Eine rechteckige Scheibe aus einer Aluminiumlegierung ist beidseitig in y-Richtung
unverschiebbar gelagert. Sie wird durch eine in x-Richtung wirkende gleichmäßig verteilte
Kraft F beansprucht.
Skizze:
Alle Längenangaben in Millimeter.
1. Wie groß ist die Längenänderung der Platte?
2. Treten in der y-Richtung Spannungen auf? Wenn ja, wie groß sind sie?
3. Wie groß ist die Längenänderung der Platte, wenn die Längsseiten nicht gelagert wären?
4. Wie groß wären dann die Spannungen in Längsrichtung?
Auf die unbelastete Platte wirkt nun eine Temperaturänderung von ΔT = 120°C.
5. Welche Spannungen und Verformungen treten auf (Längsseiten unverschiebbar
gelagert)?
6. Nun wird die erwärmte Platte zusätzlich in x-Richtung unverschiebbar gelagert.
Anschließend wird die Platte wieder auf Raumtemperatur abgekühlt. Welche Spannungen
bleiben in der Platte erhalten?
Gegeben:
F = 120 kN = 120.000 N
E = 70000 N/mm²
ν = 0,3
t = 2 mm (Plattendicke)
Lösung
Aufgabe 1)
Gesucht ist die Längenänderung der Platte (Δ l).
Hierzu benötigen wir das 2-dimensionale Materialgesetz. Die Formel dafür lautet:
oder ausgeschrieben:
Für die einzelnen Parameter gilt nach Aufgabenstellung:
Zur Erklärung:
- Da wir eine Kraft in x-Richtung haben, erhalten wir für diese auch eine Spannung (F/A). Dabei besteht die Fläche aus Höhe · Tiefe.
- In y-Richtung entsteht eine unbekannte Spannung, da dir Scheibe laut Aufgabenstellung unverschiebbar gelagert ist. (Soll heißen: die Scheibe kann sich in y-Richtung weder ausdehnen, noch zusammenziehen). (= k.A)
- Schubspannung existieren hier nicht (= 0)
- Eine Temperaturänderung findet momentan auch nicht statt (= 0)
- Die Dehnung in x-Richtung ist unbekannt und soll bestimmt werden (= k.A)
- Die Dehnung in y-Richtung wird Aufgrund der Unverschiebbarkeit verhindert ( = 0)
Wenn wir die Gleichungen mit diesem Wissen noch einmal aufschreiben, so erhalten wir:
Eingesetzt in Zeile 1 folgt daraus:
Damit erhalten wir für die gesuchte Längenänderung in x-Richtung:
Aufgabe 2)
Diese Frage haben wir bereits im Aufgabenteil 1 beantwortet:
Ja,
Aufgabe 3)
Aufgrund der Fragenstellung ergeben sich die Parameter diesmal zu:
Erklärung:
Die Spannung in y-Richtung fällt weg, da sich die Platte nach dorthin ohne Widerstand und somit ohne auftretende Kräfte dehnen kann. Die Dehnung in y-Richtung ist deshalb auch nicht mehr 0.
Das Materialgesetz vereinfacht sich damit zu:
Somit erhalten jetzt wir eine Längenänderung von:
Aufgabe 4)
Es gilt:
Da sich Kraft und Fläche nicht ändern, ändert sich auch die Spannung in Längsrichtung nicht.
Aufgabe 5)
Für unsere Parameter ergibt sich:
Erklärung:
Spannung kann diesmal nur in y-Richtung auftreten, und Dehnung nur in x-Richtung, da die Platte in y-Richtung unverschiebbar gelagert ist.
Somit erhalten wir nach Einsetzen:
Die Spannung hat hier ein negatives Vorzeichen, weil es sich um Druckspannung handelt.
Für die Dehnung erhalten wir dann:
Und schließlich für die Längenänderung:
Aufgabe 6)
Da die Ausgangslänge nun die Länge nach der Temperaturänderung ist, addieren wir zur Ursprünglichen Länge einfach die Längenänderung, die von der Temperatur verursacht wird.
Dehnungen können wegen der Unverschiebbarkeit in x- und y-Richtung nicht auftreten, dafür aber Spannungen in x- und y-Richtung:
Somit bekommen wir aus dem Materialgesetz:
Um nun die Spannungen herauszubekommen müssen wir erst einmal umformen:
Nun setzen wir die untere Gleichung in die obere ein:
Dementsprechend bekommen wir für die Spannung in y-Richtung (hier ändern sich nur die Dehnungen):
Da keine Dehnung möglich ist, vereinfacht sich die Gleichung zu
Um nun noch herauszufinden, welche Spannungen in der Platte erhalten bleiben, addieren wird die Spannungen in y-Richtung aus diesem Aufgabenteil und aus dem Aufgabenteil 5:
Fertig!