Ermitteln Sie für den abgebildeten inhomogenen Querschnitt die maximale Zug- und Druckspannung bei einer Beanspruchung durch ein horizontales Biegemoment von 5kNm!
Wie groß sind die im Stab wirkenden Temperaturspannungen bei einer gleichmäßigen Erwärmung des Profils um 80°C (reine Temperaturbelastung, das horizontale Biegemoment wirkt nicht)?
Abschnitt 1:
t = 5 mm
E = 70000 N/mm²
Abschnitt 2:
t = 3 mm
E = 20000 N/mm²
Abschnitt 3:
t = 6 mm
E = 110000 N/mm²
Gegeben:
Alle Angaben aus der Skizze, My = 5 kNm, ΔT = 80 K
Gesucht:
a) Maximale Zug/ Druckspannung infolge des Biegemomentes
b) Temperaturspannungen infolge ΔT = 80 K
Lösung
a) Ermittlung der Spannungen infolge mechanischer Belastung

My ist gegeben.
EIy dagegen ist uns unbekannt.

Es gilt , da die Koordinaten des Schwerpunktsystems = den Koordinaten des Hauptachsensystems sind. Dies ist so, weil das Profil symmetrisch ist und die Koordinatenachsen gegenüber dem Profil nicht verdreht sind.
In der EIy-Formel ist uns nun wiederum z unbekannt. z ist der Abstand in z-Richtung vom Schwerpunkt, den wir jedoch noch nicht kennen Also müssen wir diesen zunächst berechnen. Dafür führen wir ein beliebiges Koordinatensystem mit ein, um über dieses den Schwerpunkt zu bestimmen. Setzen wir es einfach in der unteren T-Kreuzung an.
Schwerpunkt:
(Abstand in z-Richtung vom Koordinatensystem)
Da das Profil einfach symmetrisch ist, gilt:

Die Lösung des oberen Integrals erhalten wir, wie in der vorherigen Aufgabe bereits erklärt, auch wieder über die Koppeltafel:
Damit können wir nun also die Biegesteifigkeit EIy berechnen.
Biegesteifigkeit:
Wir benötigen dafür nun wie gesagt den richtigen z-Verlauf vom Schwerpunkt aus, den wir gerade berechnet haben:
(Exakter Wert, ohne Rundung: )
Mit Hilfe dieses Ergebnisses berechnen wir schließlich die maximale Zug- und Druckspannung infolge mechanischer Belastung (My)
Der Formel können wir noch zwei Folgerungen ablesen:
– Die Maximale Spannung bekommen wir für den maximalen Wert von z
– Die Maximale Spannung liegt im Rand (Dabei ist allerdings noch eine Überprüfung für unterschiedliche E-Moduli erforderlich)
Da das Profil einfach symmetrisch ist, berechnen wir die Spannungen bloß an folgenden 4 Punkten:
Somit entsteht also die maximale Zug- / Druckspannung infolge der mechanischen Belastung durch das Moment im unteren Querbalken. Da die Spannung negativ ist, handelt es sich um eine Druckspannung, was aufgrund des nach unten drehenden Momentes auch plausibel erscheint.
b) Ermittlung der Spannungen infolge thermischer Last

Da wir in dieser Aufgabe jedoch nur die reine Temperaturbelastung betrachten vereinfacht sich die Formel zu:
Dabei gilt:

In unserem Fall gilt somit:
Bei einer Berechnung mit nur 2 Nachkommastellen:
Zur Berechnung von benötigen wir noch den y-Verlauf:
Da das Profil an in y-Richtung symmetrisch ist, würden sich die Verläufe beim Integrieren gegenseitig aufheben. Daher gilt:
Eingesetzt in:
mit den berechneten Werten:
und Analog zu Aufgabenteil a) mit den Bezeichnungen:
erhalten wir nun:
Bildlich dargestellt ergibt sich folgender Verlauf:
Fertig!