Aufgabe 09 – Schubwandträger – Mathematical Engineering

a) Berechnen Sie für den abgebildeten Schubwandträger, der durch die Kraft F belastet wird
(siehe Bild), an der Einspannstelle die Spannung in den Gurten.

b) Geben Sie außerdem den Winkel an, unter dem die Kraft im Punkt P angreifen muss, damit
eine Torsion vermieden wird.

Grafik

Zum Schubwandträger:
Bei einem Schubwandträger wird auf die Knoten jeweils die Hälfte der Länge der angrenzenden “Stäbe” aufsummiert. Dadurch entsteht die Fläche der Knoten. Anschließend wird so getan, als existierten nur noch diese Knoten. Daher werden auch keine Integrale mehr zur Berechnung benötigt, sondern nur noch Summen. Dies stellt eine häufig angewandte Vereinfachung im Leichtbau dar.

Gegeben:
Länge a
Länge l = 25a
Fläche A
Elastizitätsmodul E
Kraft F
Profildicke t

Lösung:

Vorüberlegungen:
– Profil ist 1-fach symmetrisch
– Kraft parallel zur Hauptachse
– SMP liegt auf Symmetrieachse und Kraft greift nicht im SMP an $\Rightarrow$ Torsion

Als nächstes führen wir (wie immer) ein Koordinatensystem ein:

Grafik

Aufgabenteil a)

Um die Spannung in den Gurten (oben und unten am Träger) an der Einspannstelle zu berechnen, benötigen wir die Spannungsformel ohne thermische Anteile:

$\sigma _x \left( {y,z} \right) = E\left( {y,z} \right)\left\{ {\frac{{N_x }} {{EA}}+\frac{{M_y }} {{EI_y }}z-\frac{{M_z }} {{EI_z }}y} \right\}$

Nun berechnen wir die Schnittlasten an der Einspannstelle (Auflagerreaktionen):
(Wir betrachten hier das negative Schnittufer. Daher müssen alle Reaktionskräfte entgegen des eingeführten Koordinatensystems aufgestellt werden.)

Grafik

$N_x = 0$
$Q_{z\left( x \right)} = -F$
$M_{y\left( x \right)} = -xQ_z = Fx\quad \Rightarrow \quad M_{y\left( l \right)} = FL$
$M_{z\left( x \right)} = 0$

Da einige der Schnittkräfte = 0 sind, vereinfacht sich die Spannungsgleichung zu:

$\sigma _{x_i} = E_i \frac{{M_y }} {{EI_y }}z_i$

(Da es sich wie gesagt beim Schubwandträger um Summen von Punktspezifischen Größen handelt, wird statt (z) nun der Index i verwendet.)

Als Nächstes müssen wir $EI_y$ berechnen:
$EI_{\bar y} = \sum {E_i \bar z_i ^2 A_i }$

Dazu benötigen wir aber noch das Schwerpunktkoordinatensystem mit $\bar z$ :

$\tilde z_{sp} = \frac{{\sum {E_i \tilde z_i A_i } }} {{\sum {EA_i } }}$

Hierfür brauchen wir nun den $\tilde z$ -Verlauf:

(Zu beachten ist, dass hier, im Gegensatz zu den Integralen, auch keine Koppetafel mehr benötigt wir, da ja nicht mehr integriert, sonder nur noch aufsummiert wird.)

Grafik

Damit folgt:

$\tilde z_{sp} = \frac{{\sum {E_i \tilde z_i A_i } }} {{\sum {EA_i } }} = \frac{{E \cdot \left( {3a \cdot 0,75A+3a \cdot 3A+3a \cdot 0,75A} \right)}} {{E \cdot \left( {2 \cdot 0,75A+3A+2A+2 \cdot 0,5A} \right)}} = \frac{{13,5EAa}} {{7,5EA}} = \frac{9} {5}a = 1,8a$

Damit sieht der Schwerpunktverlauf so aus:

Grafik

Daraus folgt:

$EI_{\bar y} = \sum {E_i \bar z_i ^2 A_i } = E \cdot \left[ {2 \cdot \left( {1,2a} \right)^2 \cdot 0,75A+\left( {1,2a} \right)^2 \cdot 3A+\left( {-1,8a} \right)^2 \cdot 2A+\left( {1,8a} \right)^2 \cdot 0,5A} \right]$

$EI_{\bar y} = \frac{{81}} {5}EAa^2 = 16,2EAa^2$

Für die Normalspannungsberechnung benötigen wir nun noch eine Nummerierung der Trägerenden (allerdings nur an einer Seite, da er ja symmetrisch ist). Des weiteren führen wir schonmal eine Richtungsangabe für den Schubfluss ein, welche wir in Aufgabenteil b) zur Bestimmung des $\tilde r$ -Verlaufes benötigen:

Grafik

Nun können wir die Normalspannungen in den angegebenen Stellen berechnen:

Für den oberen Gurt gilt:

$\sigma _{x_1} = E\frac{{M_y }} {{EI_y }}z_1 = \frac{{M_y }} {{I_y }}z_1 = \frac{{25Fa}} {{16,2Aa^2 }} \cdot 1,2a = \frac{{50F}} {{27A}} = 1,852\frac{F} {A}$

Für den unteren Gurt:

$\sigma _{x2} = \frac{{25Fa}} {{16,2Aa^2 }} \cdot \left( {-1,8a} \right) = \frac{{-25}} {{9A}} = -2,778\frac{F} {A}$

Aufgabenteil b)

Torsion wird dann vermieden, wenn die Wirkungslinie der angreifenden Kraft durch den Schubmittelpunkt geht.
Wir benötigen also zuerst den Schubmittelpunkt:

$\tilde y_{SMP} = 0$

$\tilde z_{SMP} = -\frac{1} {{EI_z }}\sum {ES_{zi} \tilde r_i l_i }$

Nun berechnen wir $EI_z$ :

$EI_{\bar z} = \sum {E_i \bar y_i ^2 A_i } = E \cdot \left( {2 \cdot \left( { \pm 1,5a} \right)^2 \cdot 0,75A+2 \cdot \left( { \pm a} \right)^2 \cdot 0,5A} \right)$

$= \frac{{35}} {8}EAa^2 = 4,375EAa^2$

(Auf die grafische Darstellung des y-Verlaufs wurde an dieser Stelle verzichtet.)

Jetzt kommt der $\tilde r$ -Verlauf:
Dies ist der Senkrechte Abstand zu einem beliebig gewählten Bezugspunkt, gewichtet mit+oder -, je nachdem, ob Schubflusspfeile in Drehrichtung des eingeführten Koordinatensystems zeigen oder entgegen.

Grafik

Weiter mit dem elastischen Moment:

$ES_z = \sum {E_i y_i A_i }$

$ES_{z1} = E_1 y_1 A_1 = E \cdot \left( -1,5a \right) \cdot 0,75A = -\frac{9} {8}EAa$

Die Werte für alle anderen Punkte brauchen hier nicht berechnet werden, da auf der gegenüberliegenden Seite aufgrund der Symmetrie genau der gleiche Wert gilt und am unteren Trägerende die Statischen Momente später mit r = 0 multipliziert werden.

Damit folgt nun:

$\tilde z_{SMP} = -\frac{1} {{EI_z }}\sum {ES_{zi} \tilde r_i l_i }$

$= -\frac{1} {{\frac{{35}} {8}EAa^2 }}\cdot\left( {\left( {-3a} \right) \cdot \left( {-\frac{9} {8}EAa} \right)\cdot1,5a+3a \cdot \frac{9} {8}EAa\cdot1,5a} \right) = \underline{\underline {\frac{{81}} {{35}}a}}$

Nun wissen wir, wo der Schwerpunkt liegt und können somit den Winkel für F berechnen:

Grafik

$\tan \varphi = \frac{{GK}} {{AK}} = \frac{{3a-\frac{{81}} {{35}}a}} {{1,5a}}$

$\Rightarrow \varphi = \underline{\underline {24,572^\circ }}$

Fertig!

Lösung:

Aufgabenteil a)

Aufgabenteil b)

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