Seien f, g : zweimal stetig differenzierbar.
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Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden beiden Aussagen.
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Es gibt ein zweimal stetig differenzierbares q :
mit
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Zeigen Sie, dass
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Werfen Sie einen Blick auf Aufgabe 27 (a) und zeigen Sie sodann die Äquivalenz der folgenden beiden Aussagen.
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Es gibt zweimal stetig differenzierbare p, q :
mit
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Lösung
a)
Der Beweis von (ii) nach (i) ist trivial. Wir leiten einfach nach x ab. Da q(y) in Richtung x konstant ist, fällt ist die Ableitung davon gleich 0:
Der Beweis von (i) nach (ii) geht wie folgt. Als Ausgangsgleichung haben wir
Wir halten nun y fest und integrieren nach x:
Die bei der Integration entstehenden Konstanten wurden zum c auf der rechten Seite der Gleichung zusammengefasst.
Die entstandene Gleichung gilt nun aber nur für ein festes y. Das c hängt also von y ab. Daher lassen wir nun das y „laufen“ und beschreiben jetzt c durch eine Funktion q(y):
b)
Wir zeigen durch Ableiten
c)
Der Beweis von (ii) nach (i) ist trivial. Wir nehmen die Funktion und leiten zunächst nach x ab:
und leiten anschließend nach y ab:
Der Beweis von (i) nach (ii) geht wie folgt. Als Ausgangsgleichung haben wir
Zunächst „halten“ wir das x „fest“ und Integrieren nach y:
Da wir das x festgehalten haben und nun ein c entstanden ist, hängt dieses c von x ab. Daher lassen wir das x nun „laufen“. D.h. wir schreiben c als Funktion von x auf:
Nun halten wir das y fest und integrieren nach x:
Die Integration von p(x) dürfen wir so schreiben, da sie in dieser Schreibweise nach wie vor immer noch von x abhängt.
Das d, welches wir nun bekommen haben hängt von y ab, da wir ja gerade y „festgehalten“ haben. Daher schreiben wir jetzt d als Funktion von y auf:
Fertig!