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Sei
und sei
definiert durch
Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgabe 35:
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Berechnen Sie
mit Hilfe des Satzes von Fubini.
Lösung
a
U definiert hier ein offenes Dreieck als Definitionsbereich für die Funktion f:
Dies ist eine Draufsicht der Funktion, um den Definitionsbereich zu veranschaulichen. Eine räumliche Ansicht der Funktion sähe so aus:
Weil in U nur < und > vorkommen ist die Menge U offen.
Das bedeutet also:
D.h. f ist eine Funktion aus der Menge (H) der „durch stetige Funktionen monoton von unten approximierbaren Funktionen“.
f lässt sich somit auch schreiben als:
wobei für die Charakteristische Funktion nichts anderes gilt, als:
Diese Funktion lässt sich durch stetige Funktionen approximieren. Daher gilt:
Nach der Aussage von Aufgabe 35 gilt somit auch
b
Mit Hilfe des Satzes von Fubini wird die Integration von Funktionen über mehrdimensionale Gebiete definiert.
Damit können wir mehrdimensionale Integrale auf eindimensionale zurückführen, um sie so zu berechnen:
Das ganze nun noch einmal wesentlich einfacher ausgedrückt anhand folgender Beispiele:
Um nun die in (a) gegebene Funktion zu integrieren schreiben wir also:
Mit Hilfe des ersten Schaubildes legen wir nun die Integrationsgrenzen fest. y lassen wir einfach von 0 bis 1 laufen. Dann müssen wir x jeweils von 0 bis 1-y laufen lassen:
Fertig!