Wir haben im letzten Artikel für λ einen Term berechnet, der eine negative Wurzel enthalten kann, je nachdem, wie sich δ und ω1 zueinander verhalten:
Wenn die Eigenkreisfrequenz größer ist als die Abklingzahl, wird die Wurzel negativ. Um in diesem Fall weiterarbeiten zu können, benutzen wir die Euler-Formeln:
Es gibt drei Möglichkeiten:
Starke Dämpfung (δ2 > ω12)
Es wird gesetzt:
Daraus folgt für die Lösung von λ:
Da wir als Ansatz
verwendet haben, erhalten wir mit den gefundenen λ ‘s das Fundamentalsystem:
Damit ist die Lösung:

Diese Funktion geht sehr schnell gegen 0 (dies tun schon die hyperbolischen Funktionen, durch die Exponentialfunktion wird der Vorgang noch beschleunigt). Dieses “Kriechen” gegen 0 hat mit einer Schwingung nicht mehr viel zu tun und soll daher nicht weiter betrachtet werden.
Aperiodischer Grenzfall (d2 = ω12)
Wenn die beiden Quadrate unter der Wurzel gleich sind, verschwindet die ganze Wurzel. Es bleibt dann für die Werte von λ:
Daraus folgt nur die eine Lösung:
Es muss zwei Lösungen geben! Die zweite Lösung findet man, indem man den Grenzwert bildet (Ableitung):
Das zugehörige Fundamentalsystem ist:
Wir kommen zu der Lösung:

Mit einer anderen Herangehensweise kann die zweite Lösung wie folgt bestimmt werden:
Aus folgt, dass die beiden Lösungen der charakteristischen Gleichung zusammenfallen. Die Lösung der Differentialgleichung ist in diesem Fall
Die allgemeine Lösung kann aus obiger Lösung mit Hilfe der “Variation der Konstanten” gefunden werden. Man bildet daher die ersten beiden Ableitungen:
Eingesetzt in die Differentialgleichung
ergibt:
Kürzen:
wegen δ = ω1 kürzen sich auch die letzten beiden Terme weg, es folgt die Differentialgleichung für die Konstante:
Die Lösung der DGL:
Damit ist die allgemeine Lösung für die Bewegungsfunktion im aperiodischen Grenzfall gefunden:

Für die allgemeinen Randbedingungen
ergibt sich:
![Rendered by QuickLaTeX.com x = e^{-\delta t } \left[ x_0+\left( v_0+\delta x_0 \right) t \right]](https://me-lrt.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f83a7fef6d28bff544e48be451cad949_l3.png)
Dies entspricht einer Bewegung mit der Anfangsauslenkung und unterschiedlichen Anfangsgeschwindigkeiten:
1: aus der Ruhe heraus: x(0) = 0; v(0) = 0
2: nach außen hin, d.h. von der Gleichgewichtslage fort: x(0) = A; v(0) > 0
3: nach innen hin, mit auseichender Geschwindigkeit: x(0) = A; v(0) < 0
Schwache Dämpfung (δ2 = ω12)
Es wird gesetzt:
Daraus folgt:
Dazu gehört das Fundamentalsystem:
Die Lösung ist daher:

Eine verständlichere Herleitung findet sich im nächsten Artikel.
Wir wollen im Folgenden nur noch die schwache Dämpfung betrachten, da dieser Fall mit Abstand der wichtigste ist.
Dies alles war nur die Lösung der homogenen Differentialgleichung. Wenn es eine anregende Kraft gibt, entsteht auch eine partielle Lösung.
Die partielle Lösung muss im harmonischen Fall mit dem “Ansatz der rechten Seite” und ansonsten mit dem Faltungsintegral berechnet werden.