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07 – Dämpfung 02 – Fallunterscheidung der Dämpfungsstärke

Wir haben im letzten Artikel für λ einen Term berechnet, der eine negative Wurzel enthalten kann, je nachdem, wie sich δ und ω1 zueinander verhalten:

\lambda _{1,2} =-\delta \pm \sqrt {\delta ^2 -\omega _1^2 }

Wenn die Eigenkreisfrequenz größer ist als die Abklingzahl, wird die Wurzel negativ. Um in diesem Fall weiterarbeiten zu können, benutzen wir die Euler-Formeln:

e^{iz} = \cos z+i\sin z

e^{-iz} = \cos z-i\sin z

e^z = \cosh z+\sinh z

e^{-z} = \cosh z-\sinh z

Es gibt drei Möglichkeiten:

Starke Dämpfung (δ2 > ω12)

Es wird gesetzt:

\alpha := \sqrt{\delta^2-\omega_1^2} > 0

Daraus folgt für die Lösung von λ:

\lambda_1 =-\delta+\alpha

\lambda_2 =-\delta-\alpha

Da wir als Ansatz

x = B e^{\lambda t}

verwendet haben, erhalten wir mit den gefundenen λ ‘s das Fundamentalsystem:

e^{\lambda _1 t} = e^{\left( {-\delta +\alpha } \right)t} = e^{-\delta t} e^{\alpha t} = e^{-\delta t} \left( {\cosh \alpha t+\sinh \alpha t} \right)

e^{\lambda _2 t} = e^{\left( {-\delta -\alpha } \right)t} = e^{-\delta t} e^{-\alpha t} = e^{-\delta t} \left( {\cosh \alpha t-\sinh \alpha t} \right)

Damit ist die Lösung:

x\left( t \right) = e^{-\delta t} \left( {B_1 \cosh \alpha t+B_2 \sinh \alpha t} \right)

Diese Funktion geht sehr schnell gegen 0 (dies tun schon die hyperbolischen Funktionen, durch die Exponentialfunktion wird der Vorgang noch beschleunigt). Dieses “Kriechen” gegen 0 hat mit einer Schwingung nicht mehr viel zu tun und soll daher nicht weiter betrachtet werden.

Aperiodischer Grenzfall (d2 = ω12)

Wenn die beiden Quadrate unter der Wurzel gleich sind, verschwindet die ganze Wurzel. Es bleibt dann für die Werte von λ:

\lambda _1 = \lambda _2 = -\delta

Daraus folgt nur die eine Lösung:

e^{\lambda _1 t} = e^{-\delta t}

Es muss zwei Lösungen geben! Die zweite Lösung findet man, indem man den Grenzwert bildet (Ableitung):

\lim \limits_{\Delta \lambda _2 \to 0} \frac{{e^{\left( {\lambda _2 +\Delta \lambda _2 } \right)t} -e^{\lambda _2 t} }} {{\Delta \lambda _2 }} = \frac{{{\text{d }}e^{\lambda _2 t} }} {{{\text{d }}\lambda _2 }} = te^{\lambda _2 t}

Das zugehörige Fundamentalsystem ist:

e^{\lambda_1 t} = e^{-\delta t}

t e^{\lambda_2 t} = t e^{-\delta t}

Wir kommen zu der Lösung:

x\left( t \right) = e^{-\delta t} \left( {C_1 +C_2 t} \right)

Mit einer anderen Herangehensweise kann die zweite Lösung wie folgt bestimmt werden:

Aus \delta^2-\omega_1^2 = 0 folgt, dass die beiden Lösungen der charakteristischen Gleichung zusammenfallen. Die Lösung der Differentialgleichung ist in diesem Fall

x = C e^{- \delta t }

Die allgemeine Lösung kann aus obiger Lösung mit Hilfe der “Variation der Konstanten” gefunden werden. Man bildet daher die ersten beiden Ableitungen:

x = C e^{- \delta t }

\dot x = \dot C e^{-\delta t } -C \delta e^{-\delta t }

\ddot x = \ddot C e^{-\delta t } -2 \dot C \delta e^{-\delta t }+C \delta^2 e^{-\delta t }

Eingesetzt in die Differentialgleichung

\ddot x+2 \delta \dot x+\omega_1^2 x = 0

ergibt:

\ddot C e^{-\delta t } -2 \dot C \delta e^{-\delta t }+C \delta^2 e^{-\delta t }+2 \delta \dot C e^{-\delta t } -2 \delta C \delta e^{-\delta t }+\omega_1^2 C e^{- \delta t } = 0

Kürzen:

\ddot C-2\dot C\delta +C\delta ^2 +2\delta \dot C-2\delta C\delta +\omega _1^2 C = 0

\ddot C-\delta ^2 C+\omega _1^2 C = 0

wegen δ = ω1 kürzen sich auch die letzten beiden Terme weg, es folgt die Differentialgleichung für die Konstante:

\ddot C = 0

Die Lösung der DGL:

C = C_1+C_2 t

Damit ist die allgemeine Lösung für die Bewegungsfunktion im aperiodischen Grenzfall gefunden:

x = e^{-\delta t } \left( C_1+C_2 t \right)

Für die allgemeinen Randbedingungen

x \left( 0 \right) = x_0, \quad \quad \dot x \left( 0 \right) = v_0

ergibt sich:

x = e^{-\delta t } \left[ x_0+\left( v_0+\delta x_0 \right) t \right]

Dies entspricht einer Bewegung mit der Anfangsauslenkung und unterschiedlichen Anfangsgeschwindigkeiten:

1: aus der Ruhe heraus: x(0) = 0; v(0) = 0

2: nach außen hin, d.h. von der Gleichgewichtslage fort: x(0) = A; v(0) > 0

3: nach innen hin, mit auseichender Geschwindigkeit: x(0) = A; v(0) < 0

schwingung aperiodischer Grenzfall

Schwache Dämpfung (δ2 = ω12)

Es wird gesetzt:

\lambda := \sqrt{\omega_1^2-\delta^2} > 0

Daraus folgt:

\alpha _1 = -\delta +i\lambda

\alpha _2 = -\delta -i\lambda

Dazu gehört das Fundamentalsystem:

e^{\alpha _1 t} = e^{\left( {-\delta +i\lambda } \right)t} = e^{-\delta t} e^{i\lambda t} = e^{-\delta t} \left( {\cos \lambda t+i\sin \lambda t} \right)

e^{\alpha _2 t} = e^{\left( {-\delta -i\lambda } \right)t} = e^{-\delta t} e^{-i\lambda t} = e^{-\delta t} \left( {\cos \lambda t-i\sin \lambda t} \right)

Die Lösung ist daher:

x\left( t \right) = e^{-\delta t} \left( {C_1 \cos \lambda t+C_2 \sin \lambda t} \right)

Eine verständlichere Herleitung findet sich im nächsten Artikel.

Wir wollen im Folgenden nur noch die schwache Dämpfung betrachten, da dieser Fall mit Abstand der wichtigste ist.

Dies alles war nur die Lösung der homogenen Differentialgleichung. Wenn es eine anregende Kraft gibt, entsteht auch eine partielle Lösung.
Die partielle Lösung muss im harmonischen Fall mit dem “Ansatz der rechten Seite” und ansonsten mit dem Faltungsintegral berechnet werden.

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