigkeit bei schwellender Belastung ermitteln, bei der noch Dauerfestigkeit gewährleistet ist. Für sie gilt in diesem Fall:

${R_m} = {R_{m,N}}{C_{D,m}} = 0,97 \cdot 590\frac{N} {{m{m^2}}} = 572\frac{N} {{m{m^2}}}$

Bestimmung der Kerbwirkungszahl

Wir betrachten das Diagramm ausgewählter Kerbwirkungszahlen:

Diagramm ausgewählter Kerbwirkungszahlen

Aus dem Diagramm ergibt sich eine Kerbwirkungszahl von $\beta_{k}=1,5$ .

Als letztes entnehmen wir der Tabelle mit Werkstoffkennwerten noch die Nennschubspannung bei schwellender Torsionsbelastung:

${\tau _{t,sch,N}} = 230\frac{N} {{m{m^2}}}$

Damit ergibt sich nun endgültig eine Grenzschubspannung:

${\tau _G} = \frac{{{\tau _{t,sch,N}} \cdot {C_{O,\tau }} \cdot {C_{D,m}}}} {{{\beta _k}}} = \frac{{230\frac{N} {{m{m^2}}} \cdot 0,97 \cdot 0,95}} {{1,5}} = 141\frac{N} {{m{m^2}}}$

Für die Mindestsicherheit gegen Dauerbruch muss hinsichtlich der Grenz- und der wirksamen Spannung gelten:

${\tau _G} \leq {\tau _t}{S_{D,\min }}\quad \Rightarrow \quad {S_{D,\min }} \geq \frac{{{\tau _G}}} {{{\tau _t}}} = \frac{{141}} {{74}} = 1,9 \quad \Rightarrow \quad$ nicht in Ordnung!

Da die geforderte Sicherheit 2,0 beträgt, erfüllt das Bauteil nicht die Anforderungen und muss neu dimensioniert werden. An dieser Stelle kann man die Nachrechnung also theoretisch abbrechen.

Lösungsmöglichkeiten:

Sicherheit von 2,0 ist relativ hoch und könnte eventuell verringert werden
Erhöhung der Werkstoffsteifigkeit
Reduzierung der Belastungen
Andere Verbindung mit geringerer Kerbwirkung verwenden

Zu Übungszwecken führen wir nun trotzdem noch die Nachrechnung für die beiden verbleibenden kritischen Stellen durch.

Kritische Stelle 2: Wellenabsatz

Der Wellenabsatz ist sowohl durch das Biegemoment vom Lager A als auch durch das Torsionsmoment $M_t$ belastet. Zur Bestimmung des auf den Wellenabsatz wirkenden Biegemoments bestimmt man den Abstand $l$ vom Lager A zum Wellenabsatz (kritische Stellen K2 und K3).

Laut technischer Zeichnung ist:

$l = 206,5mm-120mm+13,5mm = 100mm$

Das Biegemoment am Wellenabsatz ergibt dich damit zu

${M_b} = {F_{A,res}}l = 4988N \cdot 100mm = 499Nm$

Und das Torsionsmoment ist

$M_t = 1000Nm$

Im Prinzip ist das Vorgehen nun analog wie bei der ersten Nachrechnung. Wir ermitteln zunächst die wirksamen Spannungen (Nennspannung) hinsichtlich der Belastungen (hier Torsion und Biegung).

Bei der Biegebeanspruchung ergibt sich die wirksame Spannung durch den Quotienten

${\sigma _b} = \frac{{{M_b}}} {{{W_b}}}$

Wobei wir hier bei ${{W_b}}$ vom Widerstandsmoment gegen Biegung sprechen und hier sogar direkt von einem Kreisquerschnitt ausgehen dürfen.

Damit ergibt sich für ${{W_b}}$ die Formel

${W_b} = \frac{{\pi {d^3}}} {{32}}$

Für den Durchmesser der Welle gilt nach technischer Zeichnung an dieser Stelle: $d=56mm$

Damit ist

${W_b} = \frac{{\pi {d^3}}} {{32}} = \frac{{\pi {{\left( {56mm} \right)}^3}}} {{32}} = 17241m{m^3}$

und

${\sigma _b} = \frac{{{M_b}}} {{{W_b}}} = \frac{{499Nmm \cdot {{10}^3}}} {{17241m{m^3}}} = 29\frac{N} {{m{m^2}}}$

Genauso ermitteln wir als nächstes die wirksame Spannung aufgrund des Torsionsmoments:

${\tau _t} = \frac{{{M_t}}} {{{W_t}}}$

wobei das Torsionswiderstandsmoment eines Kreisprofils durch ${W_t} = \frac{{\pi {d^3}}} {{16}}$ bestimmt wird. Wir setzen ein:

${W_t} = \frac{{\pi {d^3}}} {{16}} = \frac{{\pi {{\left( {56mm} \right)}^3}}} {{32}} = 34482m{m^3}$

${\tau _t} = \frac{{{M_t}}} {{{W_t}}} = \frac{{1000Nmm \cdot {{10}^3}}} {{34482m{m^3}}} = 29\frac{N} {{m{m^2}}}$

Zur weiteren Betrachtung brauchen wir eine Vergleichsspannung aus Torsions- und Biegebelastung, die sich bei Stahl als duktilem Werkstoff aus der Gestaltänderungsenergiehypothese ermitteln lässt:

${\sigma _v} = \sqrt {\sigma _{res}^2+3{{\left( {{\alpha _{0,k}}{\tau _{res}}} \right)}^2}}$

Da wir uns in der Nachrechnung befinden, reicht es nicht aus, das Anstrengungsverhältnis aus Tabellen abzulesen. Vielmehr benötigen wir hier das korrigierte Anstrengungsverhältnis, das exakt ermittelt werden muss.

Das Anstrengungsverhältnis wird verwendet, um Schubspannung zu einer Normalspannung umzubewerten, um dann zur Ermittlung der Vergleichsspannung vergleichbare Werte einzusetzen.

Für das korrigierte Anstrengungsverhältnis gilt:

${\alpha _{0,k}} = \frac{{{\sigma _{grenz}}\left( \sigma \right)}} {{{\sigma _{grenz}}\left( \tau \right)}} = \frac{{{\sigma _{grenz}}}} {{\eta \cdot {\tau _{grenz}}}}$

Für ${{\sigma _{grenz}}}$ gilt:

${\sigma _{grenz}} = \frac{{{\sigma _{b,m}} \cdot {C_{O,b}} \cdot {C_{D,m}}}} {{{\beta _{k,b}}}}$

Für ${{\tau _{grenz}}}$ gilt:

${\tau _{grenz}} = \frac{{{\tau _{t,m}} \cdot {C_{O,t}} \cdot {C_{D,m}}}} {{{\beta _{k,t}}}}$

Daraus folgt für den Quotienten:

${\alpha _{0,k}} = \frac{{{\sigma _{grenz}}\left( \sigma \right)}} {{{\sigma _{grenz}}\left( \tau \right)}} = \frac{{{\sigma _{grenz}}}} {{\eta \cdot {\tau _{grenz}}}} = \frac{{{\beta _{k,t}} \cdot {\sigma _{b,m}} \cdot {C_{O,b}} \cdot {C_{D,m}}}} {{\eta \cdot {\beta _{k,b}} \cdot {\tau _{t,m}} \cdot {C_{O,t}} \cdot {C_{D,m}}}}$

Wir kürzen den technologischen Größenfaktor ${{C_{D,m}}}$ und nehmen das Material der Welle als homogen an, womit der Oberflächeneinflussfaktor ebenfalls gekürzt werden kann ( ${{C_{O,b}}}={{C_{O,t}}}$ ). Es ergibt sich:

${\alpha _{0,k}} = \frac{{{\beta _{k,t}} \cdot {\sigma _{b,m}}}} {{\eta \cdot {\beta _{k,b}} \cdot {\tau _{t,m}}}}$

wobei für $\eta$ bei Verwendung der Gestaltänderungsenergiehypothese der Wert ${\eta = \sqrt 3 }$ verwendet wird.

Bei ${{\sigma _{b,m}}}$ handelt es sich um eine Biegespannung bei einem E335 Stahl mit wechselnder bzw. schwellender Belastung. Damit suchen wir die Nennspannung ${\sigma _{b,m}} = {\sigma _{b,W,N}}$ . Diese ist laut Tabelle

${\sigma _{b,W,N}} = 290\frac{N} {{m{m^2}}}$

Auch für die Torsionsspannung suchen wir die Torsionsspannung einer schwellend / wechselnden Belastung des E335 Stahls. Aus der Tabelle lesen wir ab:

${\tau _{t,m}} = {\tau _{t,sch,N}} = 230\frac{N} {{m{m^2}}}$

Schließlich brauchen wir noch die Kerbwirkungszahlen ${{\beta _{k,t}}}$ und ${{\beta _{k,b}}}$ . Diese können mit den Gleichungen von Thun berechnet werden. Es gilt:

${\beta _{k,b}} = {\eta _k}\left( {{\alpha _{k,b}}-1} \right)+1$

${\beta _{k,t}} = {\eta _k}\left( {{\alpha _{k,t}}-1} \right)+1$

In diesen Gleichungen tauchen schon wieder neue Unbekannte auf, nämlich die Kerbformzahlen ${{\alpha _{k,b}}}$ und ${{\alpha _{k,t}}}$ und die Kerbempfindlichkeitszahl $\eta_k$ . Wir bestimmen als erstes die Kerbformzahlen.

Wir benötigen an dieser Stelle das Diagramm mit Formzahlen:

Formzahlen Diagramm Biegung Torsion

Das obere Diagramm gibt den Biegefall, das untere das Torsionsmoment an. Wir bestimmen das Verhältnis des Durchmessers der Welle $D$ und des Durchmessers $d$ der gekerbten Welle:

$\frac{d} {D} = \frac{{56mm}} {{70mm}} = 0,8$

Die Durchmesser stammen aus der technischen Zeichnung in der Aufgabenstellung.
Weiterhin benötigen wir das Verhältnis der Größen $r$ und $t$ . $t$ lässt sich ermitteln:

$t = \frac{{D-d}} {2} = \frac{{70-56}} {2}mm = 7mm$

$r=2,5mm$ lässt sich der Zeichnung entnehmen. Quotient:

$\frac{r} {t} = \frac{{2,5}} {7} = 0,36$

Aus dem Diagramm abgelesen ergeben sich dann die Kerbformzahlen (rechts ungefähr $\frac{r} {t}$ suchen, dann die Kurve entlangfahren, bis man auf der x-Achse zu $\frac{d} {D}$ kommt und von da an horizontal auf der linken Seite den Wert ablesen!)

${\alpha _{k,b}} = 2,1$

${\alpha _{k,t}} = 1,55$

Nun müssen wir noch die Kerbempfindlichkeitszahl $\eta_k$ ermitteln. Dazu dient (vor allem in der Klausur) ein Diagramm, aus dem der Wert abgelesen werden kann:

Diagramm Kerbempfindlichkeitszahl

Gesucht: Wert für $r=2,5mm$ (Zeichnung)

$\frac{{{R_{p,0.2}}}} {{{R_m}}} = \frac{{Nennspannung \cdot TechGrFaktor}} {{Nennspannun{g_{Zug}} \cdot TechGrFaktor}}$

$= \frac{{{R_{e,N}} \cdot {C_{D,p}}}} {{{R_{m,N}} \cdot {C_{D,m}}}} = \frac{{335\frac{N} {{m{m^2}}} \cdot 0,92}} {{590\frac{N} {{m{m^2}}} \cdot 0,97}} = 0,54$

Den technologischen Größenfaktor ${{C_{D,p}}}$ ermitteln wir aus dem entsprechenden Diagramm mit $d_{eff}=80mm$

Wir erhalten: ${{C_{D,p}}} = 0,92$ .

${{C_{D,m}}}$ ist bereits bekannt.

Mit diesen Werten ergibt sich aus dem Diagramm für die Kerbempfindlichkeitszahl ein Wert von

${\eta _k} = 0,76$

Alternative (nicht in der Klausur): Berechnung von ${\eta _k}$ . Die Formel hierzu lautet:

${\eta _k} = \frac{1} {{1+\frac{8} {r}{{\left( {1-\frac{{{R_{p,0.2}}}} {{{R_m}}}} \right)}^3}}} = \frac{1} {{1+\frac{8} {r}{{\left( {1-\frac{{{R_{e,N}} \cdot {C_{D,p}}}} {{{R_{m,N}} \cdot {C_{D,m}}}}} \right)}^3}}} = 0,43$

Daran sieht man, wie ungenau das Diagramm ist!

Damit ergeben sich nun endlich die gesuchten Kerbwirkungszahlen nach Thum:

${\beta _{k,b}} = {\eta _k}\left( {{\alpha _{k,b}}-1} \right)+1 = 0,76\left( {2,1-1} \right)+1 = 1,8$

${\beta _{k,t}} = {\eta _k}\left( {{\alpha _{k,t}}-1} \right)+1 = 0,76\left( {1,55-1} \right)+1 = 1,4$

Daraus ergibt sich nun ein korrigiertes Anstrengungsverhältnis $\alpha_{0,k}$ von

${\alpha _{0,k}} = \frac{{{\sigma _{b,W,N}} \cdot {\beta _{k,t}}}} {{\eta \cdot {\beta _{k,b}} \cdot {\tau _{t,sch,N}}}} = \frac{{290\frac{N} {{m{m^2}}} \cdot 1,4}} {{\sqrt 3 \cdot 1,8 \cdot 230\frac{N} {{m{m^2}}}}} = 0,57$

Damit können wir nun zurück zur Gestaltänderungsenergiehypothese gehen und die Vergleichsspannung ermitteln:

${\sigma _v} = \sqrt {\sigma _{res}^2+3{{\left( {{\alpha _{0,k}}{\tau _{res}}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {29\frac{N} {{m{m^2}}}} \right)}^2}+3{{\left( {0,57 \cdot 29\frac{N} {{m{m^2}}}} \right)}^2}} = 41\frac{N} {{m{m^2}}}$

Um nun eine Sicherheit abzuschätzen, benötigen wir einen Vergleichswert. In diesem Fall wieder einmal die Spannung der Gestaltfestigkeit (Grenzspannung), für die gilt:

${\sigma _{grenz}} = \frac{{{\sigma _{b,W,N}}\cdot{C_{O,\sigma }}\cdot{C_{D,m}}}} {{{\beta _{k,b}}}} = \frac{{290\frac{N} {{m{m^2}}}\cdot0,88\cdot0,97}} {{1,8}} = 138\frac{N} {{m{m^2}}}$

Die verwendeten Werte:

${{\sigma _{b,W,N}}}$ : Aus Tabelle Werkstoffkennwerte

${{\beta _{k,b}}}$ : gerade ermittelt

${{C_{O,\sigma }}}$ : aus entsprechender Tabelle entnommen (mit $R_z=16 \mu m$ und $R_m=R_{m,N}\cdot C_{D,m}=573\frac{N}{mm^2}$ )

Für die Sicherheit gilt allgemein:

${S_D} = \frac{{{\sigma _{grenz}}}} {{{\sigma _{v,GEH}}}} = \frac{{138\frac{N} {{m{m^2}}}}} {{41\frac{N} {{m{m^2}}}}} = 3,4 \geq {S_{D,\min }} = 2$

Die geforderte Sicherheit ist an dieser Stelle also gegeben.

Kritische Stelle 3: rechter Wellenabsatz

Auch hier lastet auf dem Wellenabsatz ein Torsionsmoment von ${M_t} = 1000Nm$ . Das Biegemoment ergibt sich aus dem Abstand $l$ des Wellenabsatzes vom Lager A multipliziert mit der Kraft ${F_{A,res}}$ :

$l = \left( {100mm+20mm} \right) = 120mm\quad \Rightarrow \quad {M_b} = 120mm \cdot 4988N = 600Nm$

Durch analoges Verfahren lässt sich wie bei der zweiten kritischen Stelle die Biegespannung und die Schubspannung aus der Torsion ermitteln. Es ergibt sich

${\sigma _b} = 36\frac{N} {{m{m^2}}}$

${\tau _t} = 30\frac{N} {{m{m^2}}}$

Daraus ergibt sich mit dem korrigierten Anstrengungsverhältnis

die Vergleichsspannung

${\sigma _v} = \sqrt {\sigma _{res}^2+3{{\left( {{\alpha _{0,k}}{\tau _{res}}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {36\frac{N} {{m{m^2}}}} \right)}^2}+3{{\left( {0,57 \cdot 30\frac{N} {{m{m^2}}}} \right)}^2}} = 47\frac{N} {{m{m^2}}}$

Anschließend ermitteln wir analog zu K2 die Grenzspannung. Es ergibt sich ein Wert von

${\sigma _{grenz}} = \frac{{{\sigma _{b,W,N}}\cdot{C_{O,\sigma }}\cdot{C_{D,m}}}} {{{\beta _{k,b}}}} = 130\frac{N} {{m{m^2}}}$

Aus diesen Größen ermitteln wir abschließend die Sicherheit gegen Fließbruch:

${S_D} = \frac{{{\sigma _{grenz}}}} {{{\sigma _{v,GEH}}}} = \frac{{130\frac{N} {{m{m^2}}}}} {{47\frac{N} {{m{m^2}}}}} = 2,8 \geq {S_{D,\min }} = 2$

Auch an dieser Stelle ist die geforderte Sicherheit gegeben.

*geschafft!*

This Post Has 22 Comments

Aufmerksamer Leser
1 Mar 2010

Der Betriebsfaktor fehlt bei der Berechnung der Grenzspannungen, auch wenn er wegfällt gehört er zur Formel.

Ansonsten perfekt
admin
2 Mar 2010

Der Betriebsfaktor wurde in der Formel für die zulässige Spannung (über der Tabelle mit Werkstoffkennwerten) berücksichtigt. Unter der Tabelle kommt die Erklärung, warum er 1 ist. Beim Einsetzen habe ich die 1 (wie auch die für den Kerbfaktor) erst weggelassen, aber nun zum besseren Verständnis ergänzt.
Jens
10 Mar 2010

Warum wird bei der Berechnung der zulässigen Spannung kein Oberflächenbeiwert und Größenbeiwert berücksichtigt?
(Berechnung der Gestaltfestigkeit)
admin
10 Mar 2010

Gestaltfestigkeit und zulässige Spannung sind zwei verschiedene Dinge.

Die zulässige Spannung (Skript Festigkeitslehre S.42) gibt an, wie stark ein Bauteil belastet werden darf. Dieser Wert hängt vom Werkstoff, von der Betriebsart, von eventuellen Kerben und von einer Sicherheit ab. Durch den Sicherheitsfaktor versagt das Bauteil auch nicht, wenn die zulässige Spannung zeitweise überschritten wird. Eine zulässige Spannung kann auch schon berechnet werden, wenn die Abmessungen des Bauteils noch nicht feststehen! Die Formel lautet:

${\sigma _{zul}} = \frac{K}{{S \cdot {C_B} \cdot {\alpha _K}}}$

Die Gestaltfestigkeit (Skript Festigkeitslehre S.34) hingegen gibt an, bei welcher exakten Spannung das Bauteil versagt. Diese Spannung darf auf keinen Fall überschritten werden. Die maximal auftretende Spannung sollte sogar um den verwendeten Sicherheitsfaktor geringer sein als die Gestaltfestigkeit. Dieser Wert hängt auch von dem verwendeten Werkstoff ab, außerdem kommen aber der technologische Größeneinflussfaktor und der Oberflächenfaktor ins Spiel. Der Kerbfaktor ist hier ein anderer als bei der zulässigen Spannung. Abmessungen und Oberflächengüte des Bauteils müssen für die Berechnung der Gestaltfestigkeit bekannt sein.
Die Formel lautet:

${\sigma _G} = \frac{{{\sigma _D} \cdot {C_O} \cdot {C_D}}}{{{\beta _k}}}$
"fleißige" Lerner
12 Mar 2010

Ob sich da nicht in der Antwort des Admins erneut ein Fehler eingeschlichen hat?
Nach der Formelsammlung der Instituts ist die Gleichung:

${\sigma _{zul}} = \frac{K}{{S \cdot {C_B} \cdot {\alpha _K}}}$

lediglich für statische Berechnungen gedacht, wobei das K im Zähler, je nachdem ob gegen Bruch oder Fließen gerechnet wird, für den jeweiligen Werkstoffkennwert für Normdurchmesser (Streckgrenze oder Zugfestigkeit) multipliziert mit dem zugehörigen Größeneinflussfaktor (um von dem Normdurchmesser auf den richtigen Durchmesser zu schließen) steht.

Nach Formelsammlung des Instituts wird für die Gestaltfestigkeit der Betriebsfaktor in der folgenden Formel im Nenner mit berücksichtigt:

${\sigma _G} = \frac{{{\sigma _D} \cdot {C_O} \cdot {C_D}}}{{{\beta _k}}}$

Die zulässige Spannung gegen Dauerbruch is somit lediglich der Quotient aus Gestaltfestigkeit und Sicherheitsfaktor. Würde man nun (meines Denkens nach: fälschlicherweise) die Gestaltfestigkeit für das K in der erstgenannten Formel einsetzen, so würde die Kerbwirkung doppelt (in Form von alpha_k und beta_k) berücksichtigt werden.
andreas
20 Mar 2010

bei der dimensionierung des kupplungszapfens, wie kommen wir da auf die 58 N/m²??
admin
20 Mar 2010

Es sind 58N/mm² und die Rechnung dazu war offenbar verloren gegangen^^
Hab sie jetzt noch hinzugefügt, danke für den Hinweis.
admin
20 Mar 2010

Update: Zahlreiche Rechtschreibfehler korrigiert… peinlich
admin
23 Mar 2010

Update: Fehlendes ² ergänzt bei der Berechnung des erforderlichen Durchmessers.
Andi
13 Jul 2011

Da ich momentan selbst während meines Studiums eine Bauteil-Auslegung durchführe würde ich gerne wissen,
mit welchem Tool Sie z.B. das allererste Bild (Welle mit Lagerkräfte, 3 Dimensional) erstellt haben:

(https://me-lrt.de/img/me-02-01-antriebswelle-aufgabe.png)

Vielen Dank und Gruß
admin
13 Jul 2011

@Andi: Das ist ein Screenshot der Aufgabenstellung, die wir in der Seminarübung bekommen haben. Eine solche Grafik ist aber schnell erstellt, z.B. als Vektorgrafik mit Adobe Illustrator oder Inkscape (open source).
Pingback: Anonymous
Alex
19 May 2013

Mt ist ja gegeben mit 1000Nm. Und in der Zeichnung taucht ein T auf… Was ist denn der Unterschied zwschen Mt und T?
Stefan
10 Jan 2014

Alternative (nicht in der Klausur): Berechnung von nk Die Formel hierzu lautet:

nk nach Formel = 0,43

Die Nachrechnung der Formel ergibt bei mir nk = 0,76!! (identisch mit Diagramm)
Alex
2 Sep 2014

Kann mir jemand erklären warum der Anteil von Fa bei dem dem Moment um die Y-Achse keinen Anteil hat ?
Thomas
9 Apr 2016

Servus zusammen,
klasse Berechnungsbeispiel… mit welchen Programm habt ihr oben die ersten 2 Bilder gezeichnet auf denen die Zahnkräfte und Lagerreaktionen zu sehen sind?
Vielen Dank
Gruß Thomas
admin
9 Apr 2016

@Alex: F_a hat keinen Hebelarm zur y-Achse, daher muss es im Momentengleichgewicht nicht berücksichtigt werden.

@Thomas: Die Bilder kommen aus der Aufgabenstellung.
Donald
17 May 2016

Bei der Auslegegung des Passfeder-Querschnitts reduzierst du den Durchmesser um die Passfedernut. Roloff Matek macht das anders. Der entscheidende Hinweis findet sich in Kapitel 3.8, bei Beispiel 3.3, für Auflage 20. auf Seite 68 oben. Auch im Tabellenbuch TB 3-9 findet man unter der eigentlichen Tabelle zum Ablesen von beta_k noch eine weitere mit der Angabe, worauf sich die zu berechnenden Spannung bezieht. Und zwar auf den originalen Durchmesser und
Christoph
3 Aug 2017

Hallo,

ich habe eine Frage zum Antragen der Lagerkräfte und der Kräfte am Zahnrad. Wonach richtet es sich, in welche Richtung die Kräfte angetragen werden? Gibt es dort ein Patentrezept?
JK
13 Mar 2018

@Christoph: Die Kräfte am Zahnrad waren vorgegeben. Die Lagerkräfte sind entgegengesetzt eingezeichnet, da sie den Zahnkräften entgegenwirken. Prinzipiell ist es egal, wie herum die Kräfte eingezeichnet werden, es ändern sich bei Umkehr der Richtung allerdings die Vorzeichen der Kräfte. Man sollte jedoch einheitlich bleiben (bei Kräften und Gegenkräften), um nicht die Übersicht zu verlieren.
DHBW-Student
1 Apr 2018

Ich hab mich grad gewundert, wieso das maximale Biegemoment so “umständlich” ermittelt wird. Ich hätte einfach die bereits resultierenden Auflagerkräfte F_a, res und F_b, res jeweils mit 150 bzw. 170mm multipliziert. Da kommt dann entweder 748,2Nm raus oder eben 810,9Nm. Dann muss man einfach den größeren Wert nehmen (also 810,9Nm) und damit weiterrehcnen 🙂

Falls diese Vorgehensweise falsch ist korrigiert mich 😀
Andres
20 Jun 2018

Wieso werden beim zusammensetzen von Spannungen mittels GEH oder SH die durch Quer/- und Normalkräfte verursachten Spannungen nicht mit einbezogen??

Es macht mich fertig, es ist doch eine zusätzliche Belastung, wir haben zum einen eine Zugspannung zwischen Zahnrad und Lager B und zwei Schubspannungen, verursacht durch Querkräfte…

Dimensionierung

Nachrechnung

Lösung

Lagerreaktionskräfte

Ermittlung des Entwurfdurchmessers (Zahnradabsatz)

Dimensionierung des Kupplungszapfens

Nachrechnung

Kritische Stelle 1: Passfeder

Bestimmung der wirksamen Spannungen

Bestimmung der ertragbaren Spannungen

Bestimmung der Kerbwirkungszahl

Kritische Stelle 2: Wellenabsatz

Kritische Stelle 3: rechter Wellenabsatz

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