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1. Zeigen Sie, dass die Menge

   abgeschlossen und beschränkt ist.

2. Zeigen Sie, dass die Menge

   offen ist.

3. Bestimmen Sie drei positive reelle Zahlen, deren Summe 60 und deren Produkt maximal ist. Es ist nicht nötig, eine Hesse-Matrix zu berechnen.

Lösung

a )

Wir betrachten zunächst als Beispiel die Menge

Um herauszufinden, ob sie offen oder abgeschlossen ist, betrachten wir ihr Mengenkomplement

Im Bild ist das Mengenkomplement rechts dargestellt:

Es ist möglich, um jeden Punkt eine Kugel zu legen, so dass die gesamte Kugel innerhalb der Menge liegt, daher ist die Menge offen.
Die Betrachtete Menge ist also Mengenkomplement der offenen Menge also abgeschlossen.

Nun kommen wir zu der Menge

Wir können sie als Schnittmenge aus drei Einzelmengen auffassen:

Schnittmenge:

b )

Statt

betrachten wir den Schnitt

Als Schnittmenge von drei offenen Mengen ist auch dies wieder eine offene Menge.

c )

Es soll gelten:

Die zu maximierende Funktion hängt von drei Parametern ab:

Wir formen zunächst die erste Bedingung um, damit wir die Funktion in Abhängigkeit von nur zwei Variablen ausdrücken können:

Nun suchen wir eine Extremstelle. Hierfür benötigen wir den Gradienten:

An der Extremstelle verschwindet der Gradient:

Gleichsetzen:

Auflösen durch quadratisches Ergänzen:

Dies setzen wir in eine Gleichung des Gradienten ein:

Noch ein Mal quadratisch ergänzen:

Die Zahlen sollen positiv sein, daher ist 20 die einzige Lösung.

Einsetzen:

Die Zahlen sind also alle gleich 20. Ihr Produkt ist dann 20³ = 8000.