Aufgabe 03 – Materialgesetze – Mathematical Engineering

Eine rechteckige Scheibe aus einer Aluminiumlegierung ist beidseitig in y-Richtung
unverschiebbar gelagert. Sie wird durch eine in x-Richtung wirkende gleichmäßig verteilte
Kraft F beansprucht.

Skizze:

rechteckige Scheibe

Alle Längenangaben in Millimeter.

1. Wie groß ist die Längenänderung der Platte?
2. Treten in der y-Richtung Spannungen auf? Wenn ja, wie groß sind sie?
3. Wie groß ist die Längenänderung der Platte, wenn die Längsseiten nicht gelagert wären?
4. Wie groß wären dann die Spannungen in Längsrichtung?

Auf die unbelastete Platte wirkt nun eine Temperaturänderung von ΔT = 120°C.

5. Welche Spannungen und Verformungen treten auf (Längsseiten unverschiebbar
gelagert)?
6. Nun wird die erwärmte Platte zusätzlich in x-Richtung unverschiebbar gelagert.
Anschließend wird die Platte wieder auf Raumtemperatur abgekühlt. Welche Spannungen
bleiben in der Platte erhalten?

Gegeben:
F = 120 kN = 120.000 N
E = 70000 N/mm²
ν = 0,3
t = 2 mm (Plattendicke)
$a_{th} = 23 \cdot 10^{-6} \frac{1} {K}$

Lösung

Aufgabe 1)

Gesucht ist die Längenänderung der Platte (Δ l).

Hierzu benötigen wir das 2-dimensionale Materialgesetz. Die Formel dafür lautet:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \varepsilon _x \\ {\varepsilon _y } \\ {\gamma _{xy} } \\ \end{array} } \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \frac{1} {E} & {-\frac{\nu } {E}} & 0 \\ {-\frac{\nu } {E}} & {\frac{1} {E}} & 0 \\ 0 & 0 & {\frac{1} {G}} \\ \end{array} } \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \sigma _x \\ {\sigma _y } \\ {\tau _{xy} } \\ \end{array} } \right\}+\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} a_{th} \\ {a_{th} } \\ 0 \\ \end{array} } \right\}\Delta T$

oder ausgeschrieben:

$\varepsilon _x = \frac{1} {E}\sigma _x -\frac{\nu } {E}\sigma _y +a_{th} \Delta T$

$\varepsilon _x = -\frac{\nu } {E}\sigma _x +\frac{1} {E}\sigma _y +a_{th} \Delta T$

$\gamma _{xy} = \frac{1} {G}\tau _{xy}$

Für die einzelnen Parameter gilt nach Aufgabenstellung:

$\sigma _x = \frac{F} {A} = \frac{{120.000N}} {{2mm \cdot 300mm}} = 200\frac{N} {{mm^2 }}$

$\sigma _y = k.A$

$\tau _{xy} = 0$

$\Delta T = 0$

$\varepsilon _x = k.A$

$\varepsilon _y = 0$

$\gamma _{xy} = 0$

Zur Erklärung:

Da wir eine Kraft in x-Richtung haben, erhalten wir für diese auch eine Spannung (F/A). Dabei besteht die Fläche aus Höhe · Tiefe.
In y-Richtung entsteht eine unbekannte Spannung, da dir Scheibe laut Aufgabenstellung unverschiebbar gelagert ist. (Soll heißen: die Scheibe kann sich in y-Richtung weder ausdehnen, noch zusammenziehen). (= k.A)
Schubspannung existieren hier nicht (= 0)
Eine Temperaturänderung findet momentan auch nicht statt (= 0)
Die Dehnung in x-Richtung ist unbekannt und soll bestimmt werden (= k.A)
Die Dehnung in y-Richtung wird Aufgrund der Unverschiebbarkeit verhindert ( = 0)

Wenn wir die Gleichungen mit diesem Wissen noch einmal aufschreiben, so erhalten wir:
$Zeile\:1:\quad\varepsilon _x = \frac{1} {E}\sigma _x -\frac{\nu } {E}\sigma _y$

$Zeile\:2:\quad 0 = \varepsilon _y = -\frac{\nu } {E}\sigma _x +\frac{1} {E}\sigma _y \quad \Rightarrow \quad \sigma _y = \nu \cdot \sigma _x = 0,3 \cdot 200\frac{N} {{mm^2 }} = 60\frac{N} {{mm^2 }}$

Eingesetzt in Zeile 1 folgt daraus:

$\varepsilon _x = \frac{1} {E}\sigma _x -\frac{\nu } {E}\sigma _y \quad = \frac{1} {E}\sigma _x -\frac{{\nu ^2 }} {E}\sigma _x = \frac{{\sigma _x }} {E}\left( {1-\nu ^2 } \right)$

$\Rightarrow \varepsilon _x = \frac{{200\frac{N} {{mm^2 }}}} {{70.000\frac{N} {{mm^2 }}}}\left( {1-0,3^2 } \right) = 2,6 \cdot 10^{-3}$

Damit erhalten wir für die gesuchte Längenänderung in x-Richtung:

$\Delta l = \varepsilon _x \cdot l$

$\Rightarrow \Delta l = 2,6 \cdot 10^{-3} \cdot 1000mm = \underline{\underline {2,6mm}}$

Aufgabe 2)

Diese Frage haben wir bereits im Aufgabenteil 1 beantwortet:
Ja, $\sigma _y = 60\frac{N} {{mm^2 }}$

Aufgabe 3)

Aufgrund der Fragenstellung ergeben sich die Parameter diesmal zu:

$\sigma _x = 200\frac{N} {{mm^2 }}$

$\sigma _y = 0$

$\tau _{xy} = 0$

$\Delta T = 0$

$\varepsilon _x = k.A$

$\varepsilon _y = k.A$

$\gamma _{xy} = 0$

Erklärung:
Die Spannung in y-Richtung fällt weg, da sich die Platte nach dorthin ohne Widerstand und somit ohne auftretende Kräfte dehnen kann. Die Dehnung in y-Richtung ist deshalb auch nicht mehr 0.

Das Materialgesetz vereinfacht sich damit zu:
$Zeile\:1:\varepsilon _x = \frac{1} {E}\sigma _x = \frac{{200\frac{N} {{mm^2 }}}} {{70.000\frac{N} {{mm^2 }}}} = 2,86 \cdot 10^{-3}$

Somit erhalten jetzt wir eine Längenänderung von:

$\Delta l = \varepsilon \cdot l\quad = 2,86 \cdot 1000mm = 2,86mm$

Aufgabe 4)

Es gilt:
$\sigma _x = \frac{F} {A}$

Da sich Kraft und Fläche nicht ändern, ändert sich auch die Spannung in Längsrichtung nicht.

$\sigma _x = 200\frac{N} {{mm^2 }}$

Aufgabe 5)

Für unsere Parameter ergibt sich:

$\sigma _x = 0$

$\sigma _y = k.A$

$\tau _{xy} = 0$

$\Delta T = 120K$

$\varepsilon _x = k.A$

$\varepsilon _y = 0$

$\gamma _{xy} = 0$

Erklärung:
Spannung kann diesmal nur in y-Richtung auftreten, und Dehnung nur in x-Richtung, da die Platte in y-Richtung unverschiebbar gelagert ist.

Somit erhalten wir nach Einsetzen:

$Zeile\:1:\quad \varepsilon _x = -\frac{\nu } {E}\sigma _y +a_{th} \Delta T$

$Zeile\:2:\quad \varepsilon _y = 0 = \frac{1} {E}\sigma _y +a_{th} \Delta T$

$\Rightarrow \sigma _y = -a_{th} \cdot \Delta T \cdot E$

$\Rightarrow \sigma _y = -23 \cdot 10^{-6} \frac{1} {K} \cdot 120K \cdot 70.000\frac{N} {{mm^2 }} = \underline{\underline {-193,2\frac{N} {{mm^2 }}}}$

Die Spannung hat hier ein negatives Vorzeichen, weil es sich um Druckspannung handelt.

Für die Dehnung erhalten wir dann:

$\varepsilon _x = -\frac{\nu } {E}\sigma _y +a_{th} \Delta T = +\frac{\nu } {E} \cdot a_{th} \Delta T \cdot E+a_{th} \Delta T = \left( {\nu +1} \right)a_{th} \Delta T$

$\underline{\underline {\varepsilon _x = 3,588 \cdot 10^{-3} }}$

Und schließlich für die Längenänderung:

$\Delta l = \varepsilon \cdot l$

$\Delta l = 3,588 \cdot 10^{-3} \cdot 1000mm = \underline{\underline {3,58mm}}$

Aufgabe 6)

Da die Ausgangslänge nun die Länge nach der Temperaturänderung ist, addieren wir zur Ursprünglichen Länge einfach die Längenänderung, die von der Temperatur verursacht wird.
Dehnungen können wegen der Unverschiebbarkeit in x- und y-Richtung nicht auftreten, dafür aber Spannungen in x- und y-Richtung:

$l_0 = 1000mm+3,58mm$

$\sigma _x = k.A$

$\sigma _y = k.A$

$\tau _{xy} = 0$

$\Delta T = -120K$

$\varepsilon _x = 0$

$\varepsilon _y = 0$

$\gamma _{xy} = 0$

Somit bekommen wir aus dem Materialgesetz:

$0 = \varepsilon _x = \frac{1} {E}\sigma _x -\frac{\nu } {E}\sigma _y +a_{th} \Delta T$

$0 = \varepsilon _y = -\frac{\nu } {E}\sigma _x +\frac{1} {E}\sigma _y +a_{th} \Delta T$

Um nun die Spannungen herauszubekommen müssen wir erst einmal umformen:

$\varepsilon _x = \frac{1} {E}\sigma _x -\frac{\nu } {E}\sigma _y +a_{th} \Delta T$

$\Rightarrow \frac{1} {E}\sigma _x = \varepsilon _x +\frac{\nu } {E}\sigma _y -a_{th} \Delta T$

$\Rightarrow \sigma _x = E\:\varepsilon _x +\nu \:\sigma _y -E\:a_{th} \Delta T$

$\varepsilon _y = -\frac{\nu } {E}\sigma _x +\frac{1} {E}\sigma _y +a_{th} \Delta T$

$\Rightarrow \frac{1} {E}\sigma _y = \varepsilon _y +\frac{\nu } {E}\sigma _x -a_{th} \Delta T$

$\Rightarrow \sigma _y = E\:\varepsilon _y +\nu \:\sigma _x -E\:a_{th} \Delta T$

Nun setzen wir die untere Gleichung in die obere ein:

$\Rightarrow \sigma _x = E\:\varepsilon _x +\nu \:\left( {E\:\varepsilon _y +\nu \:\sigma _x -E\:a_{th} \Delta T} \right)-E\:a_{th} \Delta T$

$\Rightarrow \sigma _x = E\:\varepsilon _x +\nu E\:\varepsilon _y +\nu ^2 \:\sigma _x -\nu E\:a_{th} \Delta T-E\:a_{th} \Delta T$

$\Rightarrow \sigma _x -\nu ^2 \:\sigma _x = E\:\left( {\varepsilon _x -a_{th} \Delta T} \right)+\nu E\:\left( {\varepsilon _y -a_{th} \Delta T} \right)$

$\Rightarrow \sigma _x = \frac{E} {{\left( {1-\nu ^2 } \right)}}\:\left( {\varepsilon _x -a_{th} \Delta T} \right)+\frac{{\nu E}} {{\left( {1-\nu ^2 } \right)}}\:\left( {\varepsilon _y -a_{th} \Delta T} \right)$

Dementsprechend bekommen wir für die Spannung in y-Richtung (hier ändern sich nur die Dehnungen):

$\Rightarrow \sigma _y = \frac{E} {{\left( {1-\nu ^2 } \right)}}\:\left( {\varepsilon _y -a_{th} \Delta T} \right)+\frac{{\nu E}} {{\left( {1-\nu ^2 } \right)}}\:\left( {\varepsilon _x -a_{th} \Delta T} \right)$

Da keine Dehnung möglich ist, vereinfacht sich die Gleichung zu

$\sigma _x = \sigma _y = \left( {\frac{E} {{1-\nu ^2 }}+\frac{{\nu E}} {{1-\nu ^2 }}} \right)a_{th} \Delta T$

$\sigma _x = \sigma _y = \left( {\frac{{70.000\frac{N} {{mm^2 }}}} {{1-0,3^2 }}+\frac{{0,3 \cdot 70.000\frac{N} {{mm^2 }}}} {{1-0,3^2 }}} \right) \cdot 23 \cdot 10^{-6} \frac{1} {K} \cdot 120K = 276\frac{N} {{mm^2 }}$

Um nun noch herauszufinden, welche Spannungen in der Platte erhalten bleiben, addieren wird die Spannungen in y-Richtung aus diesem Aufgabenteil und aus dem Aufgabenteil 5:

$\sigma _{y,total} = \sigma _{y5} +\sigma _y = -193,2\frac{N} {{mm^2 }}+276\frac{N} {{mm^2 }} = \underline{\underline {82,8\frac{N} {{mm^2 }}}}$

Fertig!

Lösung

Aufgabe 1)

Aufgabe 2)

Aufgabe 3)

Aufgabe 4)

Aufgabe 5)

Aufgabe 6)

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